《高等数学》教学大纲(本工简单)

《高等数学》教学大纲
课程名称：高等数学 课程编号：411001 英文名称：Calculus 学 分：11 授课学时：176
教学对象：本科工科类各专业 一、本课程的性质及适用专业：
《高等数学》课程在高等学校的教学计划中是一门重要的基础理论课。

它是为培养适应我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的、要求学生通过对该课程的学习，为今后学习
工程数学、专业基础课以及相关专业课程打下必要的数学基础，为这些课程提供所必需的数学概念、理论、方法和运算技能。

作为未来的工程技术或研究人员，也必需通过对这门课程的学习、获得必不可少的数学方法的修养和素质。

本课程适用专业：本科工科类各专业 二、本课程的教学目标：
通过本课程的学习，要使学生获得：1、 函数、极限、连续；2、 一元函数微积分学；3、 向量代数和空间解析几何；4、 多元函数微积分学；5、级数(包括付里叶级数)；6、常微分方程等多方面的基本概念、基本理论和基本运算技能、为学习后继课程以及进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

三、对先修课程的要求
本课程的学习要求学生具有初等数学的基本知识。

四、本课程教学内容及基本要求
本课程为高等学校本科工科类各专业的基础课程，应在大学一年级第一学期、第二学期实施； 对教学内容的要求分为三级，基本概念的要求分别为：知道、了解、理解；基本运算的要求分别为：会、掌握、熟练掌握； 1．函数、极限、连续
1．1 理解函数的概念，了解函数的单调性、周期性、奇偶性和有界性。

1．2 了解反函数、复合函数的概念。

1．3 熟练掌握基本初等函数的性质及图形；理解初等函数的概念。

1．4 能列出简单实际问题中的函数关系。

1．5 了解极限的“N -ε
”、“ ε-δ” 定义，（对于给出ε、求N 或δ不作过高要求），
并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。

1．6 掌握极限四则运算法则。

1．7 了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），掌握两个重要极限。

1．8 理解无穷小、无穷大的概念、掌握无穷小的比较和无穷小的阶。

1．9 理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。

1．10 了解初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质[最大值最小值定理、介质定理及根的存在定理]。

2．一元函数微分学
2．1 理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数可导性与连续性关系，能用导数描述一些物理量。

2．2 熟练掌握导数和微分的运算法则（包括微分形式的不变性）以及导数的基本公式。

能熟练地计算初等函数的一阶、二阶导数。

会求分段函数的一阶、二阶导数。

2．3 会求隐函数及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。

2．4 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理和泰勒定理，并能应用拉格朗日定理。

2．5 理解函数极值的概念。

2．6 掌握求函数的极值，判断函数的单调性与函数图形的凹凸，求曲线的拐点并作图的方法。

会解决较简单的最大值、最小值的应用问题 2．7 掌握罗必塔法则。

2．8 知道曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。

3．一元函数积分学
3．1 理解不定积分的概念，理解定积分的概念及基本性质。

3．2 熟悉不定积分的基本公式，熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法，掌握较简单的有理函数积分。

会求简单无理式的积分。

3．3 理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

3．4 了解广义积分的概念。

会求简单的广义积分。

3．5 熟练掌握定积分的微元法。

能用定积分计算一些几何量与物理量（如面积、体积、功和弧长等）。

4．向量代数和空间解析几何 4．1 理解向量的概念。

4．2 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量夹角的求法和两个向量垂直、平行的条件。

4．3 熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式，并能熟练地利用坐标表达式进行向量的运算。

4．4 熟悉平面的方程和直线的方程，并能根据已知条件求平面的方程与直线的方程。

4．5 理解曲面方程的概念，熟悉常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面的方程。

4．6 了解空间曲线的一般方程和参数方程。

会求空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程。

5．多元函数微分学
5．1 理解多元函数的概念
5．2 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质
5．3 理解偏导数、偏微分、全微分等概念，知道全微分存在的充分及必要条件。

5．4 了解方向导数与梯度的概念。

5．5 熟练掌握多元复合函数的微分法则，会求其二阶偏导数。

5．6 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的导数及偏导数。

5．7 会求曲线的切线与法平面、曲面的切平面及法线的方程
5．8 理解多元函数极值的概念，掌握多元函数的极值的充分条件；了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求一些较简单的最大值、最小值应用问题。

6．多元函数积分学
6．1 理解二重积分、三重积分的概念，知道重积分的性质。

6．2 熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球坐标）。

6．3 理解两类曲线积分的概念，知道两类曲线积分的性质。

6．4 掌握两类曲线积分的计算方法。

6．5 熟悉格林公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件。

6．6 知道两类曲面积分的概念及高斯公式、斯托克斯公式并会计算两类曲面积分。

6．7 知道散度、旋度的概念。

6．8 能用重积分、曲线积分及曲面积分来表达一些几何量和物理量（如体积、质量、重心等）。

7．无穷级数
7．1 理解数项级数收敛、发散及级数和的概念，了解级数收敛的必要条件，知道级数的基本性质
7．2 熟悉几何级数与P级数的敛散性。

7．3 掌握正项级数的比较审敛法及其极限形式，熟练掌握正项级数的比值审敛法。

7．4 掌握交错级数的莱布尼茨审敛法，并能估计交错级数的截断误差。

7．5 了解级数的绝对收敛与条件收敛的概念及绝对收敛与收敛的关系。

7．6 熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法（可不考虑端点的敛散性）。

会求简单幂级数的和函数。

7．7 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

7．8 知道函数的泰勒级数以及函数的泰勒级数收敛到该函数的充要条件。

7．9 掌握“α)
1(,)
1
ln(
,
cos
,
sin
,x
x
x
x
e x+
+”的麦克劳林展开式。

7．10 能用简捷方法将一些简单函数展成幂级数。

7．11 知道傅里叶级数的收敛定理，并能将定义在)
,
[π
π-上和),
[l l-上的函数展成傅里叶级数，能将定义在)
,0(l上的函数展成正弦级数或余弦级数。

8．常微分方程
8．1 了解微分方程、通解、初始条件和特解等概念。

8．2 会识别下列几种一阶微分方程：
变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、贝努利方程和全微分方程。

8．3 熟练掌握变量可分离方程及一阶线性方程的解法。

8．4 会解齐次方程和贝努利方程，并由此知道用变量置换求解方程的思路。

8．5 会解较简单的全微分方程。

8．6 知道下列几种特殊的高阶方程的降阶解法：)
,
(
),
(
)
(y
x
f
y
x
f
y n'
=''
=和
)
,
(y
y
f
y'
=''
8．7 掌握二阶线性微分方程解的结构。

8．8 熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程的解法并知道高阶线性常系数齐次微分方程的解法。

8．9 掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦级数以及它们的代数和与积的几种二阶线性常系数非齐次微分方程的解法。

8．10 知道微分方程的幂级数解法。

8．11 会运用微分方程的知识解决一些简单的几何和物理问题
五、必要的说明
选用教材：《高等数学》（四版）；同济大学数学教研室编。

参考书：《微积分教程》清华大学数学教研室编。

课程内容提要：1．函数、极限、连续；2．一元函数微分学、积分学；3．向量代数和空间解析几何；4．多元函数微分学、积分学；5．无穷级数(包括付里叶级数)；6．常微分方程。