2012北京西城高考二模数学理(含解析)

北京市西城区2012年高三二模试卷 数 学（理科)2012．5 第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、
选择题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合2{|log 1}A x x =<，{|0B x x c =<<，其中0}c >．若A B B =U ，则c 的取值范 围是（ ）．
A ．(0,1]
B ．[1,)+∞
C ．(0,2]
D ．[2,)+∞
2．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①()e x f x =； ②()e x f x =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=- ． 则输出函数的序号为（ ）．
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④ 3．椭圆 3cos 5sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ是参数）的离心率是（ ）．
A ．35
B ．45
C ．925
D ．16
25
4．已知向量(,1)x =a ，(,4)x =-b ，其中x ∈R ．则“2x =”是“⊥a b ”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 5．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ）．
（注：标准差s =
，其中x 为12,,,n x x x L 的平均数）
A ．12x x >，12s s >
B ．12x x >，12s s <
C ．12x x <，12s s <
D ．12x x <，12s s >
6．已知函数()1f x kx =+，其中实数k 随机选自区间[2,1]-．对[0,1]x ∀∈，()0f x ≥的概率是（ ）．
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34
7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ，则S 的最小值是（ ）．
A ．42
B ．41
C ．40
D ．39
8．对数列{}n a ，如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R L ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++L 成立，其中*n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论： ①若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列； ②若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；
③若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则{}n a 为3阶递归数列． 其中，正确结论的个数是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9
．在ABC △中，BC =AC =π
3
A =
，则B =_____． 10．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =_____．
11．如图，ABC △是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交
AC 于点E ，交⊙O 于点D ．若 PA PE =，60ABC ∠=o ，1PD =，9PB =，则PA =_____；EC =_____．
12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；
不等式(1)||f x x -<的解集为_____．
13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的
两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．
14．曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于
4的点的轨迹，给出下列三个结论： ① 曲线C 关于y 轴对称；
② 若点(,)P x y 在曲线C 上，则||2y ≤；
③ 若点P 在曲线C 上，则1||4PF ≤≤． 其中，所有正确结论的序号是____________．
三、解答题共6小题，共80分． 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
已知函数22
π()cos ()sin 6f x x x =--．
（Ⅰ）求π
()12
f 的值；
（Ⅱ）若对于任意的π
[0,]2
x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围．
16．（本小题满分14分）
如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，EA EB ⊥．
（Ⅰ）求证：AB DE ⊥；
（Ⅱ）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值； （Ⅲ）线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面
FBD ？若存在，求出
EF
EA
；若不存在，说明理由． 17．（本小题满分13分）
甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是3
5
，
乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对
一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率． 18．（本小题满分13分）
已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． （Ⅰ）若2AF FB =u u u r u u r
，求直线AB 的斜率；
（Ⅱ）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．
19．（本小题满分14分）
已知函数22
21
()1
ax a f x x +-=+，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围． 20．（本小题满分13分）
若12(0n n i A a a a a ==L 或1,1,2,,)i n =L ，则称n A 为0和1的一个n 位排列．对于n A ，将排列121n n a a a a -L 记为1()n R A ；将排列112n n n a a a a --L 记为2()n R A ；依此类推，直至()n n n R A A =．
对于排列n A 和()i n R A (1,2,,1)i n =-L ，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做n A 和()i n R A 的相关值，记作(,())i n n t A R A ．例如3110A =，则 13()011R A =，
133(,())1t A R A =-．若(,())1(1,2,,1)i n n t A R A i n =-=-L ，则称n A 为最佳排列．
（Ⅰ）写出所有的最佳排列3A ； （Ⅱ）证明：不存在最佳排列5A ；
（Ⅲ）若某个21(k A k +是正整数)为最佳排列，求排列21k A +中1的个数．
北京市西城区2012年高三二模试卷
数学（理科）参考答案及评分标准
2012．5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．D ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．C ； 7．C ； 8．D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．
π4； 10．1i
22
+； 11．3，4； 12．0，()1,2 13．1
3
，3π； 14．① ② ③．
注：11、12、13第一问2分，第二问3分；14题少填不给分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：22ππππ()cos ()sin cos 1212126f =--=． ………………5分
（Ⅱ）解：1π1
()[1cos(2)](1cos2)232
f x x x =+--- ………………7分
1π13
[cos(2)cos2]2cos2)2322
x x x x =-+=+ ………………8分
π
)3x =
+． ………………9分 因为 π[0,]2x ∈，所以 ππ4π
2[,]333
x +∈， ………………10分
所以当 ππ232x +
=，即 π12x =时，()f x ． ……………11分
所以 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤等价于 c ≤．
故当 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤时，c 的取值范围是)+∞． ……………13分
16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．
因为EB EA =，所以EO AB ⊥． ……………1分 因为四边形ABCD 为直角梯形，22AB CD BC ==，AB BC ⊥， 所以四边形OBCD 为正方形，所以AB OD ⊥． …2分 所以AB ⊥平面EOD ． ………………3分 所以AB ED ⊥． ………………4分 （Ⅱ）解：因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且 EO AB ⊥，
所以EO ⊥平面ABCD ，所以EO OD ⊥． 由,,OB OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角 坐标系O xyz -． …………5分
因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以O A O B O D O E ===
，设
1OB =，所以 (0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．
所以 (1,1,1)EC =-uu u r ，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =uuu r
． ……………7分
设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，
所以||sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉==uu u r uuu r
uu u r uuu r uu u r uuu r
即直线EC 与平面ABE
． …………9分 （Ⅲ）解：存在点F ，且
1
3EF EA =时，有EC ∥平面FBD ． ………10分 证明如下：由111(,0,)333EF EA ==--uu u r uu r ，12(,0,)33F -，所以42(,0,)33
FB =-uu r ．
设平面FBD 的法向量为n (,,)a b c =，则有0,
0.
BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu r
n n 所以 0,
42
0.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取1a =，得(1,1,2)=n ． ………………12分 因为 EC ⋅uu u r n (1,1,1)(1,1,2)0=-⋅=，且EC ⊄平面FBD ，所以EC ∥平面FBD ．
即点F 满足
1
3
EF EA =时，有EC ∥平面FBD ． ………………14分 17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．………………1分
35
310C 1(15)C 12P X =-==； 21
55310C C 5(0)C 12
P X ===；
1255310C C 5(15)C 12P X ===； 35
310C 1(30)C 12
P X ===． ………………5分
乙得分的分布列如下：
分 155115
(15)01530121212122
EX =
⨯-+⨯+⨯+⨯=． ………………7分 （Ⅱ）解：由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B ．
则223332
381()C ()()()555125P A =+=， ………………10分
511
()12122
P B =+=． ………………11分
故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()11252125
P P A B =-⋅=-⨯=． ……13分 18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+． ………………1分
将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=． …………3分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 124y y m +=，124y y =-． ①
………………4分 因为2AF FB =u u u r u u r
，
所以122y y =-． ② ………………5分 联立①和②，消去12,y y ，得m = ………6分 所以直线AB 的斜率是± ………………7分
（Ⅱ）解：由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的
中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，
所以四边形OACB 的面积等于2AOB S △．
……………… 9分
因为121
22||||2
ABC S OF y y =⨯⋅⋅-△ ………………10分
=， ………………12分
所以0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． ………………13分 19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1
x f x x =
+，22(1)(1)()2(1)x x f
x x +-'=-+． ………………2分
由 (0)2f '=，得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………3分
（Ⅱ）解：2()(1)
()2
1
x a ax f x x +-'=-+． ………………4分
① 当0a =时，22()1
x
f x x '=
+． 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………5分 当0a ≠，2
1
()()
()21
x a x a f x a x +-'=-+．
② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21
x
=
，()f x 与()f x '的情况如下： 故()f x 的
单调减区
间
是
(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1
(,)a a
-． ………7分
③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：
所以()f x 的单调增区间是1(,)a
-∞；单调减区间是1
(,)a
a --，(,)a -+∞．
………………9分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 0a =时不合题意． ………………10分 当0a >时，由（Ⅱ）得，()f x 在1(0,)a
单调递增，在1
(,)a +∞单调递减，所以()f x 在
(0,)+∞上存在最大值21
()0f a a
=>．
设0x 为()f x 的零点，易知2
012a x a
-=，且01x a <．从而0x x >时，()0f x >；
0x x <时，()0f x <．
若()f x 在[0,)+∞上存在最小值，必有(0)0f ≤，解得11a -≤≤．
所以0a >时，若()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(0,1]． ………………12分 当0a <时，由（Ⅱ）得，()f x 在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增，所以()f x
在(0,)+∞上存在最小值()1f a -=-．
若()f x 在[0,)+∞上存在最大值，必有(0)0f ≥，解得1a ≥，或1a ≤-．
所以0a <时，若()f x 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(,1]-∞-．
综上，a 的取值范围是(,1](0,1]-∞-U ． ………………14分 20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：最佳排列3A 为110，101，100，011，010，001． ………………3分 （Ⅱ）证明：设512345A a a a a a =，则1551234()R A a a a a a =，
因为 155(,())1t A R A =-，
所以15||a a -，21||a a -，32||a a -，43||a a -，54||a a -之中有2个0，3个1． 按512345a a a a a a →→→→→的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不 发生改变，有3次数码发生了改变． 但是5a 经过奇数次数码改变不能回到自身， 所以不存在5A ，使得155(,())1t A R A =-，
从而不存在最佳排列5A ． ………………7分 （Ⅲ）解：由211221(0k k i A a a a a ++==L 或1,1,2,,21)i k =+L ，得
12121122()k k k R A a a a a ++=L ， 2212211221()k k k k R A a a a a a ++-=L ，
……
2121342112()k k k R A a a a a a -++=L ， 22123211()k k k R A a a a a ++=L ．
因为2121(,())1(1,2,,2)i k k t A R A i k ++=-=L ，
所以21k A +与每个21()i k R A +有k 个对应位置数码相同，有1k +个对应位置数码不 同，因此有
12121221212||||||||1k k k k k a a a a a a a a k +-+-+-++-+-=+L ， 122212222121||||||||1k k k k k k a a a a a a a a k +-+--+-++-+-=+L ，
……，
132421212||||||||1k k a a a a a a a a k +-+-++-+-=+L ， 1223221211||||||||1k k k a a a a a a a a k ++-+-++-+-=+L ．
以上各式求和得， (1)2S k k =+⨯． ………………10分 另一方面，S 还可以这样求和：设12221,,...,,k k a a a a +中有x 个0，y 个1，则2S xy =． ………………11分 所以21,22(1).x y k xy k k +=+⎧⎨=+⎩
解得,1,x k y k =⎧⎨=+⎩或1,
.x k y k =+⎧⎨
=⎩
所以排列21k A +中1的个数是k 或1k +． ………………13分
北京市西城区高三二模试卷 数学（理科）选填解析
一、 选择题 1．【答案】D
【解析】解：当{}{}2|log 102A x x x =<=<<， A B B =Q U ，A B ∴⊆，即2c ≥．
故选D ． 2．【答案】D
【解析】解：由题可知输出的函数为存在零点的函数， 因为()e 0x f x =>，所以该函数不存在零点； 因为()e 0x f x =-<，所以该函数不存在零点；
因为1()f x x x -=+为对勾函数且()2f x ≤-或()2f x ≥，所以该函数不存在零点； 因为当1x =时，1()0f x x x -=-=，所以该函数存在零点． 故选D ． 3．【答案】B
【解析】解：由参数方程的知识可知椭圆方程为
22
1259y x +=，故离心率4
5
c e a ===． 故选B ． 4．【答案】A
【解析】解：当⊥a b 时，()()2
,1,440x x x ⋅=⋅-=-+=a b ，
即2x =±，所以2x =是2x =±的充分不必要条件． 故选A ． 5．【答案】C
【解析】解：可知()11
53565758617072617x =⨯++++++=，
()21
54565860617273627
x =⨯++++++=；
1s =
2s =
故选C ．
6．【答案】C
【解析】解：由题可知()110f k =+≥，()010f =≥，
故1k ≥-，所以概率()()
112123
p --==
--． 故选C ． 7．【答案】C
【解析】解：由题可知，设在第()212n n ≤≤层下，S 达到最小值， 而()()23110S n n n =-+-++⨯+⨯⎡⎤⎣⎦L ()()111122n n +++-+-⨯⎡⎤⎣⎦L ()()
()()1213122
n n n n -⨯-=
+-⨯-2353
15722
n n =-+，
可知函数的对称轴为53
6
n =
，由于n 为整数， 故当9n =时，min 40S =． 故选C ． 8．【答案】D
【解析】解：① 正确．若数列{}n a 为等比数列， 且为1阶递归数列，只需存在1λ∈R ， 使得111111n n n n a a a q a q λλ-+=+⇔=， 即1q λ=，满足题意；
② 正确．若数列{}n a 为等差数列， 且为2阶递归数列，只需存在12,λλ∈R ，
使得()[]()21121112111n n n a a a a n d a nd a n d λλλλ++=+⇔++=+++-⎡⎤⎣⎦， 即121λλ=+且()1221n n λλλ+=+-，
当122,1λλ==-时，满足题意；
③ 正确．若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，
且为3阶递归数列，只需存在123,,λλλ∈R ，
使得()()()222
2312213123321n n n n a a a a n n n n λλλλλλ+++=++⇔+=++++， 即1231212142649λλλλλλλ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，
当1233,3,1λλλ==-=时，满足题意．
故选D ．
二、 填空题
9．【答案】π4
【解析】解：由正弦定理可知
sin sin sin sin 2sin 3
BC AC B A B B ==⇒=， 所以π4
B =． 故答案为π4
． 10．【答案】1i 22
+ 【解析】解：由题可知111i 1i 1i 1i 1i 2z ++=
=⋅=--+． 故答案为1i 22
+． 11．【答案】3，4
【解析】解：由切割线定理可知219PA PD PB =⋅=⨯，所以3PA =； 因为60PAC ABC ∠=∠=o ，且PA PE =，
故3AE AP EP ===，则2DE PE PD =-=，6BE PB PE =-=， 由相交弦定理可知312AE EC BE ED EC ⋅=⋅⇒=，所以4EC =． 故答案为3，4．
12．【答案】0，()1,2 【解析】解：由题可知002
b b -=⇒=； 当0x ≥，则不等式为()2
21132012x x x x x -+<⇒-+<⇒<<， 当0x <，则不等式为()221120x x x x -+<-⇒-+<， 因为180∆=-<，故方程无解．
故答案为0，()1,2．
13．【答案】13，3π 【解析】解：由题可知
,,PA AB AD 两两垂直， 所以1133V PA AB AD =⋅⋅⋅=； 可知三棱锥P ABCD -
的外接球的直径为PC =
所以表面积2224π4π4π3π2PC S r ⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为13
，3π． 14．【答案】① ② ③
【解析】解：设曲线C 上的动点为(),P x y ， 则
14y +=，整理的216481x y y =+-+，
① 正确．显然()1,P x y -也满足曲线方程，
则曲线C 关于y 轴对称；
② 正确．当1y ≥-时，2
224
x y =-≤，故12y -≤≤； 当1y <-时，2
2212
x y =-≥-，故21y -≤<-； 综上，2y ≤；
③
正确．由题可知41PF y =-+，
因为22y -≤≤，所以013y ≤+≤，
故14PF ≤≤．
故答案为① ② ③． P D
C
B A。