数学分析(3)论文

云南大学
数学分析习作课（3）论文
题目：利用幂级数求和函数问题的探究
学院：数学与统计学院
专业：数学与应用数学
姓名、学号：王茂银 *********** 任课教师：黄辉老师
时间： 2012年12月14日
摘要
如何对幂级数进行求和？幂级数是一种较简单的函数项级数，在幂级数
理论中，对给定幂级数讨论其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一，幂级数求和的求解是一类难度较大技巧性较高的问题，更好地了解和掌握幂级数求和的方法和技巧对于学习幂级数具有更好的指导意义和学习价值，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。

关键词：幂级数；和函数；收敛；级数。

一、幂级数的基本概念
1、幂级数的定义 设()(1,2,3
)n u x n =是定义在数集X 上的一个函数列，则称
12()()(),n u x u x u x x X ++++
∈
为定义在X 上的函数项级数，记为1
()n n u x ∞=∑。

具有形如
2
00102000
()()()()n n
n n n a x x a a x x a x x a x x ∞
=-=+-+-+
+-+
∑
的函数项级数称为在点0x 处的幂级数。

特别地，在00()n
n n a x x ∞
=-∑中，令0x x x -=，即上述形式化为
2
0120
n n n n n a x a a x a x a x ∞
==+++
++
∑
称为在0点的幂级数。

2、幂级数的和函数
若对幂级数中的x ∀都有23
0123()a a x a x a x s x ++++
=，则称()s x 为幂级
数的和函数。

幂级数的部分和记为
2
30123()n
n n s x a a x a x a x a x =++++
+
且部分和()n s x 有如下性质lim ()()n
n s x s x →∞=
二、幂级数收敛的判别
幂级数求和是建立在级数收敛的基础上的，所以需先判断一个级数是否收 敛，可以通过以下定理判断级数收敛性。

柯西-阿达马定理：幂级数
00()n
n n a x x ∞
=-∑在0x x R -<内绝对收敛，在R x x >-0内发散。

其中，R 是幂级数的收敛半径
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧∞==∞∞<<=∞
→∞
→∞→∞→时，，当时，
，当时，，当n n n n n n n n n n n
n a a a a R lim 00lim lim 0lim 1
阿贝尔第一定理：若00
()n
n n a x x ∞
=-∑在点x ξ= 收敛，那么它必在
00x x x ξ-<-内绝对收敛，又若00
()n
n n a x x ∞
=-∑在点x ξ=发散，则它必在 00x x x ξ->-也发散。

（对幂级数00()n
n n a x x ∞
=-∑，如果n
n n a a
1lim +∞→存在，则此 级数的收敛半径R 也可以这样计算
n n n n
n n a a a a R 1
1lim lim 1
+∞→+∞→==
又若n n n a a 1lim +∞
→=0，则∞=R ，若n
n n a a 1
lim +∞→=∞，则0=R .)
阿贝尔第二定理：若00
()n
n n a x x ∞
=-∑的收敛半径为R ，则次级数在
),(00R x R x +-内的任一闭区间],[b a 上一直收敛，也就是在),(00R x R x +-内
一致收敛；又若级数在R x +0点收敛，则它必在],[0
R x a +一致收敛.同理，
当级数在R x -0收敛时可得类似结论。

注：幂级数的性质
设幂级数00
()n
n n a x x ∞
=-∑的收敛半径为R ，则其和函数)(x S 在
),(00R x R x +-内连续.又若幂级数在R x -0（或R x +0）收敛，则)(x S 在 ),[00R x R x +-（或],(00R x R x +-）连续。

设幂级数00
()n
n n a x x ∞
=-∑的收敛半径为R ，其和函数为)(x S ，则在
),(00R x R x +-内幂级数可以逐项积分和逐项微分.即对),(00R x R x +-内任
意点x ,有
⎰∑∑⎰=-+=-+∞
=∞
=x x x n n n n x x
x n
n d x S x x n a d x x a 0
0)()(1)(1
00
00 以及
)()(])([100
00x S d d x x na x x a d d x n n n n n n x =-=--∞
=∞
=∑∑ 且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其实力半径认为R 。

三、幂级数求和函数的方法
方法一：定义法
对于幂级数0n n n a x ∞
=∑，若前n 项和函数列{()}n s x 有极限，即 lim ()n n s x →∞
存 在，则此幂级数收敛，且0
()lim n
n n n n a x s x ∞
→∞
==∑
所以，幂级数的和()()lim n n s x s x →∞
=
例1：求幂级数0
n
n a x ∞
=∑的和函数，其中0a ≠，1x <。

解：当1x <时
()lim ()lim()lim 11n n
n n n n a ax a s x s x a ax ax x x
→∞
→∞
→∞-==++
+==
--
方法二：分项组合法
通过观察幂级数具有某些明显的特征，比如可以将已知级数的通项拆项组 合，再计算所拆得各项的和函数，从而求得该级数的和函数。

例2：求30()(1)!
n
n n s x x n ∞
==∑+的和函数。

解:易知该级数的收敛域为(,)-∞+∞ 当0x =时，()0s x = 当0x ≠时
2(1)(1)11()2(1)!
n n x
n n n n s x x n ∞=+-++-=+∑+
212
22212(2)!!(1)!n n n n n n x x x x x n n x n -+∞∞∞====+++∑∑∑-+
211
(1)2x e x x x x
-=++---
0 0x = 所以()s x =
211
(1)2x e x x x x
-++--- 0x ≠
方法三：逐项求导与逐项积分法
若幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式，可考虑用“先 积分，再求导”的做法；若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数 乘积的倒数，可考虑用“先求导，再积分”的做法。

性质：（即幂级数00
()
n
n n a x x ∞
=-∑中00x =时）设幂级数0
n
n n a x ∞
=∑在(,)R R -内的
和函数为()s x ，则
()s x 在(,)R R -内每一点都是可导的，且有逐项求导公式：
'
'
'
10
1
()()()n n n n n n n n n s x a x a x na x ∞
∞
∞
-======∑∑∑
求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径R 。

()s x 在(,)R R -内可以积分，且有逐项积分公式：
1
00
0()t ()1
x x x n
n n n n n n n n a s t d a t dt a t dt x n ∞
∞
∞
+======∑∑∑
⎰⎰⎰+
其中x 是(,)R R -内任意一点，积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径 R 。

例3：求幂级数1(1)(2)n
n n n n x ∞
=++∑的和函数()s x 。

解：易知该级数的收敛域为(1,1)-+，在任意区间上可以逐项积分
11
()(1)(2)n n s x x n n n x ∞
-==++∑
令 1
11()(1)(2)n n s x n n n x
∞
-==++∑
2101
()()(1)(2)x
n n s x s t dt n n x ∞
===++∑⎰
1
320
1
()()(2)x
n n s x s t dt n x ∞
+===+∑⎰ 32
4301
()()1x
n n x s x s t dt x
x ∞
+===
=
-∑⎰
所以 323
'
'34
232()()()1(1)x x x s x s x x x -===--
23
'23
3
662()()(1)x x x s x s x x -+==-
'
1
24
6()()(1)s x s x x ==-
从而可得所求和函数
4
16()
(1)()x x x s x xs =
-=
(11)x -<<
例4：求幂级数21(1)(21)n n
n x n n ∞
=-∑+的和函数()s x 。

解：易知收敛区间为[1,1]- 当0x =时，()0s x = 当0x ≠时
设 211(1)()()2
2(21)n n n x
x y x s x n n +∞=-==∑+ 2'
1(1)()2n n
n x y x n
∞
=-=∑
212
1
''()(1)1n n n x
y x x x ∞
-=-=
-=∑+ 得出 2
2
1'
()ln(1)12
x
t y x dt x t -==-+⎰+
201()ln(1)2
x
y x t dt =-+⎰ 21
ln(1)arctan 2
x x x x =-
+- ∴ 2
2arctan ()2ln(1)x
s x x x
=-+-
0 0x = 综上所述 ()s x =
2
2arctan 2ln(1)x
x x
-+-
0x ≠
方法四：代数方程法
此种方法目的在于建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从而 得到原幂级数的和函数。

例5：设有等差数列 ： ,,2,3,,(1),
a a
b a b a b a n b ++++-
等比数列 ： 23
1,,,,,,
n c cx cx cx cx - 则各项为等差数列、等比数列对
应项的乘积所构成的级数为
23
1()(2)(3),
,[(1)],
n ac a b cx a b cx a b cx a n b cx -+++++++-
求其和函数()s x ,其中,,a b c 为常数。

解：易知此级数的收敛域为(1,1)-
1
(){[(1)]}n n xs x a n b cx ∞
==+-∑
23(1)()x s x ac bcx bcx bcx -=++++
1bcx ac x
=+-
所以 2
()1(1)ac bcx s x x x =+--
例6：求幂级数 0
()n
m n H n x ∞
=∑ 的和函数，其中 ()m H n 为 n 的 m 次多项式。

解：记 0
()()n
m m
n s x H n x ∞
==∑ 1
0()()n m m n xs x H n x ∞
+==∑ 则 1
(1)()(0)[(1)()]n m m m m n
x s x H H n H n x ∞
+=-=++-∑
1
(0)()n
m m n H x H n x ∞
-==+∑ ① 其中1()m H n - 为n 的1m -次多项式 再使用一次以上的运算方法可得
110
(1)()(0)()n m m m n x x s x xH x H n x ∞
+-=-=+∑ ②
①-② 得
2
1
1100
(1)()(0)(1)[()()]n
n m m m m n n x s x H x x H n x H n x ∞
∞
+--==-=-+-∑∑
11110
(0)(1){(0)[(1)()]}n m m m m n H x x H H n H n x ∞
+---==-+++-∑
120
(0)(1)[(0)()]n m m m n H x x H x H n x ∞
--==-++∑
其中2()m H n - 为n 的2m -次多项式 反复使用以上的方法可以得到
12312(1)()(1)(0)(1)(0)(1)(0)m m m m m m m m x s x x H x xH x xH ------=-+-+-
2
1
211
(1)(0)[(0)]m m n n x x
H x H x ∞
--=+++-++∑
这样就可以求得 ()m s x 。

方法五：微分方程法（引用）
在幂级数中，有一类含有阶乘运算的幂级数，这种幂级数的和函数的求法， 也就是把幂级数的和函数微分后，再与原来幂级数作某种运算，得到一个含 有幂级数和函数以及和函数导数的关系式，即微分方程，最后求解此微分方 程即得和函数。

第一类：比较常见的幂级数例如∑∞
=0n 3)!
3(n x n
这种类型的，只要对其进行逐项求
导，找出各导函数之间满足的方程，得到一个关于导函数的微分方程。

例：求幂级数∑∞
=0
n 3)!3(n x n
的和。

思路：先设函数=)(x y ∑∞
=0n 3)!
3(n x n
，分别对函数)(x y 对x 进行一阶求导)('x y ，
二阶求导)('
'x y ，得到∑∞
=--=1n 1
3'
)!
13()(n x x y n ...)!13(...!8!5!213852+-+++=-n x x x x n ， )('
'x y =∑∞
=--1n 2
3)!
23(n x n ...)!23(...!7!42374+-+++=-n x x x x n ，将)(x y ，)('x y ，)(''x y 相 加即得方程)('
'x y +)('
x y +)(x y ...!
...!3!2132+++++=n x x x x n
，由已学知识可知
...!
...!3!2132+++++=n x x x x e n
x
，故得微分方程)(''x y +)('x y +)(x y x e =，故只
需次微分方程即可，这是二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得
x x e x e x y 3123cos 32)(21
+=-，所以幂级数∑
∞=0
n 3)!3(n x n 的和为x x e x e 3123cos 3221+-。

第二类：例如n
n x nd d d d n a d a d a a ∑
∞
=-+++1
)()2(])1([)2)(( 这种类型的级数，在求和的
时候采用其他常用的方法是很难求出的，因为n x 的系数的分子是等差数列 前n 项的和，而分母则是公差的n 次幂与n ！的积，要逐项求导则需要n 次
才能把n ！约掉，但此时已近很复杂了，且不能顺利求和，于是我们想办法 来求所给级数在它的收敛域内所代表的可微函数所满足的微分方程。

当然这 个微分方程的阶数越低越好。

事实上，令n
n x nd d d d n a d a d a a n
x f ∑∞
=-+++=1)
()2(])1([)2)(()( 对其逐项微分可得
1
1
)
()2(])1([)2)(()(-∞
=∑-+++='n n x nd d d d n a d a d ad a n
x f ，
(1-x) )(x f '=
)()
()2(]
)1([)2)((11n n n x x n nd d d d n a d a d a a n
--+++-∞
=∑
=
n n x n d n d d nd a d a d a a n
∑∞
=+++++0
)1(])1[()2(]
[)2)((
n
n x n nd d d d n a d a d a a n
∑∞
=-+++-
1
)
()2(])1([)2)((
=n n x n n d
n nd
a nd d d d n a d a d a a d a ∑
∞=-+++⨯-++++1])1()1([)()2(])1([)2)(( =
)(x f d a d a +=]1)([+x f d
a
这说明所给无穷级数表示函数满足一阶微分方程a x af x f x d +='-)()()1( 解次微分方程并注意到0)0(=f 则可求得111)
1(1)(--=--=
-
d
a
d
a
x x x f ）（
即1)1()()2(]
)1([)2)((1
--=-+++-∞
=∑d a
n x nd d d d n a d a d a a
这种方法用起来，对某些无穷级数还是很有效的，例如对无穷
2
21cos )1(n a nx n n
--∑∞
=与无穷级数1
21)!
12(1+∞
=∑+n n x n 。

在求和的时候只要令2
21cos )1()(n a nx x f n n
--=∑∞
=，121)!
12(1
)(+∞
=∑+=n n x n x g ，就可 得)(x f 与)(x g 的微分方程2
1
)()(2-='+''x f a x f ，1)()(-='+''x e x g x g ，再分
别求出)(x f 和)(x g 即可。

例7：求幂级数0
()!
n
n f n x n ∞
=∑
在下列情况下的和函数()s x ： ① ()(1)f n n d =+，即公差为d 的等差数列，其中d 为常数；
② ()n
f n q =，即公比为q 的等比数列，其中q 为常数。

解：①易知该级数的收敛域为(,)-∞+∞
0(1)()!
n
n n d s x x n ∞
=+=∑
则 '
1
1(1)()(1)!
n n n d s x x n ∞
-=+=-∑
'23
()()2!3!
d d s x s x d dx x x -=++
+
+
x de =
这是一个满足初始条件(0)s d =的一阶常系数的线性微分方程，解此微分方
程得 ()(1)
x
s x de x =+
② 易知该级数的收敛域为(,)-∞+∞
0()!
n n
n q s x x n ∞
==∑
'
1
1()(1)!
n n n q s x x n ∞
-==∑- '
22
()()(1)(1)(1)s x s x q q qx q q x -=-+-+-
+
(1)qx
q e
=-
这是一个满足初始条件(0)1s =的一阶常系数的线性微分方程，解此微分方
程得 ()qx
s x e
=
方法六：柯西法
如果级数0
n n a ∞=∑与0
n n b ∞=∑都绝对收敛，作这两个级数的乘积0
n n c ∞
=∑，其中
0110n n n n c a b a b a b -=++
+，则0
n n c ∞
=∑也绝对收敛，且必有
n n n n n n c a b ∞
∞
∞
====⨯∑∑∑。

例8:求幂级数的和函数1
111
()(1),123n n s x x x n
∞
==-+
+++<∑。

解：令,0,1,2,
,1n
n a x n x ==<
则0
1
(1)1n
n n n a x x x
∞∞
====
<∑∑-为绝对收敛级数 再令0
n n b ∞
=∑为 ln(1)x - 的泰勒级数：
23
ln(1)(0),123n
x x x x x x n
-=-++++
++<
此级数在(1,1)-+内是绝对收敛的。

从而 1
1(1)1
n n n n n x x c x x x x o n n --=-⨯+⨯++⨯+⨯-
111
(1)23
n x n
=-+
+++ 所以0
ln(1)
()1n n n n n n x s x c a b x
∞
∞
∞
===-==⨯=
∑∑∑-
方法七：杨辉三角法（引用）
我们首先来考察下杨辉三角里数字排列的规则。

一般的杨辉三角是如下的图 形：
1
1 1 1
2 1 1
3 3 1 1
4 6 4 1 1
5 10 5 10 1 ............................................
第n 行 1 11-n C .... 11--r n C r n C 1-, (2)
1n --n C 1
第n+1行 1 1n C 2n C ...........r n C .............1n -n C 1
.......................................................................
从上面的图形中可以看到：这三角形两斜边都是1，其余的数都是等于它肩上的两个数
相加。

在一般的情形就一下恒等式等式：),...2,1(,C 111n r C C r
n r n r n ==+--- (1) 将(1)式推广下就有)(,...C 1
121r r r n C C C C r n r r n r r r r r >=++++++-+++ (2)
当1=r 时有： )1(21
...321+=++++n n n ；
当2=r 时有： )2)(1(61
)1(21...631++=+++++n n n n n ；
当3=r 时有： )3)(2)(1(24
1
)2)(1(61...1041+++=++++++n n n n n n n
……
所以从理论上可以化解任何一个以k 的多项式为一般项的高阶等差级数。

例 如：4433...321n +++的和。

可以将3k 写成k k k k k k +-⋅+--⋅)1(2
1
6)2)(1(616，而)2)(1(616--⋅k k k ，
)1(2
1
-k k ，k 为一般项的级数，因而可以很容易的求解出其和。

我们把高阶等差级数和等比级数结合起来（在此称为混合幂级数）考虑，
很自然地得出如下的一般式：1
1221...C S --+++++++=n r n r r r r r r r r x
C x C x C ，当1=x 时，那么以上就是我们讨论过的高阶等差级数。

鉴于关于高阶等差级数和混合幂级数的讨论，我们对倒数级数也进行 了一定的讨论。

一般的倒数有如下的等式：
))1)...(2)(1(1
)2)...(1(1(11)1)...(1(1-+++--++-=-++r k k k r k k k r r k k k 通过 计算我们可以得到一下结论：
)1)...(1(1...)1(43213211-+++++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅r n n n r r )!1()1(1
...-⋅-=
r r 利用此 等式可以求解类似
...)2)(1(1
)1()1(1...543143213211132n n x n n n x n n n x x x ++++-++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-的 级数。

方法八：差分算子求和法(引用）
（通项系数是以n 为自变量的有限次多项式的幂级数求和问题可用此法） 若()f x 为任意实函数，∆为差分算子，则定义函数()f x 的一阶差分为
()(1)()f x f x f x ∆=+-
n 阶差分为 1()(()),2,3,
n n f x f x n -∆=∆∆
=
定理：设()p x 为m 次多项式，则当1x <时0
()n
n p n x ∞
=∑收敛，而且其和
函数 1
0()(0)(1)k
m
k
k k x s x p x +==∆∑-
证明：当1x <时，幂级数 0
()n
n p n x ∞
=∑ 收敛，现在定义单位算子I 及位移算子E 分别为 ()()If x f x = ()(1)Ef x f x =+ 则 ()()()f x Ef x If x ∆=- 即E I
=∆+
由于 ()(0)()(0)n n
p n E p I p ==∆+
(1)
(1)(0)!
n
k
k n n n k p k =--+=∆∑
(1)
(1)(0)!
m
k
k n n n k p k =--+=∆∑
所以 0
()()n
n S x p n x ∞
==∑
0(1)
(1)(0)!
m
k
n k n n n n k p x k ∞==--+=∆∑
∑
0(1)
(1)(0)!
m
k
n n k n n n k p x k ∞
==--+=∆∑
∑
0(0)[1223(1)]!
k m k
k p x k k k =∆=⋅+⋅++∑
20(0)(1)!k k m
k k k p d x x x k dx =∆=+++∑
0(0)1()!1k k m
k k k p d x k x
dx =∆=∑- 10
(0)!!(1)k m
k k k p k x k x +=∆=∑-
1
0(0)(1)k m
k
k k x p x +==∆∑- 例9：求幂级数 21
1n
n n n x n ∞
=++∑的和函数()s x 解：令211
()(1)n
n s x n n x ∞
==++∑ 则 '1()()s x xs x = 2()1p n n n =++
故 ()22p n n ∆=+ 2
()2p n ∆=
所以由定理得
22123
(0)(0)(0)
()1(1)(1)p x p x p s x x x x ∆∆=++---
223122,(1)1(1)(1)x x x x x x =++<---
2
'
23
1122()[]1(1)(1)x x s x x x x x =++---
则 2
21()ln
,(1)11(1)
x s x x x x x =++<---
四、幂级数求和函数的综合题
例10：求幂级数和函数
362
2
45
1
()25(1)3!6!
(2)!
n n n x x x s x x x x x x n x
n ++=+++++
+++++
其中 1,4,7,10,1n x =<
解：令 123()()()()s x s x s x s x =++
其中 4
1(),1,4,7,
n s x x x x n =++
++=
3
1x
x =
-
25
2()25,2,5,8,
n s x x x nx n =++++
=
358
32()25,2,5,8,n x s x x x nx n +=++
++=
3225
2(1)()333,2,5,8,
n x s x x x x x n -=-+++
++
=
22
3
31x x x =--
所以 22
232
33()(1)1x x s x x x =---
36
3(),3,6,9,3!6!!
n
x x x s x n n =
++++=
25
1'
3(),3,6,9,
2!5!
(1)!n x x x s x n n -=++++=-
4
2''
3(),3,6,9,
4!
(2)!
n x x s x x n n -=++++=-
以上三式相加得 '
''
3331()()()1!
n
x n x s x s x s x e n ∞
=+
+==-∑ 这是一个满足初始条件'
33(0)0,(0)0s s ==的二阶常系数的线性微分方程，解 此微分方程得
2321
()cos 1323
x
x s x e x e -=+-
从而
3222332321()13
311(1)x
x
x x x s x e x e x x x -=-+++----
例11：求 211n
n n x n
∞
=+∑ 的和函数 ()s x 。

解：易知该幂级数的收敛域为(1,1)-
111()n
n
n n s x nx x n
∞
∞
===+∑∑ 令
1
11()n n s x nx ∞
-==∑
11
00
1
1
()1x
x n n
n n x
s x dx nx dx x x
∞
∞
-=====∑∑⎰⎰- 则 122
11()()=,=1n
n x x s x nx x x x ∞==∑-，（1-)（1-)
令 211()n
n s x x n
∞
==∑
1
2
1
1()1n n s x x
x
∞
-===-∑，
201
()ln(1)1x
s x dx x x
==---⎰
所以
111()n
n
n n s x nx x n
∞
∞
===+∑∑ 2
ln(1)(1)
x
x x =
--- (11)x -<<
以上八种方法给幂级数求和方法提供了更广阔的思路和求解途径，为幂级数求和的研究提供了一条新的研究方向；对于我们求解幂级数和有更好的指导意义，对于我们数学专业学生，可以更好地掌握和了解幂级数求和问题，在幂级数求和的学习过程中有更清晰和更广的思路，也有利于我们更好的学习和掌握幂级数。

参考文献
（1）复旦大学数学系陈传璋编，数学分析第三版. 北京：高等教育出版社.2011.
（2）中国人民大学数学教研室编, 微积分. 中国人民大学出版社出版.
（3）微积分学和数学分析指导. 白红，吴勃英，刘锐编. 北京: 科学出版社.2001.
（4）卢丁著，赵慈庚等译.数学分析原理[M].机械工业出版社，2004 （5）王元等.华罗庚科普著作选集[M].上海:上海教育出版社,1984（6）裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版杜，1993.
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（8）柯朗，约翰著，微积分和数学分析引论，第二卷. 北京：科教出版社.
（9）云南大学教务处编. 2006云南大学本科生优秀毕业论文(设计)集粹(理科). 昆明: 云南民族大学印刷厂印制. 2006.
（10）汪林, 戴正德, 杨富春, 郑喜印编. 数学分析问题研究与评注.
北京: 科学出版社. 1995.
（11）刘治国.关于一类级数的求和.贵州教育学院出版（自然科学版).1991。