线性代数课后习题答案1

1三明学院第一学期《线性代数》期末考试卷 闭卷
参考答案及评分标准
使用班级： 考试时间：120分钟
一.判断题（每小题2分，共10分）
1 22()()+-=-A B A B A B ( × )
2 T T T T ()=ABC C B A （ √ ）
3 设A 为方阵，则T -A A 是反对称矩阵 （ √ ）
4 设A,B 为实对称矩阵，若A,B 相似，则A,B 合同 （ √ ）
5 设A 为方阵，=0Ax 只有零解，则=Ax b 有唯一解（ √ ）
二.选择题（每小题3分，共18分）
1. 一个n 阶行列式D 中的某两行元素之和为零，则D =（ A ）. A. 0 ； B. 1； C. 2； D. 无法确定.
2. 设3阶矩阵
1122,2,3⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A=B=αβγγγγ，其中12,,,αβγγ均为3维的行向量，且
18,2==A B ，则-=A B （ C. ）
A. 0；
B. 1；
C. 2；
D. 3
3. 设A 为4阶纯量矩阵，且16=A ,则A ，1
-A 分别等于 （ C. ）.
A. 14,
4E E ； B. 13,3E E ；,E E 4. T 1221(,)53f x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
x x 的二次型矩阵为（D ）.
A. 2153⎛⎫
⎪⎝⎭； B. 2113⎛⎫ ⎪⎝⎭； C. 2223⎛⎫ ⎪⎝⎭
； D. 2333⎛⎫
⎪⎝⎭. 5. 已知正定二次型123(,,)f x x x 经过正交变换化为标准形22
1231122(,,)f y y y y y λλ=-
2
33
y λ-，123,,λλλ的取值范围分别为（C. ）. A.1230,0,0λλλ≥≤<； B. 1230,0,0λλλ>≤≤； C. 1230,0,0λλλ><<； D. 1230,0,0λλλ≥<<. 6. 设*ξ是非齐次线性方程组=Αx b 的一个特解，12-,,,n r ξξξ是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，那么12-,,,,n r *ξξξξ（ A ）
A. 线性无关；
B.线性相关；
C. 其中的*ξ可用12-,,,n r ξξξ线性表示；
D. 无法断定.
三. 填空题 (每小题3分，共15分)
1. 四阶行列式中含有因子1123a a 的项为
2.
设1121⎛⎪⎭A =
，且6=A E ，则11=
A 1
121⎛ ⎪⎝⎭
3.设T T T 12(3,4),
(1,2),(1,3)--===βαα,则β表示成12,αα的线性组合为
122=-βαα
4. 设向量组T T T 123(1,1,0),
(1,3,1),(5,3,)t --===ααα线性相关，
则t = 1/2 ； 5. 设14=0,=223-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
a b ,c 与a 正交，且λ=+b a c ，则λ=2-， T (2,2,1)=
--c
四 设4阶行列式的第1行元素依次为2,,,3m k ，第1行元素的余子式依次为-1， 1，-1，
1，第3行元素的代数余子式依次为3，1，4，2，且行列式的值为1，求,m k 的值.（9分）
解：由行列式的展开定理，得11111212131314141131123213331434
A A A A 1
A A A A 0a a a a a a a a +++=⎧⎨+++=⎩，（性质7，性质8）…….
（4分） 即514120m k m k ---=⎧⎨
++=⎩，解得 4
2.m k =-⎧⎨=-⎩
…….（9分）
五 解矩阵方程2
101101020020101101⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X E X （12分）
解：将原方程化为2
001101001202010020010040100101100202⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
X E,X E 即001102010030100201⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X …….（5分） 13001102100201010030010030100201001102↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r ，从而201030102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
X （12分）
六 利用初等行变换求矩阵12345112210
2151(,,,,)203131
1
041⎛⎫
⎪
-
⎪
== ⎪- ⎪
-⎝⎭
A a a a a a 的秩与列向量组的一个最大线性无关组，并把其余列向量用最大线性无关组表示. （12分） 解：
313231
4(21(12
1122111221112
210215102151021
512031302151000001
1
0410*******
11+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪--- ⎪ ⎪ ⎪−−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪
---- ⎪ ⎪
⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r r r r ））2241234
31
(12(1110
411
1
0411
001002062010310
1031001110
0111001110
00
000
0000
000++-↔---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
--- ⎪ ⎪ ⎪−−−→→
−−−−→
⎪ ⎪
⎪
---- ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
r r r r r r r r ）） …….（7分） 故()3R =A ，一个最大无关组是123,,a a a ，41235233,=+-=-a a a a a a +a （12分）.
七.判断非齐次线性方程组123412341
23421
2223
x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪
++-=⎨⎪+++=⎩是否有解，若有解，求出其通解（12分）
解: (,)=A b
21
133122111111213112
13121121211201121112132111101515-↔--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-−−−→-−−−→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
r r r r r r 13
13332
2313()61030210302011210112
1006361001
12++-++⎛
⎫
⎪----⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→---−−−→---−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪⎝⎭
r r r r
r r r r r
310012301002100112
⎛
⎫ ⎪
⎪
⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
（7分）, 可见()(,)R R =A A b ，故原方程有解，（9分）
方程解为142434312302112⎧+=⎪⎪
⎪
-=⎨⎪
⎪+=⎪⎩
x x x x x x ，其通解为
3130
,1120k k R -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（12分） 八 试求对称矩阵422242224⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
特征值与特征向量。

（12分）
解
：
42
2422
λ
λλλ
--=
-A E
462
(2)
1002
4
4λ
λλλ
--=--262
(2)(2)(8)044λλλλλ
-=--=---=-（4分）
从而所求的特征值为1232,8λλλ=== ………（4分）
当122λλ==时，2112331111,,2222221111112222111000222111000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-−−−−
→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r r r r A E =，故方程(2)-=0A E x 的通解为12111001k k --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
x ，故与122λλ==对应的特征向量为
1122111,001k k --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
p p ， 12,∈k k R ………（8分）
当38λ=时，
12313111,,2224222111128242121121224112211↔---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
--−−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r r A E =
21
31
321223112112101011011011033000000-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
−−−→-−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
r r r r r r r r ，
故方程(8)-=0A E x 的通解为3111k ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
x ，故与38λ=对应的特征向量为33111⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭k p
3∈k R ………. （12分）。