课时作业16：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

§3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )
A ．0 B.32＋52i
C.52－52i
D.52－32i
答案 C
解析 z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎫2＋12＋⎝⎛⎭⎫－12－2i ＝52－52i.
2．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( )
A ．1
B ．2
C ．－2
D ．－1
答案 A
解析 z 1－z 2＝y ＋x i －(y i －x )＝x ＋y ＋(x －y )i ＝2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝0，
∴x ＝y ＝1，∴xy ＝1.
3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为(
) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1
答案 D
解析 z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i
＝5＋(1＋a )i.
∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，
∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.
4．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )
A ．－3i
B ．3i
C ．±3i
D ．4i
答案 B
解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
∵z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数，
∴a ＝0，b ＋3≠0，又|b |＝3，∴b ＝3，∴z ＝3i.
5．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|等于
( ) A. 2 B ．2 C.10 D ．4
答案 B
解析 由题意可知OA →＝(1,1)，OB →＝(1,3)，故AB →＝(0,2)，所以|AB →|＝2.
6．已知复数z 1＝12－32
i ，z 2＝cos 60°＋isin 60°，则z 1＋z 2＝________. 答案 1
解析 ∵z 2＝cos 60°＋isin 60°＝12＋32
i ， ∴z 1＋z 2＝1.
7．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝____. 答案 －1
解析 z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 8．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限．
答案 三
解析 因为z ＝3－4i ，所以|z |＝5，
所以z －|z |＋(1－i)＝3－4i －5＋(1－i)＝－1－5i.
复数z ＝－1－5i 在复平面内的对应点Z (－1，－5)位于第三象限．
9．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.
解 z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i.
∵z 1－z 2＝13－2i ，
∴(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝－1， ∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i.
z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.
10．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量
BC →对应的复数是3－i ，求点C 在复平面内的坐标．
解 ∵AC →＝BC →－BA →，
∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，
∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，
∴x ＝4，y ＝－2，∴点C 在复平面内的坐标为(4，－2)．
11．若z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，a ，b ∈R ，则当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )
A ．1＋i
B ．2＋i
C ．3
D ．－2－i
答案 D
解析 ∵z 1＋z 2＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0，b ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－1，∴a ＋b i ＝－2－i. 12．如图，设向量OP →，PQ →，OQ →所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( )
A ．z 1－z 2－z 3＝0
B ．z 1＋z 2＋z 3＝0
C ．z 2－z 1－z 3＝0
D ．z 1＋z 2－z 3＝0 答案 D
解析 由题图可知，PQ →＋QP →＝0，
∴PQ →＋OP →－OQ →＝0，
∴z 1＋z 2－z 3＝0.
13．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．4 2
D ．16 答案 C
解析 由|z －4i|＝|z ＋2|，
得|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|，
∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，即x ＋2y ＝3，
∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ＋2y ＝223＝42，
当且仅当x ＝2y ＝32
时，2x ＋4y 取得最小值4 2. 14.如图所示，在复平面内的四个点O ，A ，B ，C 恰好构成平行四边形，其中O 为原点，A ，B ，C 所对应的复数分别是z A ＝4＋a i ，z B ＝6＋8i ，z C ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z A －z C ＝________.
答案 2－4i
解析 因为OA →＋OC →＝OB →，
所以4＋a i ＋(a ＋b i)＝6＋8i.
因为a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋a ＝6，a ＋b ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝6. 所以z A ＝4＋2i ，z C ＝2＋6i ，
所以z A －z C ＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.
15．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( )
A ．3－2 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D.2＋1
答案 D
解析 |z 1－z 2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|
＝(1－sin θ)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(cos θ－sin θ)
＝3＋22cos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4. ∵⎪⎪⎪
⎪cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4max ＝1，∴|z 1－z 2|max ＝3＋22＝2＋1. 16．在平行四边形ABCD 中，已知AC →，DC →对应的复数分别为z 1＝3＋5i ，z 2＝－1＋2i.
(1)求BC →对应的复数；
(2)求BD →对应的复数；
(3)求平行四边形ABCD 的面积．
解 (1)由于AC →＝AB →＋BC →＝DC →＋BC →，
所以BC →＝AC →－DC →，故BC →对应的复数z ＝z 1－z 2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.
(2)由于BD →＝AD →－AB →＝BC →－DC →，
所以BD →对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(－1,2)，AD →＝BC →＝(4,3)，
所以cos ∠DAB ＝AB →·AD →|AB →||AD →|＝25×5＝2525， 因此sin ∠DAB ＝1－cos 2∠DAB ＝
11525. 于是平行四边形ABCD 的面积
S ＝|AB →|·|AD →|sin ∠DAB ＝5×5×11525＝11.。