2018-2019学年广东湛江高一上数学期末试卷

2018-2019学年广东湛江高一上数学期末试卷
一、选择题
1. 已知集合A={x|−2≤x≤3}，B={x|y=√x−2}，则A∩B=（）
A.[−2,2]
B.(2,3]
C.[2,3]
D.(−2,3]
2. 函数f(x)=lg(2x−1)
x2−4
的定义域为（）
A.(1
2,+∞) B.(2,+∞) C.[1
2
,2)∪(2,+∞) D.(1
2
,2)∪(2,+∞)
3. 直线kx+2y−1=0与直线2x−2y−1=0垂直，则k的值为（）
A.3
B.−4
3
C.2
D.−3
4. 已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面α、β，则下列命题中的真命题是()
A.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
B.若m⊥α，n // β，α⊥β，则m⊥n
C.若m // α，n // β，α // β，则m // n
D.若m // α，n⊥β，α⊥β，则m // n
5. 直线l1:x−y−1=0绕着其上一点(1,0)沿逆时针方向旋转15∘，则旋转后得到的直线l2的方程为（）
A.x−√3y−√3=0
B.√3x−y−√3=0
C.√3x−y+√3=0
D.x−√3y+√3=0
6. 圆心为(1, 1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x−1)2+(y−1)2=1
B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2
D.(x−1)2+(y−1)2=2
7. 圆(x+2)2+y2=4与圆(x−2)2+(y−1)2=9的位置关系为()
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
8. 直线3x−4y=0截圆(x−1)2+(y−2)2=2所得的弦长为（）
A.4
B.2√3
C.2√2
D.29. 已知f(x)为R上偶函数，且在[0,+∞)上为增函数，则满足f(x)<f(1−x)的x范围为（）
A.(0,1
2
) B.(−∞,1
2
) C.(1
2
,1) D.(1
2
,+∞)
10. 在三棱锥P−ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为√2
2
，√3
2
，√6
2
，则该三棱锥的体积为（）
A.√6
B.√6
6
C.6
D.2√6
11. 已知函数f(x)={
x+2,x>a
x2+5x+2,x≤a
，函数g(x)＝f(x)−2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）
A.[−1, 1)
B.[0, 2]
C.[−2, 2)
D.[−1, 2)
12. 曲线C:y=1+√4−x2与直线l:y=k(x−2)+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）
A.(5
12
,+∞) B.(5
12
,3
4
) C.(0,5
12
) D.(1
3
,3
4
)
二、填空题
若4a=9b=6，则1
a
+1
b
=________．
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，F是四边形ABCD的中心，G是CC1的中点，则直线GF与AB所成的角的正切值为________．
在空间直角坐标系中，已知点M(1, 0, 1)，M(−1, 1, 2)，则线段MN的长度为________．
直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，AA1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
三、解答题
设函数f (x )=(12)
10−mx
，其中m 为常数，且f(3)=1
2
．
（1）求m 的值；
（2）若f(X)≥4，求X 的取值范围．
如图，在四棱锥P −ABCD 中，AD//BC ，AD =3BC =6，PB =6
√
2，点M 在线段AD 上，且DM =4，AD ⊥AB ，PA ⊥平面ABCD ．
（1）证明：平面PCM ⊥平面PAD ；
（2）当∠APB =45∘时，求四棱锥P −ABCM 的表面积．
信息料技的进步和互联网商业模式的兴起，全方位地改变了大家金融消费的习惯和金融交易模式，现在银行的大部分业务都可以通过智能终端设备完成，多家银行职员人数在悄然减少．某银行现有职员人，平均每人每年可创利20万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.2万元，但银行需付下岗职员每人每年6万元的生活费，并且该银行正常运转所需人数不得小于现有职员的3
4，为使裁
员后获得的经济效益最大，该银行应裁员多少人？此时银行所获得的最大经济效益是多少万元？
设平面ABCD ⊥平面ABEF ，AB//CD ，AB//EF ，∠BAF =∠ABC =90∘，BC =CD =AF =EF =1，AB =2．
（1）证明：CE//平面ADF ；
（2）求直线EC 与平面ABCD 所成角的正弦值．
已知圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25，直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0， (1)求证：直线l 恒过定点；
(2)判断直线l 被圆C 截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m 的值以及最短长度．
已知函数f(x)=x 2+(2t −1)x +1−2t ．
（Ⅰ）若函数f(x)在区间(−1,0)和(0,1
2)上各有一个零点，求t 的取值范围；
（Ⅱ）若f(x)>0在区间[0,2]上恒成立，求t 的取值范围．
参考答案与试题解析
2018-2019学年广东湛江高一上数学期末试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
A
【考点】
命题的真假判断与应用
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质定理，以及几何特征，我
们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案．
【解答】
解：若n⊥β，α⊥β，则α // n或n⊂α，又由m⊥α，则m⊥n，故A正确；
若m⊥α，α⊥β，则m // β或m⊂β，又由n // β，则m与n可能平行也可能相交，也可能异面，故B不正确；若m // α，n // β，α // β，则m与n可能平行也可能相交，也可能异面，故C不正确；
若n⊥β，α⊥β，则n // α或n⊂α，又由m // α，则m与n可能平行也可能相交，也可能异面，故D不正确；故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
圆的标准方程
两点间的距离公式
【解析】
利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．
【解答】
解：由题意知圆半径r=√2，
∴圆的方程为(x−1)2+(y−1)2=2．
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
圆的一般方程
【解析】
求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．
【解答】
解：圆(x+2)2+y2=4的圆心C1(−2, 0)，半径r=2．
圆(x−2)2+(y−1)2=9的圆心C2(2, 1)，半径R=3，
两圆的圆心距d=√(−2−2)2+(0−1)2=√17，
R+r=5，R−r=1，
R+r>d>R−r，
所以两圆相交，
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
直线和圆的方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
B
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
D
【考点】
函数零点的判定定理
分段函数的应用
【解析】
化简g(x)＝f(x)−2x={−x+2,x>a
x2+3x+2,x≤a
，而方程−x+2＝0的解为2，方程x2+3x+2＝0的解为−1，
−2；故只需{
a<2
−1≤a
−2≤a
，从而可得答案．
【解答】
∵f(x)={x+2,x>a
x2+5x+2,x≤a
，
∴g(x)＝f(x)−2x={−x+2,x>a
x2+3x+2,x≤a
，
而方程−x+2＝0的解为2，方程x2+3x+2＝0的解为−1，−2；若函数g(x)＝f(x)−2x恰有三个不同的零点，则{
a<2
−1≤a
−2≤a
，解得−1≤a<2，即实数a的取值范围是[−1, 2)．12.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题
【答案】
【考点】
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
√6
【考点】
空间两点间的距离公式
【解析】
根据两点间的距离公式，进行计算即可．
【解答】
空间直角坐标系中，点M(1, 0, 1)，N(−1, 1, 2)，
所以线段AB的长度为|MN|=√(−1−1)2+(1−0)2+(2−1)2=√6．【答案】
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题
【答案】
【考点】
函数恒成立问题 其他不等式的解法
【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算 平面与平面垂直的判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 【考点】
二次函数的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 【考点】
直线与平面平行的性质 直线与平面平行的判定 直线与平面所成的角
【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
(1)证明：直线l 的方程可化为(2x +y −7)m +(x +y −4)=0, 联立{2x +y −7=0,x +y −4=0,
解得{x =3,y =1,
所以直线恒过定点(3, 1).
(2)当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长． 当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短， 直线l 的斜率为k =−2m+1m+1
，k CP =1−23−1=−1
2，
由−
2m+1m+1
．(−1
2)=−1解得m =−3
4，
此时直线l 的方程是2x −y −5=0，
圆心C(1, 2)到直线2x −y −5=0的距离为
d =|2−2−5|√5
=√5,
|AP|=|BP|=√r 2−d 2=√25−5=2√5, 所以最短弦长是|AB|=2|AP|=4√5. 【考点】 直线恒过定点
直线和圆的方程的应用 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 斜率的计算公式
【解析】
（1）直线l 的方程可化为(2x +y −7)m +(x +y −4)=0，要使直线l 恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得{2x +y −7=0
x +y −4=0
，易得定点；
（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长；当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短 【解答】
(1)证明：直线l 的方程可化为(2x +y −7)m +(x +y −4)=0, 联立{2x +y −7=0,x +y −4=0,
解得{x =3,y =1,
所以直线恒过定点(3, 1).
(2)当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长． 当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短， 直线l 的斜率为k =−2m+1m+1
，k CP =1−23−1=−1
2，
由−
2m+1m+1
．(−1
2)=−1解得m =−3
4，
此时直线l 的方程是2x −y −5=0，
圆心C(1, 2)到直线2x −y −5=0的距离为
d =|2−2−5|√5
=√5,
|AP|=|BP|=√r 2−d 2=√25−5=2√5, 所以最短弦长是|AB|=2|AP|=4√5. 【答案】 【考点】
二次函数在闭区间上的最值 函数零点的判定定理 【解析】 此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答。