白云区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

白云区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知a ＞b ＞0，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．﹣a ＞﹣b
B ．a+c ＜b+c
C ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2
D ．
2． 已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a
的 取值范围是（ ）
A ．(1,)-+∞
B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)-
3． 设F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到
另一条渐近线的距离为1
||2OF ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．3
C ．
D ．3
【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想． 4． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．54
B ．162
C ．54+18
D ．162+18
5． 函数 y=x 2﹣4x+1，x ∈[2，5]的值域是（ ）
A ．[1，6]
B ．[﹣3，1]
C ．[﹣3，6]
D ．[﹣3，+∞）
6． 将函数()sin 2y x ϕ=+（0ϕ>）的图象沿x 轴向左平移8
π
个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的最小值为（ ） （A ）
43π （ B ） 83π （C ） 4
π （D ）
8
7．数列1，﹣4，7，﹣10，13，…，的通项公式a n为（）
A．2n﹣1 B．﹣3n+2 C．（﹣1）n+1（3n﹣2）D．（﹣1）n+13n﹣2
8．直线的倾斜角是（）
A．B．C．D．
9．四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（）
A． B． C．D．
10．设函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为T，最大值为A，则（）
A．T=π，B．T=π，A=2 C．T=2π，D．T=2π，A=2
11．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）
A．B．C．D．=0.08x+1.23
12．已知f（x）=m•2x+x2+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，则m+n的取值范围为（）A．（0，4） B．[0，4）C．（0，5] D．[0，5]
二、填空题
13．已知角α终边上一点为P（﹣1，2），则值等于．
14．若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则m的取值范围是．
15．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是．
16．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．
17．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ．
18．在空间直角坐标系中，设)1,3(，m A ，)1,1,1(-B ，且22||=AB ，则=m .
三、解答题
19．已知二次函数f （x ）的图象过点（0，4），对任意x 满足f （3﹣x ）=f （x ），且有最小值是． （1）求f （x ）的解析式；
（2）求函数h （x ）=f （x ）﹣（2t ﹣3）x 在区间[0，1]上的最小值，其中t ∈R ；
（3）在区间[﹣1，3]上，y=f （x ）的图象恒在函数y=2x+m 的图象上方，试确定实数m 的范围．
20．在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为：A （0，4）；B （﹣3，0），C （1，1） （1）求点C 到直线AB 的距离； （2）求AB 边的高所在直线的方程．
21．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （）
=1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．
（1）写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
22．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：AB⊥SC；
（Ⅱ）设D，F分别是AC，SA的中点，点G是△ABD的重心，求证：FG∥平面SBC；
（Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A﹣FD﹣G的余弦值．
23．记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N．求：
（Ⅰ）集合M，N；
（Ⅱ）集合M∩N，∁R（M∪N）．
24．设a＞0，是R上的偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
白云区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C 【解析】解：∵a ＞b ＞0，∴﹣a ＜﹣b ＜0，∴（﹣a ）2＞（﹣b ）2
，
故选C ．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．
2． 【答案】A 【解析】
考
点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.
【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
3． 【答案】B 【
解
析
】
4． 【答案】D
【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥得到的组合体， 其表面有三个边长为6的正方形，三个直角边长为6的等腰直角三角形，和一个边长为6的等边三角形组
成，
故表面积S=3×6×6+3××6×6+
×
=162+18
，
故选：D
5． 【答案】C
【解析】解：y=x 2﹣4x+1=（x ﹣2）2
﹣3 ∴当x=2时，函数取最小值﹣3 当x=5时，函数取最大值6 ∴函数 y=x 2
﹣4x+1，x ∈[2，5]的值域是[﹣3，6]
故选C
【点评】本题考查了二次函数最值的求法，即配方法，解题时要分清函数开口方向，辨别对称轴与区间的位置
关系，仔细作答
6． 【答案】B
【解析】将函数()()sin 20y x ϕϕ=+>的图象沿
x 轴向左平移
8
π
个单位后，得到一个偶函数
sin 2sin 28
4
[()]()y x x π
π
ϕϕ=+
+=+
+的图象，可得
42
ππ
ϕ+=
，求得ϕ的最小值为 4
π
，故选B ．
7． 【答案】C
【解析】解：通过观察前几项可以发现：数列中符号是正负交替，每一项的符号为（﹣1）
n+1
，绝对值为3n
﹣2，故通项公式a n =（﹣1）n+1
（3n ﹣2）．
故选：C ．
8．【答案】A
【解析】解：设倾斜角为α，
∵直线的斜率为，
∴tanα=，
∵0°＜α＜180°，
∴α=30°
故选A．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．
9．【答案】B
【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），
=（﹣2，0，1），=（2，2，0），
设异面直线BE与AC所成角为θ，
则cosθ===．
故选：B．
10．【答案】B
【解析】解：由三角函数的公式化简可得：
=2（）
=2（sin2xcos+cos2xsin）=2sin（2x+），
∴T==π，A=2
故选：B
11．【答案】C
【解析】解：法一：
由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D
由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），
将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B
法二：
因为回归直线方程一定过样本中心点，
将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，
故选C
【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．
12．【答案】B
【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
∴f（x1）=f（f（x1））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m=0，
故m=0；
故f（x）=x2+nx，
f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，
当n=0时，成立；
当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根，
故△=n2﹣4n＜0，
故0＜n＜4；
综上所述，0≤n+m＜4；
故选B．
【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：角α终边上一点为P（﹣1，2），
所以tanα=﹣2．
===﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．14．【答案】m＞1．
【解析】解：若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，
则命题“∀x∈R，x2﹣2x+m＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m＜0，
解得m＞1，
故答案为：m＞1
15．【答案】．
【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23=8种方案，而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，
所以甲胜出的概率为
故答案为．
【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．
16．【答案】．
【解析】解：∵=1﹣bi，∴a=（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i，
∴，解得b=1，a=2．
∴|a﹣bi|=|2﹣i|=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
17．【答案】 ±（7﹣i ） ．
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），∵（1+3i ）z=（1+3i ）（a+bi ）=a ﹣3b+（3a+b ）i 为纯虚数，∴．
又ω=
==
，|ω|=，∴
．
把a=3b 代入化为b 2
=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±
=±（7﹣i ）．
故答案为±（7﹣i ）．
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．
18．【答案】1 【解析】 试题分析：()()()()22131112
22=-+--+-=
m AB ，解得：1=m ，故填：1.
考点：空间向量的坐标运算
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）二次函数f （x ）图象经过点（0，4），任意x 满足f （3﹣x ）=f （x ）
则对称轴x=，
f （x ）存在最小值， 则二次项系数a ＞0
设f （x ）=a （x ﹣）2
+．
将点（0，4）代入得：
f （0）=，
解得：a=1
∴f （x ）=（x ﹣）2+=x 2
﹣3x+4．
（2）h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x
=x2﹣2tx+4=（x﹣t）2+4﹣t2，x∈[0，1]．
当对称轴x=t≤0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4；
当对称轴0＜x=t＜1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4﹣t2；
当对称轴x=t≥1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=1﹣2t+4=﹣2t+5．
综上所述：
当t≤0时，最小值4；
当0＜t＜1时，最小值4﹣t2；
当t≥1时，最小值﹣2t+5．
∴．
（3）由已知：f（x）＞2x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，
∴m＜x2﹣5x+4对x∈[﹣1，3]恒成立，
∵g（x）=x2﹣5x+4在x∈[﹣1，3]上的最小值为，
∴m＜．
20．【答案】
【解析】解（1）∵，
∴根据直线的斜截式方程，直线AB：，化成一般式为：4x﹣3y+12=0，
∴根据点到直线的距离公式，点C到直线AB的距离为；
（2）由（1）得直线AB的斜率为，∴AB边的高所在直线的斜率为，
由直线的点斜式方程为：，化成一般式方程为：3x+4y﹣7=0，∴AB边的高所在直线的方程为3x+4y﹣7=0．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由
从而C的直角坐标方程为
即
θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）
（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）
N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴SA⊥AB，又AB⊥AC，SA∩AC=A，
∴AB⊥平面SAC，
又AS⊂平面SAC，∴AB⊥SC．
（Ⅱ）证明：取BD中点H，AB中点M，
连结AH，DM，GF，FM，
∵D，F分别是AC，SA的中点，
点G是△ABD的重心，
∴AH过点G，DM过点G，且AG=2GH，
由三角形中位线定理得FD∥SC，FM∥SB，
∵FM∩FD=F，∴平面FMD∥平面SBC，
∵FG⊂平面FMD，∴FG∥平面SBC．
（Ⅲ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
∵SA=AB=2，AC=4，∴B（2，0，0），D（0，2，0），H（1，1，0），
A（0，0，0），G（，，0），F（0，0，1），
=（0，2，﹣1），=（），
设平面FDG的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（2，1，2），
又平面AFD的法向量=（1，0，0），
cos＜，＞==．
∴二面角A﹣FD﹣G的余弦值为．
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．
23．【答案】
【解析】解：（1）由2x﹣3＞0 得x＞，∴M={x|x＞}．
由（x﹣3）（x﹣1）＞0 得x＜1 或x＞3，∴N={x|x＜1，或x＞3}．
（2）M∩N=（3，+∞），M∪N={x|x＜1，或x＞3}，
∴C R（M∪N）=．
【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵a＞0，是R上的偶函数．
∴f（﹣x）=f（x），即+=，
∴+a•2x=+，
2x（a﹣）﹣（a﹣）=0，
∴（a﹣）（2x+）=0，∵2x+＞0，a＞0，
∴a﹣=0，解得a=1，或a=﹣1（舍去），
∴a=1；
（2）证明：由（1）可知，
∴
∵x＞0，
∴22x＞1，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
【点评】本题主要考查函数单调性的判断问题．函数的单调性判断一般有两种方法，即定义法和求导判断导数正负．。