江苏省扬州市田家炳实验中学2017届高三数学一轮复习学案解析几何第1课圆的方程

第1课 圆的方程
一、教学目标
1．掌握圆的标准方程和一般方程,理解方程中字母的实际意义;
2．能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程。

注重数形结合。

3．会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用。

二、基础知识回顾与梳理
1． 阅读教材第107页～110页,了解以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆标准方程是什么，若该圆的圆心恰为坐标原点，则这个圆的方程又是什么。

2． 方程2
20x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是什么,其中圆心半径分别是什么
标准方程和一般方程怎么转化
3．
对于书中第107页，能否看出推导标准方程的步骤。

4． 对于教材的例3，掌握用一般方程的办法求圆的方程，思考能否还有其他方法。

要点解析
1、 以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆标准方程222)()
(r b y a x =-+-，若圆心恰为坐标原点，则这个圆的方程222r y x =+
2、 二元二次方程220x
y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是2240D E F +->,圆心)2,2(E D --，半径F E D 421
22-+ 3、 先建立平面直角坐标系，设点,列出关系式再化简得出。

4、圆的标准方程通过展开整理就得到圆的一般方程，圆的一般方程通过配方整理就会得到圆的标准方程。

【教学建议】只需要学生领悟到圆的一般方程与标准方程间的关系就行了。

三、诊断练习
题1、若方程224250x y mx y m ++-+=表示圆，则实数m
的取值范围为 ；若方程222(2)20a x
a y ax a ++++=表示圆，则实数a 的值为 。

【分析与点评】
(1）强调二元二次方程220x
y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是
2240D E F +->； （2）弄清：为什么二元二次方程220x
y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条
件是 2240D E F +->？加深对方程与曲线的关系的理解。

（3）方程222(2)20a x
a y ax a ++++=如何转化成方程220x y Dx Ey F ++++=？ 答案： 14
m <或1m >；-1。

题2、设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点为P （3,1），则直线AB 的方
程是 。

【分析与点评】回忆圆的有关性质。

连接圆心和弦的中点所在的直线垂直于弦所在的直线.
答案：40x y +-=
题3．方程211y x -=+表示的曲线是
【分析与点评】重点探讨思路的选择：
（1）化简这个式子首先做什么，平方.平方前需要注意x 的范围
（2）化简后的式子为1)1(2
2=++y x ,表示圆,但加上x 的范围只能是圆的一部分。

要点归纳
（1）强化对圆的方程形式特征的理解;
(2）强调求圆的方程的方法的选择;
（3）要重视圆的几何性质的应用。

四、范例导析
例1、分别求满足下列条件的圆的方程。

（1)已知圆过两点()()3,1,1,3A B -，且它的圆心在直线320x y --=上；
(2）经过三点()()()1,1,1,4,4,2A B C --；
（3)已知圆C ：22412390x y x y ++-+=,直线:3450l x y -+=,求圆C 关于直线l 对称的圆的方程。

【教学处理】可让学生板演，结合板演提问学生,再交流讨论，然后教师点评；通过点评或板书总结求圆的方程的一般方法。

【引导分析与精讲建议】
1、第（1）题可以引导学生从以下几个角度思考：
（1）设一般方程,将,A B 坐标代入220x
y Dx Ey F ++++=，再将圆心坐标,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入直线方程，求,,D E F ; （2）设圆心(),31C a a -，利用几何性质CA CB =，建立方程求a ;
（3）交轨法找圆心：求线段AB 的中垂线与直线320x y --=的交点，得圆心.
……总之，设方程，设圆心，找圆心是求圆的方程的常用方法。

2、第（2)题分析时,提出以下问题：
问题1：本题宜选择什么形式的方程求解？（强调方程形式的选择,
已知三点，宜选择一般方程。

）
问题2：画个图看看,还可以怎么做?引导学生发现圆心在直线32
y =上，可以设圆心为3,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,列方程求a ;也可以通过交轨法找圆心。

（强调画图意识，要善于捕捉题中隐含的几何信息.）
3、第（3)题分析时,提出以下问题
问题1：如何将曲线关于直线的对称问题转化为点关于直线的对称问题.
问题2：圆关于直线的对称的曲线仍然是圆，只有圆心位置发生了改变，圆的大小并没有发生改变.
解决方案：（3）圆C 的圆心C （—2，6)，半径为1；设圆D 和圆C
关于直线l 对称,(,)D a b ，则有：263450226423a b b a -+⎧⋅-⋅+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩
，解得：4,2a b ==-，
则所求的方程为：22(4)(2)1x y -++=
【说明】：教师要有意识地引导学生挖掘图形的几何信息，培养简化运算的意识。

例2 已知圆满足：① 截y 轴所得的弦长为2；② 被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=
圆的方程。

【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评。

【引导分析与精讲建议】
思考1:圆的方程的选择；思考2：选择的理由,即为何要选择标准式或一般式?.
解：设圆P 的方程为222()()x a y b r -+-=；由条件①可得：221a r +=；由条
件②可得:圆P 被x 轴截得的劣弧所对的圆心角为090，，所以圆P 截x
轴所得的弦长为
，即222)b r +=
，再由条件③可得=
，即22
2221)a r b r ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨=，解得1,1a b ==或1,1a b =-=-；22r =。

故所求圆的方程为：
22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=
如果选择圆的一般式方程求解呢？将两种方法进行比较。

【变式】:已知圆与y轴交于()()
A B两点，APB
0,,2,0,4
∆是该圆的内接三角
形，60
∠=︒，求圆的方程.
APB
【点评】：这里变式中给出的角是圆周角,可以转化为圆心角，仍然可转化为半径、半弦、弦心距之间的关系,只是更具一般性。

例3 已知点(),x y在圆()()
22
-++=上。

231
x y
（1）求x y+的最大值和最小值；
的最大值和最小值.
(2）求y
x
（3）求2
2y
x+的范围
【教学处理】指导学生从最值问题的常规方法角度独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程。

【引导分析与精讲建议】
第（1）小题可以提出以下问题：
问题1：二元表达式的最值问题可以尝试消元，转化为函数问题，本题可以实施吗?
问题2：二元表达式的最值问题还可以转化为线性规划问题，本题如何实施?
问题3：问题化归:设x y t
+=,与圆的方程联立方程组,利用方程组有解的条件，建立不等关系,求最值。

问题4： 能不能从几何意义的角度思考：x y +具有什么几何意义?第
（2)小题应该以第(1）小题的探究为基础，对方法的选择进行探讨,可以尝试提出以下问题：
（1)若尝试第（1）问的方法（1）,建立函数,如何求解？
（2）模仿第（1)问的方法(3），构建不等关系如何实施？
(3）从表达式y x 的几何意义，从图形入手，怎么求y x
的取值范围? 【变式】:已知实数,x y 满足2246120x
y x y +-++=． 求：(1）2246x y x y +++的取值范围；
（2）3x y +-的取值范围．
【点评】：二元函数的值域的主要解法是消元转化为一元函数的值域问题,但为了简化运算，也要适时从数形结合的角度思考，充分挖掘表达式的几何意义。

五、当堂反馈
1、直线03=+-y x 平分圆012222=+-++ay ax y x 的周长,则=a __________.
【分析与点评】直线平分圆的周长，即直线03=+-y x 过圆心),(a a -，解得2
3=a 。

2、已知点)1,2(P 在圆02:22=+-++b y ax y x C 上，点P 关于直线01=-+y x 的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为____________,半径为
____________.
【分析与点评】点P 关于直线01+-+y x 的对称点也在圆C 上，说明直
线01=-+y x 过圆心)1,2
(a
-，解得0=a ,且点)1,2(P 在圆上，代入解得3-=b ，所以圆心坐标为)1,0(，半径为2。

3．点()1,1P 在圆()()224x a y a -+-=的内部，那么实数a 的取值范围是
【分析与点评】强调判断点与圆的位置关系的依据：d 与r 的大小关系。

将位置关系的判断（定性）转化为大小的比较(定量）。

答案：2121+<<-a
4、已知圆4)4(:22=++y x C ,点)0,2(),0,2(B A - ,点),(y x P 是C 上任意一点，则
22PB PA +的值域为____________。

【分析与点评】由平行四边形性质知[]2222228)2(21OP OP AB PB PA
+=+=+作图可见OP 的最大值是6,最小值是2，所以22PB PA +的值域为[]80,16.
六、解题反思 1、待定系数法是求圆的方程的主要方法，求圆的方程关键是建立方程，求基本量a,b ，r 或D ，E ，F 。

2、要注意选择适当的方程形式,探究合理的运算路径。

3、在解题过程中一定要有“图”的意识，要充分挖掘图形的几何性质，帮助简化运算。

4、以圆为背景的二元函数的值域问题，要充分考虑圆在解题中的桥
梁作用，要研究目标函数的几何意义,化归为斜率或距离。

学必求其心得，业必贵于专精
七、课后训练：
1、圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2错误!，则圆C的标准方程是__________________．
2、在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2－4x－8y＋19＝0关于直线l：x＋2y－5＝0对称的圆C2的方程为________．
解：1、(x－2）2＋(y－1）2＝4 2、x2＋y2＝1
1、设圆C的圆心为（a，b）（b〉0),由题意得a＝2b>0，且a2＝（错误!）2＋b2，解得a＝2，b＝1.∴所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝4。

2、由圆C1：x2＋y2－4x－8y＋19＝0化简可得该圆圆心为（2,4），半径为1,则圆心（2，4）关于直线l：x＋2y－5＝0的对称点满足错误!
可解得错误!故圆C2的方程为x2＋y2＝1
3、在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m －1＝0（m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．
解：（x－1)2＋y2＝2 直线mx－y－2m－1＝0经过定点（2，－1）．当圆与直线相切于点（2,－1)时,圆的半径最大,此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1）2＝2。

4、已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x －1被该圆所截得的弦长为2错误!，则圆C的标准方程为________．
学必求其心得，业必贵于专精
解：设圆心坐标为（a，0)(a>0），由于圆过点(1,0），则半径r＝｜a －1｜，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝错误!。

由弦长为2错误!可知错误!2＝（a－1）2－2,解得（a－1）2＝4,所以a＝3或a
＝－1(舍去）．故圆心为（3,0），半径为2，所求圆的方
程为（x－3)2＋y2＝4
5、如图1－1,在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A（2,4）．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，
求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，BC＝OA，求直线l的方程；
［解] 圆M的标准方程为（x－6）2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M（6，7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N（6，y0）．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0<y0〈7,圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6）2＋（y－1)2＝1。

学必求其心得，业必贵于专精
(2）因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为错误!＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m,
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝错误!＝错误!.
因为BC＝OA＝22＋42＝2错误!，
而MC2＝d2＋错误!2,
所以25＝错误!＋5,解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0。