黑龙江省安达市高级中学高二数学上学期第一次月考试题 文

黑龙江省安达市高级中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数
学（文）试题
总分：150分 时间：120分钟 一．选择题.
1.已知命题p ：∀x ∈R ，x>sinx ，则p 的否定形式为(
A.∃x ∈R ，x<sinx
B.∀ x ∈R ，x≤sinx
C.∃x ∈R ，x≤sinx D ．∀x ∈R ，x<sinx 2.到两定点
12(4,0),(4,0)F F -的距离之和为8的点的轨迹是（ ）
A.椭圆
B.线段
C.圆
D.直线 3．下列说法中，正确的是( )
A ．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题
B ．已知x R ∈，则“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件
C ．命题“p∨q”为真命题，则“命题p”和“命题q”均为真命题
D ．已知x ∈R ，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 4．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(
)
A ．24－32π
B ．24－π3
C ．24－π
D ．24－π2
5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中
线长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）
A ． 45
B ．35
C ．25
D ．15
7、椭圆14222=+a y x 与双曲线122
2=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是（ ）
A. 1
2
B. 1或–2
C. 1或1
2
D. 1
8．设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为32，那么其外接球的面积为（ ） A ． π12 B ．π32 C ．π36 D ． π48
9.P 是椭圆22
1169x y +=上一点，12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，若
12||||12PF PF ⋅=,
则
12F PF ∠的大小为（ ）
A. 30o
B. 60o
C. 120o
D. 150o
10．若直线2y kx =+与双曲线
22
6x y -=的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ）
Ａ．⎛ ⎝
Ｂ．⎛ ⎝
Ｃ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
Ｄ．
1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 11．已知圆
()()22
1:231
C x y -+-=,圆
()()22
2:349
C x y -+-=,,M N 分别是圆
12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）
A ．4-
B 1
C ．6-
12．在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,
对空间任意一点P ,
)]
([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则
（ ）
A ．平面α与平面β垂直
B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为0
45 C ．平面α与平面β平行 D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为0
60
二．填空题.(注意：直线方程写成一般式)
13．已知ABC ∆中，()1,1-A ，()2,2B ，()0,3C ，则AB 边上的高线所在直线方程为___________________．
14．已知圆C ：22
240x y x y m ++-+=与直线:2l y x =+相切，且圆D 与圆C 关于直线
l 对称，则圆D 的方程是___________。

15．已知点(4,2)P 是直线l 被椭圆22
1
369x y +=所截得的线段的中点，则直线l 方程为
_______________． 16.已知正四棱柱
1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值
等于___________
三、解答题。

17．求适合下列条件的双曲线方程．
(1)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)、⎝ ⎛⎭
⎪⎫94，5. (2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(6，2)．
18．设p ：实数x 满足x2－4ax ＋3a2<0，其中a≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨
⎪⎧
x2－x －6≤0，
x2＋2x －8>0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
19.知椭圆C 的焦点分别为F1
（-0）和F2（
，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C 于A 、B 两点. 求：（1）线段AB 的中点坐标； （2）弦AB 的长.
20.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面
ABC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.
求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.
21.双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点分别为1
(2,0)F -，2(2,0)F ，点
P 在双曲线上。

（1）求双曲线的方程；
（2）过(0,2)Q 的直线l 与双曲线交于不同的两点E 、F ，若OEF ∆
的面积为O 为坐标原点，求直线l 的方程。

22.已知，椭圆C 过点A （1，），两个焦点为（-1，0），（1，0）。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线
A
B
C
S
G
F
E
EF 的斜率为定值，并求出这个定值。

…
答案
§]
一．选择题1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.D 8.C 9. B 10. D 11．A 12．A 二．填空题
13. 033=-+y x 14
082=-+y x 16. 23
三、解答题
17.(1)设所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则因为点(3，－42)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫94，5在双曲线上，得⎩⎪⎨⎪⎧
32a2－9
b2
＝1，25a2－81
16b2＝1.
令m ＝1a2，n ＝1
b2，则方程组化为⎩
⎪⎨⎪⎧
32m －9n ＝1，25m －81
16n ＝1.解方程
组得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝116，n ＝1
9.
∴a2＝16，b2＝9.所求双曲线方程为y216－x2
9
＝1.
(2)由双曲线的渐近线方程y ＝±23x ，可设双曲线方程为x29－y2
4＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点P(6，2)，∴69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为34y2－1
3x2＝1.
18.解：(1)由x2－4ax ＋3a2<0，得(x －3a)(x －a)<0，
当a ＝1时，解得1<x<3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x<3.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x2－x －6≤0x2＋2x －8>0
，得2<x≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2<x≤3.
若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2<x<3.
(2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 且p q ，设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，则A B ，
又B ＝(2,3]，当a>0时，A ＝(a,3a)；a<0时，A ＝(3a ，a)．
所以当a>0时，有⎩⎪⎨
⎪⎧
a≤2，
3<3a ，
解得1<a≤2；当a<0时，显然A∩B＝∅，不合题意．综上所述，
实数a 的取值范围是1<a≤2.
19.椭圆C 的方程为22
221x y a b +=，由题意a=3，
，于是
=1. ……（3分）
∴ 椭圆C 的方程为2
9x ＋y2＝1．……（5分） 联立方程组22
21
9y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得10x2＋36x ＋27＝0，
因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，……（9分）
设A （x1，y1），B （x2，y2），则x1＋x2＝185-
，故线段AB 的中点坐标为（91
,
55-）．弦长
53
6（12分）
21.明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点 ∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB 又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC 又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC∴平面//EFG 平面ABC
(2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ⊆平面SAB AF⊥SB ∴AF⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF⊥BC 又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB∴BC⊥SA
22.：（1）由题意，c=1
，可设椭圆方程为。

因为A
在椭圆上，所以
，解得=3，=（舍去）。

所以椭圆方程为。

（2）设直线AE方程：得代入得
设E（，），F（，）因为点A （1，）在椭圆上，所以，。

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，可得。

所以直线EF的斜率。

即直线EF的斜率为定值，其值为。