理论力学_动力学复习.ppt
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理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
11
§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)页PPT文档
在运动过程中，系统所受外力对z轴之矩为零，故系统对z轴 的动量矩守恒。
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B
J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A
0
mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B
J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A
0
mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC
理论力学 ppt课件
相对运动：动点相对于动系的运动。
相对速度用
vr
；
牵连运动：动系相对于静系的运动。
牵连速度用
ve
；
二、牵连速度的概念：牵连点的速度； 牵连点： 1、瞬时量；
2、在动系上；
三、点的速度合成定理：
3、与动点相重合的那一点；
四、用速度合成定理解题的步骤：
A、选取动点和动系：注意动点必须与动系有相对运动，
FN
FN'
rW 且知F '
fsR
max
rW R
代入上式
F1min
1 a
(FN'
b
Fmax c)
F1min
Wr ( aR
b fs
c)
ppt课件
FOy FOx
F’N
F1 F’max
19
[练2] 结构如图，AB=BC=L，重均为P，A，B处为铰链，
C处靠在粗糙的铅垂面上。平衡时两杆与水平面的夹角均为α，
方向：
R
aa
ae
ωαB
避开 ar ，向垂直于 ar 的方向投影得
aRen
M
ar
aa cos aan sin aC ae
求：C处的摩擦系数fS=?
FAx
A
P
解：1）分析整体
M
A
0,
FNC
2L sin
2P
L 2
cos
0
2）分析BC
FAy
α α
B
FNC
C
Fmax
P
FBy FBx
M
B
0,
FNC
L
sin
Fmax
L
cos
理论力学9质点动力学基本方程ppt课件
小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
理论力学 第8章 动力学基础
8 动力学基础
引言
什么是动力学？学习动力学的意义？
力系不平衡
引起运动的原因
力系
运动
平
几运
衡
何动
条
性本
件
质身
质运 量动 关力 系、
静力 学
运动 学
动力学
动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
如果说，力的作用是改变物体机械运动的原因，机械 运动变化是力对物体作用的结果，则动力学就是从因果 关系上论述物体的机械运动。
7
8.1 动力学的基本定律
第二定律（力与加速度之间的关系的定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小， 加速度的方向与力的方向相同上。
即 说明：
F=ma
•此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系。
•质量是质点惯性的度量。 •在地球表面，物体受重力作用，有
G = mg
式中，g — 重力加速度，一般取 g = 9.80 m/s2。
MX
oi x
x
17
8.4 质点系的惯性特征
两个概念：质点系的质心，刚体的转动惯量。
1. 质点系的质心
任一质点系的质心： rC
Σmi ri
M
xC
Σmi M
xi
，yC
Σmi M
yi
，zC
Σmi zi M
18
8.4 质点系的惯性特征
2. 刚体的转动惯量 我们知道，质量是质点惯性的度量。 问题 ①： 对质点系，质量是什么的度量？
1 mR2 2
Jz 1l2, m3
Jz R2 m
Jz 1 R2 m2
25
惯性半径（回转半径）
转动惯量与质量的比值的平方根，常用表示。
引言
什么是动力学？学习动力学的意义？
力系不平衡
引起运动的原因
力系
运动
平
几运
衡
何动
条
性本
件
质身
质运 量动 关力 系、
静力 学
运动 学
动力学
动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
如果说，力的作用是改变物体机械运动的原因，机械 运动变化是力对物体作用的结果，则动力学就是从因果 关系上论述物体的机械运动。
7
8.1 动力学的基本定律
第二定律（力与加速度之间的关系的定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小， 加速度的方向与力的方向相同上。
即 说明：
F=ma
•此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系。
•质量是质点惯性的度量。 •在地球表面，物体受重力作用，有
G = mg
式中，g — 重力加速度，一般取 g = 9.80 m/s2。
MX
oi x
x
17
8.4 质点系的惯性特征
两个概念：质点系的质心，刚体的转动惯量。
1. 质点系的质心
任一质点系的质心： rC
Σmi ri
M
xC
Σmi M
xi
，yC
Σmi M
yi
，zC
Σmi zi M
18
8.4 质点系的惯性特征
2. 刚体的转动惯量 我们知道，质量是质点惯性的度量。 问题 ①： 对质点系，质量是什么的度量？
1 mR2 2
Jz 1l2, m3
Jz R2 m
Jz 1 R2 m2
25
惯性半径（回转半径）
转动惯量与质量的比值的平方根，常用表示。
理论力ppt课件
力矩对时间的累积等于物体角 动量的变化率。
角动量守恒的条件
系统不受外力矩或所受外力矩 的矢量和为零。
角动量守恒定律
不受外力矩作用的系统，其总 角动量保持不变。
应用领域
广泛应用于航天、航空、航海 等领域，用于分析系统的旋转
运动规律和设计。
CHAPTER 04
质点和刚体的动力学应用
质点和刚体的直线运动
理论力学的历史与发展
理论力学的起源可以追溯到古代，如阿基米德等人的贡献。 然而，真正意义上的理论力学是在牛顿发表《自然哲学的数 学原理》之后发展起来的。
随着数学和物理学的不断发展，理论力学也不断完善和深化 ，形成了多个分支。近年来，随着计算机科学的进步，理论 力学与数值计算方法的结合为解决复杂问题提供了更有效的 手段。
弹性力学的基本方程
01
02
03
平衡方程
根据牛顿第二定律，描述 了物体在力的作用下保持 平衡的状态。
几何方程
描述了物体在外力作用下 产生的变形。
物理方程
描述了物体的应力与应变 之间的关系。
弹性力学的应用实例
桥梁和建筑物的设计
材料科学的研究
通过弹性力学，可以分析桥梁和建筑 物的受力情况，从而设计出更加安全 和经济的结构。
连续性假设
物质没有空隙地连续充满所占据的空 间，或者说物质所占据空间的场内， 物质分布函数的值是连续的。
完全弹性假设
当外力撤去后，所有的变形全部恢复 ，并且不出现残余的应变。
各向同性假设
弹性性质与方向无关，也就是说，在 各个方向上，弹性模量是常数。
小变形假设
物体在外力作用下产生的变形量远远 小于物体原来的尺寸，即可以忽略不 计。
基础运动形式
角动量守恒的条件
系统不受外力矩或所受外力矩 的矢量和为零。
角动量守恒定律
不受外力矩作用的系统，其总 角动量保持不变。
应用领域
广泛应用于航天、航空、航海 等领域，用于分析系统的旋转
运动规律和设计。
CHAPTER 04
质点和刚体的动力学应用
质点和刚体的直线运动
理论力学的历史与发展
理论力学的起源可以追溯到古代，如阿基米德等人的贡献。 然而，真正意义上的理论力学是在牛顿发表《自然哲学的数 学原理》之后发展起来的。
随着数学和物理学的不断发展，理论力学也不断完善和深化 ，形成了多个分支。近年来，随着计算机科学的进步，理论 力学与数值计算方法的结合为解决复杂问题提供了更有效的 手段。
弹性力学的基本方程
01
02
03
平衡方程
根据牛顿第二定律，描述 了物体在力的作用下保持 平衡的状态。
几何方程
描述了物体在外力作用下 产生的变形。
物理方程
描述了物体的应力与应变 之间的关系。
弹性力学的应用实例
桥梁和建筑物的设计
材料科学的研究
通过弹性力学，可以分析桥梁和建筑 物的受力情况，从而设计出更加安全 和经济的结构。
连续性假设
物质没有空隙地连续充满所占据的空 间，或者说物质所占据空间的场内， 物质分布函数的值是连续的。
完全弹性假设
当外力撤去后，所有的变形全部恢复 ，并且不出现残余的应变。
各向同性假设
弹性性质与方向无关，也就是说，在 各个方向上，弹性模量是常数。
小变形假设
物体在外力作用下产生的变形量远远 小于物体原来的尺寸，即可以忽略不 计。
基础运动形式
理论力学动力学
二、四种特例
• 动系作平动。 J Fc = 0 •动系作匀速直线平动。
F
J e
ma r = F + F
J c
J e
= F
= 0
ma r = F
•相对平衡——43; F eJ + F cJ = 0
•相对静止——质点在动系中保持静止。
ar = 0
vr = 0
F + FeJ = 0
ac = 0
FeJ
T
θ
a a
P
例一： （书例6-7）
ω T M G φP
θ
F+F =0
J e
FeJ
T+G+F = 0
J e
T + P = 0 ——牵连 惯性力与万有引力之和为重力。 即重力不指向地球中心，而是有一微 小偏角θ。
又 dv x dt = (dv x dx ) (dx dt ) = v x dv x dx
N
∫
vx
0
v x dv x = ∫ （
x b
− Px m x +h
2 2
dx ）
v 2 2 = P b 2 + h2 − x 2 + h2 m x
(
)
令 x = c，v = v x = 2 P（ b 2 + h2 − x 2 + h2）m
§9-3 质点在非惯性坐标系中的运动
一、相对运动微分方程 对静系： ma = F
由于 a = ar+ ae+ ac 有 m ( ar+ ae+ ac) = F
Z’
z
O’ X’
M a F
Y’
理论力学完整ppt课件
理论力学
主讲 王卫东
可编辑课件PPT
1
可编辑课件PPT
2
绪
论
一、理论力学的研究对象和内容 二、理论力学发展简史 三、学习理论力学的目的 四、理论力学的研究方法
可编辑课件PPT
3
可编辑课件PPT
真汽 车 碰 撞 仿
4
可编辑课件PPT
5
可编辑课件PPT
6
一、理论力学的研究对象和内容
理论力学——研究物体机械运动规律的科学。
可编辑课件PPT
15
都江堰
岷江上的大型引水枢纽工程，也是现有世界上历史最长的无坝 引水工程。始建于公元前256～前251年。
可编辑课件PPT
16
赵州桥(安济桥)
591～599年，跨度37.4米,采用拱高只有7米的浅拱-敞肩拱，
敞肩拱的运用为世界桥梁史上的首创，并有“世界桥梁鼻祖”
的美誉。
可编辑课件PPT
3 随着科学技术的发展，交叉学科的地位也越来越 重要。力学与其它学科的渗透形成了生物力学、爆 炸力学、物理力学等边缘学科，这就需要我们有坚 实的理论力学基础。
4 培养分析问题、解决问题的方法。
可编辑课件PPT
24
四、理论力学的研究方法
是从实践出发，经过抽象化、综合、归纳、建立 公理，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论， 形成理论体系，然后再通过实践来验证理论的正确性。
17
张衡与地动仪
东汉时期，中国发生地震的次数是比较多的，为了测定地
震方位，及时地挽救人民的生命财产，公元126年，张衡在第二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次担任太史令之后， 就注意掌握收集地震的情报和记录，经过
多年的潜心研究，终于在公元132年(东汉顺帝阳嘉元年)，发明
主讲 王卫东
可编辑课件PPT
1
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2
绪
论
一、理论力学的研究对象和内容 二、理论力学发展简史 三、学习理论力学的目的 四、理论力学的研究方法
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真汽 车 碰 撞 仿
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5
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6
一、理论力学的研究对象和内容
理论力学——研究物体机械运动规律的科学。
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15
都江堰
岷江上的大型引水枢纽工程，也是现有世界上历史最长的无坝 引水工程。始建于公元前256～前251年。
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16
赵州桥(安济桥)
591～599年，跨度37.4米,采用拱高只有7米的浅拱-敞肩拱，
敞肩拱的运用为世界桥梁史上的首创，并有“世界桥梁鼻祖”
的美誉。
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3 随着科学技术的发展，交叉学科的地位也越来越 重要。力学与其它学科的渗透形成了生物力学、爆 炸力学、物理力学等边缘学科，这就需要我们有坚 实的理论力学基础。
4 培养分析问题、解决问题的方法。
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24
四、理论力学的研究方法
是从实践出发，经过抽象化、综合、归纳、建立 公理，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论， 形成理论体系，然后再通过实践来验证理论的正确性。
17
张衡与地动仪
东汉时期，中国发生地震的次数是比较多的，为了测定地
震方位，及时地挽救人民的生命财产，公元126年，张衡在第二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次担任太史令之后， 就注意掌握收集地震的情报和记录，经过
多年的潜心研究，终于在公元132年(东汉顺帝阳嘉元年)，发明
理论力学课件 第十二章 动能定理
FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
理论力学 第3篇 动力学
ma = F 或 ma = F
❖ 牛顿第三定律 (作用与反作用定律)
二、牛顿定律的适应范围 牛顿定律适用于在惯性参考系下研究速度远小于 光速的宏观物体的运动。
一般认为固接在地球上或相对于地球静止或作匀 速直线运动的参考系为惯性坐标系。
结合运动学知识，牛顿第二定律中的运动量加速 度应为绝对加速度。 以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。
➢跳下不撑伞， mg＞ 1 v2 ，跳伞员加速下落； ➢mg= 1 v012 ，解得 v01 =50m/s
相当于物体自由下落 700m时达到的速度
➢撑伞后， mg< 1 v2 ，跳伞员减速下落； mg= 2 v022 ， 解得 v02 =5.6m/s
相当于物体自由下落 不到2m时达到的速度
课堂练习 质量为m的物体自高h处水平抛出，运动中受到空气 阻力R作用，R=-kmv，其中k为常数，写出质点运动 微分方程与初始条件。
质点动力学研究质点受力与质点运动之间的关系。 描述质点受力与质点运动关系的微分方程称为质点运 动微分方程。
质点动力学的基础是牛顿三大定律。
动力学基本定律
§10-1 动力学的基本定律
一、牛顿三定律 ❖ 牛顿第一定律 (惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止与匀速直线运动
❖ 牛顿第二定律 (力与加速度关系定律) 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点上 的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
小球在一般位置的受力如图所示
R
如图建立坐标
mg
由质点运动方程得
m
d2 y dt 2
=
mg-
v
y
即
dv dt
=
g-
mv
于是 解得
∫ ∫ v dv 0 g- m v
❖ 牛顿第三定律 (作用与反作用定律)
二、牛顿定律的适应范围 牛顿定律适用于在惯性参考系下研究速度远小于 光速的宏观物体的运动。
一般认为固接在地球上或相对于地球静止或作匀 速直线运动的参考系为惯性坐标系。
结合运动学知识，牛顿第二定律中的运动量加速 度应为绝对加速度。 以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。
➢跳下不撑伞， mg＞ 1 v2 ，跳伞员加速下落； ➢mg= 1 v012 ，解得 v01 =50m/s
相当于物体自由下落 700m时达到的速度
➢撑伞后， mg< 1 v2 ，跳伞员减速下落； mg= 2 v022 ， 解得 v02 =5.6m/s
相当于物体自由下落 不到2m时达到的速度
课堂练习 质量为m的物体自高h处水平抛出，运动中受到空气 阻力R作用，R=-kmv，其中k为常数，写出质点运动 微分方程与初始条件。
质点动力学研究质点受力与质点运动之间的关系。 描述质点受力与质点运动关系的微分方程称为质点运 动微分方程。
质点动力学的基础是牛顿三大定律。
动力学基本定律
§10-1 动力学的基本定律
一、牛顿三定律 ❖ 牛顿第一定律 (惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止与匀速直线运动
❖ 牛顿第二定律 (力与加速度关系定律) 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点上 的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
小球在一般位置的受力如图所示
R
如图建立坐标
mg
由质点运动方程得
m
d2 y dt 2
=
mg-
v
y
即
dv dt
=
g-
mv
于是 解得
∫ ∫ v dv 0 g- m v
(PPT幻灯片版)理论力学课件
F1
刚体
大小相等 | F1 | = | F2 | 方 向相反 F1 =－F2 (矢量) 且 在同一直线上。
F2
说明：①对刚体来说，上面的条件是充要的； ②对变形体来说，上面的条件只是必要条件。
绳子
F2
平衡
F1
F2 不平衡
F1
F2
绳子
不平衡
F1
对多刚体不成立
理论力学
中南大学土木建筑学院
11
③二力构件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力构件。
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57
[例] 画出下列各构件的受力图
D
F2
B
F1
A
FAy FBy FBx B
E
FAx
FCx
C
FCy F2
E
FB
FE
FD F3
G
F3 FC
G FCx
FBy
B
F1 二力构件
F1 二力杆
F2
F2
注意：二力构件是不计自重的。
公理3 加减平衡力系原理
在已知的任意力系上加上或减去任意一个平衡力系， 并不改变原力系对刚体的作用。
理论力学
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12
推论1：力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一
点，而不改变该力对刚体的作用效应。
A F B 等效 A F F B F 等效 A F F B F
理论力学
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46
理论力学
中南大学土木建筑学院
47
（3）止推轴承（圆锥轴承）
约束特点：止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制。 约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦有三个正
理论力学第8章动力学普遍定理3
W 得
i
2Q 9 P 2 2 l 0 M 12 g
——（*）
2 l
3 gM 2Q 9 P
将（*）式对t 求导数，得
2Q 9 P 12 g l 2
2
d dt
M
d dt
d dt
T 1 2 mv
2
1 2
J A
2
1 2
mv
2
JA
1 2
mr , v r
2
T
5 4
mv
2
当圆盘A质心沿斜面向下运动dS时：
δW
5 4
i
2 mg d S sin f mg d S cos mg d S ( 2 sin f cos )
由动能定理的微分形式dT=∑Wi得：
δ W F d s F r d m z ( F ) d
2
W
1
m z ( F )d
若 m z ( F ) 常量，则
W m z ( F )( 2 1 )
7
如果作用力偶m , 且力偶的作用面垂直转轴，则
W md
1 2
W 若m = 常量, 则 注意：功的符号的确定。
注意：圆轮作纯滚动时摩擦力F不做功
( d r 0 )
(2) 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量则 6．约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。
W m m s R
即：理想约束的约束反力做功为零。
9
（1）光滑支承面
N dr δW N dr 0
2
——质点动能定理的微分形式
理论力学 动力学基本方程(共25张PPT)
t
0
，x
xo，v
v
，试求质点的运动规律。
o
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程。
舰载飞机在解发动：机和此弹射题器推力力 求运动，属于动力学第二类问题，且力为时间的函
假设推力和跑道可能长度，那么需要多大的初速度和一定的时间隔后才能到达飞离甲板时的速度。
数。质点运动微分方程为 (2) 力是改变质点运动状态的原因
惯性参考在系工程实际问题中，可近似地选取与地球相固连的坐标系
为惯性参考系。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
§9-2 质点的动力学根本方程
将动力学基本方程 (ma F) 表示为微分形式的方程，
称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式 2.直角坐标形式
d 2r m dt2 F
d 2 x
d 2y
综合问题： 局部力，局部运动求另一局部力、局部运动。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
假设推力和跑道可能长度， 那么需要多大的初速度和 一定的时间隔后才能到达 飞离甲板时的速度。
载人飞船的交会与对接
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
动的初始条件，求出质点的运动。
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
§9-1 动力学根本定律
(3) 质量是物体惯性大小的度量。 ②受力分析,画出受力图 曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当
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面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？
?
dv
dv
a.m dt
?
F? ,b.m
dt
?
F
( A)
v
M
F
A、a、b都正确； B、a、b都不正确。
C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。
n
(2)重量为G的汽车，以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路 面最低点时，对路面的压力如何 ? （ B ） A、压力大小等于G； B、压力大小大于G。 C、压力大小小于G； D、已知条件没给够，无法判断。
（1）动量
（2）冲量
p? ? m v?
p? ? ?
? mi vi
?
mvC
i
? t?
I ? ?0 F dt
? ? （3）动量矩 LO ? MO (mivi ) ? ri ? mivi
LOz ? J z?
动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
? J z ? ri2mi i
J
z
?
m?
2 z
回转半径
?
?
2 2
)
动力学普遍定理
1、物理量
（6）动能
● 质点 T ? 1 mv2 2
● 定轴转动刚体
T
?
1 2
J z?
2
●
平移刚体
T
?
1 2
mvC2
●
平面运动刚体
T
?
1 2
m
vC2
?
1 2
JC?
2
（7）势能
M0
V ? ? F ?dr
T
?
1 2
J P?
2
M
M0作为基准位置，势能为零，称为 零势能点 。
动力学普遍定理
?
LO ? mv ?R ? J C?
?
3 mR 2?
2
T
?
1 2
J O?
2
?
1 18
mL2?
2
T
?
1 2
J
O?
2
?
3 mR 2?
4
2
T ? 1 mv 2 ? 1 mR 2? 2
2
4
A
?
O
图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为2r，
质量为m，行星齿轮可视为均质轮，质量
为m，半径为r，系杆绕轴O转动的角速度
为（ ）。
7 2
mr
2?）0，系统动能为（11
4
mr
2?
2 0
例
如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均
为m，OA 杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平面
作纯滚动。在图示瞬时，OA 的角速度为? ，则整个系统的动量为多少
？
【解】因为按图示机构，系统可分成3个刚块：OA、AB、和轮B。
动力学的主要内容
研究物体的机械运动 与作用力之间的关系
动力学所涉及的研究内容包括：
1. 动力学第一类问题 —— 已知系统的运动，求作用 在系统上的力。
2. 动力学第二类问题 —— 已知作用在系统上的力， 求系统的运动。
动力学普遍定理
? 动量定理 ? 动量矩定理 ? 动能定理
动力学普遍定理
1、物理量
B、动量大小有变化，但方向不变 C、动量大小无变化，但方向有变化
D、动量大小、方向都有变化
（3）一均质杆长为 l，重为P，以角速度? 绕O轴转动。试确
定在图示位置时杆的动量。（ ）C
A、杆的动量大小 p ? Pl ? ，方向朝左
2g
B、杆的动量大小 p ? Pl ? ，方向朝右
B
3g
C、杆的动量大小 p ? Pl ? ，方向朝左
2．定理
（1）动量定理
? dp dt
? ? FRe
（p ? mvC）
（2）质心运动定理
? m aC
?
?
F
e R
（3若）若动量F定?F?ReR理e＝＝、00质心运则则动定v?p?C理＝＝守C?C?恒
动力学普遍定理
（4）动量矩定理
? dLO dt
?
?
M
e O
2．定理
（LOz ? J z?）
（5）定轴转动微分方程
?
1 ml2 3
O
zC
z1
C
d
C
m
l
动力学普遍定理
1、物理量
（5）力的功 ● 常力的功
M1
F M2
?v
W ? F cos? S
S
● 变力的功
M2
M2
W12 ? ? F ?dr ? ? F cos ? ds
M1
M1
● 重力的功
W12 ? mg ( z1 ? z2 )
● 弹性力的功
W12
?
k 2
(?
2 1
【思考题】
1.选择题
（1）设刚体的动量为 P ，其质心的速度为 vc，质量为M，
则式 P ? Mvc 。（ ）D A、只有在刚体作平动时才成立； B、只有在刚体作直线运动时才成立； C、只有在刚体作圆周运动时才成立； D、刚体作任意运动时均成立；
（2）质点作匀速圆周运动，其动量。（ C）
A、无变化；
z
ri
vi
mi
?
mO
y
x
动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 J C ? mr 2
m Cr
● 均质薄圆盘
JC
?
1 mr 2 2
● 均质细长杆
JC
?
1 12
ml 2
C rm
C
m
l
动力学普遍定理
1、物理量
③ 平行移轴定理
m
J z1 ? J zC ? md 2
JO
?
JC
?
m( l )2 2
度方向恒为水平，在图示瞬时
vB ? ，v方A ?向水l1?平向左。
所以
py ? 0
p x ? mv1x ? mv2 x ? mv3 x ?
5 2
ml1?
(?
)
所以
p?
px ?
5 2
ml1?
A
方向水平向左
?
B
O
动力学普遍定理
[例 题]
图示均质细直杆OA长为l，质量为m，质心C处连接一刚度系数
J z?
?
M
e z
（6）平面运动微分方程
? m?x?C ? Fx i
? m?y?C ? Fy i
? J C???? MC (Fie ) i
动力学普遍定理
（7）动能定理
T2－T1＝W12
（8）机械能守恒
T ? V ? E ? 常数
2．定理
【思考题】
1．选择题
（1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平
为? 。则该系统动量主矢的大小为（ 3mr ?
），对轴O的动量矩大小为（13 mr 2? ）
，
3
系统动能为（ 11 mr 2? 2）。
3
质量为m长为l的均质细长杆，杆端B端
置于水平面，A端铰接于质量为m，半径
为r的轮O边缘点A,已知轮沿水平面以大
小为? 的角速度作纯滚动，系统的动量
大小为（ 3mr? ）0 ，对点P的动量矩大小
?
6g
D、杆的动量等于零
lO
3
A
[例] 基本量计算 (动量，动量矩，动能)
p
?
mvC
?
1 mL?
6
LO
?
J O?
? [ 1 mL2 ? m ( L )2 ]?
12
6
p ? mR?
LO
?
J O?
?
3 mR 2?
2
p ? mv
LC
?
J C?
?
1 mR 2?
2
? 1 mL2?
9
LO ? rC ? mvC ? LCr
首先需找出每个刚块的质心速度：
（1）OA作定轴转动，其质心速度在图示
瞬时只有水平分量v 1 cx ? 1 2 l 1，? 方向水
平向左。
A
（2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速
度也只有水平分量 v2cx ? vA ? l1，? 方向水
平向左。
?
B
O
（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的速