2011数值分析试题及答案

解：由 x( k 1) Mx( k ) g 和 x* Mx* g 可得：
x( k 1) x* M ( x( k ) x* ) , k 0,1,2,...
递推的： x( k ) x* M k ( x(0) x* ) 设 y 是矩阵 M 属于特征值 的特征向量，取 x(0) y x* ，则有：
3 5x f ( xk ) xk a a ， xk 1 k 2 , k 0,1,2,... xk xk 2 6 f ( xk ) 6 xk 6 xk
一、解答下列各题： （每题 5 分，共 30 分） 1.设近似值 x 具有 5 位有效数字，则 x 的相对误差限为多少？ 解：记 x 0.a1a2 ...10 ，则 x 的相对误差为：
1 1
1 0 0 0 0.3 0.2 0 0.3 0.2 0 0. 4 G ( D L) U 0 1 0 0 0 0.4 0 1 0 1 0 0 0 0 0. 3 0. 2
h2 h3 y ( xn ) ( y ( xn ) O(h 4 ) 2 6
y( xn1 ) y ( xn ) hy ( xn )
yn f n h
h 2 f n f n h3 ( fn ) y ( xn ) O(h 4 ) 2 x y 6
2
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
1 三、 （9 分）说明方程 2 x sin x 2 0 在区间 [ , ] 内有唯一根，并建立一个 2 2 1 收敛的迭代格式，使对任意初值 x0 [ , ] 都收敛，说明收敛理由和收敛阶。 2 2 1 1 解：记 f ( x) 2 x sin x 2 ，则 f ( x) C[ , ] ,且 f ( ) 0, f ( ) 0 ，而且， 2 2 2 2 1 ] 内有唯一根。 f ( x) 2 cos x 0 ，所以，方程 2 x sin x 2 0 在区间 [ , 2 2 1 建立迭代格式： xk 1 sin xk 1, k 0,1,2,... 2 1 1 由于，迭代函数 （x) sin x 1 在区间 [ , ] 上满足条件： 2 2 2 1 3 1 1 1 ( x) ， | ( x) || cos x | 1 2 2 2 2 2 1 所以，此迭代格式对任意初值 x0 [ , ] 都收敛。 2 2 1 又由于， ( ) cos 0 ，所以，此迭代格式 1 阶收敛。 2
五、 （4 分）设矩阵 M 是 n 阶方阵， M 有一个绝对值小于 1 的特征值 ，且方程 组 x Mx g 有 唯 一 解 x * ， 证 明 ： 存 在 初 始 向 量 x ( 0 ) 使 迭 代 格 式 ：
x ( k 1) Mx ( k ) g , k 0,1,2,...产生的序列 {x ( k ) } 收敛到 x * .
么？ 解：由于 | sin(x 2 y) sin(x 2 y ) | | 2cos( x 2 )( y y ) | 2 | y y | 即，函数 f ( x, y) sin(x 2 y) 连续，且关于变量 y 满足 Lipschitz 条件，所以，改 进 Euler 方法收敛。
* m
0.5 105 x* x 0.5 10m5 0.5 104 m 0.1 x* 0.a1 a 2 ... 10
xk 1
即，相对误差限为： 0.5 10 .
4 2 0 2.问 a , b 满足什么条件时， 矩阵 A 2 5 a 有分解式 A GGT ， 并求 a b 2 时 0 b 5
x1 0.3 x 2 0.2 x3 1 1.用 Gauss-Saidel 迭代法求解方程组 x 2 0.4 x3 2 ，如果取初值 x x 1 3 1
1 1 所以， H 3 ( x) ( x 2)( x 2 2 x 1) ( x 3 3x 2) 。 2 2 1 1 4． 确定求积公式 f ( x)dx f (1) A1 f (0) A2 f (1) 中的待定系数， 使其代数精 1 2
(k ) (k ) x1( k 1) 0.3x 2 0.2 x3 1 ( k 1) (k ) 0.4 x3 2 由于 Gauss-Saidel 迭代格式为： x 2 ，所以， x ( k 1) x ( k 1) 1 1 3源自解： I S 2

G
10
1 G
x
(1)
x
0.510 1 1 2 8 0.00390625 0.5 256 2
5M 4
2880 2 4
＝0.006641
2．给定离散数据 xi yi －1 2 0 －1 1 1 2 3
y sin(x 2 y) , 0 x 2 6．求解初值问题 的改进 Euler 方法是否收敛？为什 y(0) 1
0
0
二、解答下列各题： （每题 8 分，共 48 分）
2c 1 ， a b c 2 ， a c 0 ，解得：
a c 1 / 2, b 1，
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
f [1,2,3,4] 4 ， f [1,2,3,4,5] 0
6. 设 p2 ( x) 是 区 间 [0, 1] 上 权 函 数 为 x 的 二 次 正 交 多 项 式 ， 计 算 积 分
x 2 x2 2 3.解线性方程组 1 的 Jacobi 迭代法是否收敛，为什么？ 2 x1 9 x2 3
试求形如 y a bx2 的拟合曲线。 解：由于 0 ( x) 1,1 ( x) x 2 ，所以 0 (1,1,1,1)T ,1 (1,0,1,4)T ,
4a 6b 5 ， f (2,1,1,3)T ，所以，正则方程组为： 6a 18b 15
班
级
学
号
姓
名
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
东 北 大 学 研 究 生 院 考 试 试 卷 2011 —2012 学年第 数值分析 一 学期
总分
一
二
三
四
五
课程名称：
(共 3 页)
4.对方程 f ( x) ( x 3 a) 2 0 建立 Newton 迭代格式，并说明此迭代格式是否收 敛？若收敛，收敛阶是多少？ 解：Newton 迭代格式为：
f（ 1 ） f（ 0 ） 2 (5) 7 1 0
所以，当 2 5 a b 2 5 时有分解式 A GGT ， a b 2 时有：
4 2 0 2 0 0 2 1 0 A 2 5 2 1 2 0 0 2 1 0 2 5 0 1 2 0 0 2
x( k ) x* M k y k y ，于是有： x ( k ) x*
k
k
y
所以， lim x ( k ) x* 0 ，即序列 {x ( k ) } 收敛到 x * .
y f ( x, y) , x [a, b] 四、 （9 分） 已知求解常微分方程初值问题： 的差分公式： y ( a)
1
1 1 f (1) f (0) f (1) 代数精度最高. 2 2
又由于公式对 f ( x) x 2 不能精确成立，所以，代数精度为 1，不是插值型求 积公式。 5.利用复化 Simpson 公式 S 2 计算定积分 I sinxdx 的近似值，并估计误差。
0
所以， G

0.5 ,
h h y n 1 y n hf ( x n , y n f ( x n , y n )) 2 2 y 0
求此差分公式的阶。 解：由于
y n1
h 2 f n f n h3 2 f n 2 f 2 f yn f n h ( fn ) ( 2 2 f n 2 f n2 ) O(h 4 ) 2 x y 8 x xy y

12
[sin 0 sin 2 sin

2
4 sin

4
4 sin
3 ] (1 2 2 ) 2.00456 4 6
x (1) (1,2,2)T ， x (1) x ( 0)
x10 x
*

2 ，于是
( 0)
由于 f ( x) sin x 的 4 阶导数在 [0, ] 上的最大值为： M 4 1,所以 误差为： | I S 2 |
4
由于迭代函数为： ( x)
5x a 2 ，方程根为： 3 a ，所以， 6 6x
( )
1 5 a 1 3 1 ，且 ( ) 0 2 6 3 2
所以，此迭代格式收敛，收敛阶是 1.
的分解式（其中 G 是对角线元素大于零的下三角形矩阵）.
x0 (0,0,0)T ,试估计迭代 10 步的误差 x10 x *
解：由于 Gauss-Saidel 迭代矩阵为：
1

.
度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式. 解：令公式对 f ( x) 1, x 都精确成立，得： A1 A2 3 / 2, A2 1 / 2 , 所以， A1 1, A2 1 / 2 时，公式 f ( x)dx