专题11.5 古典概型(讲)(解析版)

专题11.5 古典概型
1.理解古典概型及其概率计算公式；
2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
知识点一 基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 知识点二 古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同.
【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m
n
.
知识点三 古典概型的概率公式 P (A )＝事件A 包含的可能结果数
试验的所有可能结果数.
【知识必备】
概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.
考点一 基本事件及古典概型的判断
【典例1】（吉林长春外国语学校2019届模拟）
袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球. (1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
【解析】(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.
又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A ：“摸到白球”，B ：“摸到黑球”，C ：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为1
11
，而白球有5个，
故一次摸球摸到白球的可能性为5
11，
同理可知摸到黑球、红球的可能性均为3
11，
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，
故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型. 【方法技巧】古典概型中基本事件个数的探求方法：
(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x ，y )可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.
(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识.
【变式1】（浙江台州中学2019届模拟）甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张.
(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况.
(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 【解析】(1)设(i ，j )表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，则甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种.
(2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，∴甲胜的概率p ＝512，∵512≠1
2
，∴此游戏不公平.
考点二 简单的古典概型的概率 【典例2】（山东潍坊二中2019届模拟）
(1)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( ) A.1
2
B.14
C.13
D.16
(2)设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，
取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为________.
【答案】(1)B (2)1
3
【解析】(1)两名同学分3本不同的书，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝1
4
.
(2)袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，基本事件总数n ＝6×6＝36，取出此2球所得分数之和为3分，包含第一次抽到红球，第二次抽到黄球或者第一次抽到黄球，第二次抽到红球，基本事件个数m ＝2×3＋3×2＝12，所以取出此2球所得分数之和为3分的概率p ＝m n ＝1236＝13
.
规律方法 计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n ；(2)计算事件A 所包含的基本事件的个数m ；(3)代入公式求出概率p .
【变式2】（湖北孝感高级中学2019届模拟）同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )
A.13
B.12
C.23
D.56
【答案】B
【解析】从四首歌中任选两首共有C 24＝6种选法，不选取《爱你一万年》的方法有C 2
3＝3种，故所求
的概率为p ＝36＝12
.
考点三 古典概型与平面向量和或解析几何的交汇
【典例3】（广东广雅中学2019届模拟）设平面向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∈{1，2，3，4}，记“a ⊥(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )
A.18
B.14
C.13
D.12
【答案】A
【解析】有序数对(m ，n )的所有可能情况为4×4＝16个，由a ⊥(a －b )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∈{1，2，3，4}，故事件A 包含的基本事件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P (A )＝216＝18
.
【变式3】（福建三明一中2019届模拟）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________.
【答案】7
12
【解析】依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有6×6＝36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足
2a
a 2＋
b 2
≤2，即a ≤b 的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率为2136＝7
12
.
考点四 古典概型与函数或统计的交汇
【典例4】（广西南宁二中2019届模拟）已知函数f (x )＝1
3x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1，2，3三个数
中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
A.79
B.13
C.59
D.23
【答案】D
【解析】f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，由题意知f ′(x )＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，∴a >b ，有序数对(a ，b )所有结果为3×3＝9种，其中满足a >b 有(1，0)，(2，0)，(3，0)，(2，1)，(3，1)，(3，2)共6种，故所求概率p ＝69＝23
.
【变式4】（四川雅安中学2019届模拟）某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.
(注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])
(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？
(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.
【解析】(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.
(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是
5
30＋45
＝
1
15，所以样本中包含的男生人数为30×
1
15＝2，女生
人数为45×1
15＝3.
则从5人中任意选取2人共有C25＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C23＝3种，则至少有一名男生
有C25－C23＝7种.故至少有一名男生的概率为p＝7
10，即选取的2人中至少有一名男生的概率为
7
10.。