2019年高考理科数学考点梳理之函数模型及其应用和函数与方程汇编

考点10 函数模型及其应用
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
一、常见的函数模型
二、几类函数模型的增长差异
三、函数模型的应用
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.
用框图表示如下：
考向一二次函数模型的应用
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
典例1 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售.
（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】（1）由题意得，与之间的函数关系式为：
.
（3）设利润为，则由（2）得，
，
因此当时，.
又因为，
所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润，为元.
1．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销
=+的关系（图象如下图调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y kx b
所示）．
=+的表达式；
（1）根据图象，求一次函数y kx b
（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S元,
①求S关于x的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
考向二 指数函数、对数函数模型的应用
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为()1x
y N p =+(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.
（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.
典例2 一片森林原来面积为a ,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积
变为
2a .为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,. （1）求p %的值;
（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年? （3）今后最多还能砍伐多少年? 【解析】（1）由题意得()10
1%2a a p -=
,即()10
11%2
p -=, 解得1
10
1%1()2
p =- .
（2）设经过m 年，森林面积变为
2
a ,
则()
1%2
m
a p a -=,即1102111())2210,2(m m ==，解得m =5,
故到今年为止,已砍伐了5年.
典例3 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量()mg /L P 与时间()h t 之间的
关系为0
e kt
P P -=．已知5h 后消除了10%的污染物，试求： （1）10h 后还剩百分之几的污染物．
（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）
【解析】（1）由0e
kt P P -=，可知0t =时，0P P =， 当5t =时，()5500110%e
e 0.9k k P P P --=-=⇒=， 所以1
ln0.95
k =-， 当10t =时，1ln0.910ln0.81
5000e
e 81%P P P P ⎛⎫
⨯ ⎪⎝⎭
===，
所以10个小时后还剩81%的污染物． （2）当050%P P =
35， 所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时．
2．盐化某厂决定采用以下方式对某块盐池进行开采：每天开采的量比上一天减少%p ，10天后总量变为原来的一半，为了维持生态平衡，剩余总量至少要保留原来的
1
16
，已知到今天为止，剩余的总量是原来的4
． （1）求%p 的值；
（2）到今天为止，工厂已经开采了几天？ （3）今后最多还能再开采多少天？
考向三 分段函数模型的应用
（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
典例4 某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售
量
、线下日销售量
（单位：件）与上市时间
天的关系满足：
，产品每件的销售利润为
(单位：元)（日销售量
线上日销售量线下日销售量）.
（1）设该公司产品的日销售利润为
，写出
的函数解析式；
（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？
【解析】（1）由题意可得：
当时，日销售量为，日销售利润为：；
当
时，日销售量为
，日销售利润为：
；
当
时，日销售量为
，日销售利润为：
.
综上可得：
3．某种商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下
列关系：170y x =-+，2220y x =-．当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
（1）求平衡价格和平衡需求量；
（2）若该商品的市场销售量P （万件）是市场需求量1y 和市场供应量2y 两者中的较小者，该商品的市场销售额W （万元）等于市场销售量P 与市场价格x 的乘积． ①当市场价格x 取何值时，市场销售额W 取得最大值；
②当市场销售额W 取得最大值时，为了使得此时的市场价格恰好是新的市场平衡价格，则政府应该对每件商品征税多少元？
考向四 函数模型的比较
根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型
.
典例5 某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系. 模拟函数
1:b
y ax c x
=+
+；模拟函数2:x y m n s =⋅+. （1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？
（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量. 【解析】（1）若用模拟函数1：b
y ax c x
=+
+， 则有1012221333a b c b a c b a c ⎧
⎪=++⎪
⎪
=++⎨⎪
⎪
=++⎪⎩
，解得125,3,22a b c ==-=，
即32522
x y x =
-+，当4x =时，13.75y =． 若用模拟函数2：x
y m n s =⋅+，
则有2
3101213mn s
mn s mn s
=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩
，解得18,,142m n s =-==，
即3142x y -=-，当4x =时，13.5y =． 所以选用模拟函数1较好． （2）因为模拟函数1：32522
x y x =
-+是单调增函数，所以当12x =时，生产量远大于他的最高限量； 模拟函数2：3142x y -=-也是单调增函数，但生产量14y <，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：3142
x
y -=-好．
当6x =时，36
14213.875y -=-=，
所以预测6月份的产量为13.875万件
.
4．某创业投资公司拟开发某种新能源产品，估计能获得
万元到
万元的投资利益，现准备制定一个对
科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过收益的．
（1）请分析函数2150
x
y =
+是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因． （2）若该公司采用函数模型1032
x a
y x -=+作为奖励函数模型，试确定最小正整数的值．
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用 A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数
D ．对数型函数
2．已知三个变量123,,y y y 随变量x 变化的数据如下表：
则反映123,,y y y 随x 变化情况拟合较好的一组函数模型是 A ．21232,2,log x y x y y x === B ．212322,,log x y y x y x === C ．21223log ,,2x y x y x y ===
D ．212232,log ,x y y x y x ===
3．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为%p ；超过280万元的部分按()2%p +征税．现有一家公司的实际缴税比例为()0.25%p +，则该公司的年收入是 A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元
D ．320万元
4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30≈) A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年
D ．2023年
5．一个容器装有细沙3
cm a ，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出，min t 后剩余的细沙量为
()
3e cm bt y a -=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ）min ，容器中的沙子只有
开始时的八分之一. A ．8 B ．16 C ．24
D ．32
6．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为 A ．6.5元 B ．8.5元 C ．10.5元
D ．11.5元
7．衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积V 随时间t 的变化规律是110
0e t V V -
=（e 为
自然对数的底数），其中0V 为初始值.若0
3
V V =，则t 的值约为 ____________.(运算结果保留整数，参考数据：lg30.4771,≈ lge 0.4343)≈
8．某种产品的产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售量变化情况.有下叙述：
（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去； （2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量； （4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.
你认为较合理的是 （把你认为合理结论的序号都填上）.
9．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x 万元之间的函数关系为3
2
x w +=（其中推广促销费不能超过5万元）.已知加工此农产品还要投入成本33w w ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
万元（不包括推广促销费用）
，若加工后的每件成品的销售价格定为304w ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
元/件. （1）试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费） （2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？
10．某电动小汽车生产企业，年利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投
入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万/辆，年销售量为10000辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x .同时年销售量增加的比例为0.6x .
（1）写出本年度预计的年利润y （万元）与投入成本增加的比例x 的函数关系式；
（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？
11．在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是,经过一定时
间后,温度将满足=,其中是环境温度,称为半衰期.现有一杯用195F 热水冲的速
溶咖啡,放在75F 的房间内,如果咖啡降到105F 需要20分钟,问降温到95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据:）
12．习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自
然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”. 目前我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某行业计划从 2018 年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为 (01)x x <<. （1）设n 年后（2018 年记为第 1 年）年产能为 2017 年的a 倍，请用,a n 表示x ; （2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产能不超过 2017 的 25%？ 参考数据：lg20.301=,lg30.477=.
13．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种
鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度V （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4尾/立方米时， V 的值为2千克/年；当420x ≤≤时， V 是x 的一次函数，且当20x =时， 0V =．
（1）当020x <≤时，求V 关于x 的函数的表达式．
（2）当养殖密度x 为多大时，每立方米的鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．
1．（2014湖南理科）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该
市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)1
2
p q ++- C
D
1
2．（2015四川理科）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系e kx b
y +=（e 2.718
=为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0 C 的保鲜时间是192小时，在22 C
的保鲜时间是48小时，则该食品在33 C 的保鲜时间是_________小时
.
1．【解析】（1）由题意可得400600300700k b k b =⨯+=⨯+⎧⎨⎩，解得1
1000k b =-=⎧⎨⎩
，
所以所求的表达式为．
（2）①由（1）得
．
②由①可知，，其图象开口向下，对称轴为
，
所以当
时，
．
即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．
（3）设今后最多还能再开采n
天，则
()11%416
n
a p a -≥， 即510
2
1122n ⎛⎫⎛⎫
≥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即5102n ≤，得25n ≤， 故今后最多还能再开采25天．
3．【解析】（1）令12y y =，得70220x x -+=-， 故30x =，此时1240y y ==．
答：平衡价格是30元，平衡需求量是40万件．
②设政府应该对每件商品征税t 元，则供应商的实际价格是每件()x t -元， 故()2220y x t =--，
令12y y =，得()70220x x t -+=--，
由题意可知上述方程的解是35x =，代入上述方程得7.5t =． 答：政府应该对每件商品征税7.5元． 4．【解析】（1）对于函数模型，
当
时,
为增函数
,
, 所以
恒成立,
但当时,,即
不恒成立,
故函数模型
不符合公司要求.
(2)对于函数模型,即，
当,即时单调递增,
为使对于恒成立,即要,即,
为使对于
恒成立, 即要
,
即
恒成立, 即
恒成立,
又,故只需,所以
.
综上,
,故最小的正整数的值为
.
1．【答案】D
【解析】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；
要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；
要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速
度也是越来越快的，也不满足要求；
对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D. 2．【答案】B
【解析】从题表格可以看出，三个变量123,,y y y 都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量1y 的增长速度最快，呈指数函数变化，变量3y 的增长速度最慢，呈对数型函数变化，故选B. 3．【答案】D
【解析】设该公司的年收入为a 万元，则280p %+（a ﹣280）（p +2）%=a （p +0.25）%，解得a =2802
20.25
⨯-=320．故
选D ． 4．【答案】B
【解析】若2018年是第一年，则第
n 年科研费为1300 1.12n ⨯，由1300
1.122000n
⨯>，可得
lg1.3lg1.12lg2n +>，得0.050.19, 3.8,4n n n ⨯>>≥，即4年后，到2021年科研经费超过2000万
元，故选B ． 5．【答案】B
【解析】依题意有8e
b
a -=12a ,
24-8=16min .故选B ． 6．【答案】D
【解析】设定价在进价的基础上增加x 元，日销售利润为y 元，则y =x [480﹣40（x ﹣1）]﹣200， 由于x ＞0，且520﹣40x ＞0，所以0＜x ＜13. 即y =﹣40x 2
+520x ﹣200，0＜x ＜13．
y 取最大值． ∴销售单价应定为5 6.511.5+=元.故选D. 7．【答案】11
【解析】由题意，设一个樟脑丸的体积变为0
3
V V =
时，需要经过的时间为t ，
11
ln3ln310t --==-，
8．【答案】（2），（3）
【解析】产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线斜率大，上升快，斜率小，上升慢，所以随着的增加，两者差距加大，出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重. 9．【解析】（1）由题意知303963184330223x y w w x w x w w w x ⎛
⎫⎛
⎫=+-+-=+--=-- ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝
⎭， ∴()6318
05223
x y x x =
--≤≤+. （2）∵6318223
x y x =
--+，
∴()6313613633322323y x x x x ⎛⎫⎡⎤=
-+=-++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦
133272≤-⋅=. 当且仅当3x =时，上式取“=” ， ∴当3x =时，max 27y =.
答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.
11．【解析】依题意，可令
，，，，代入式子得，解
得
.
又若，代入式子得，则.
∴()21
22
1lg30.477110log 10log 610log 3110110125.96lg20.3010t ⎛⎫⎛⎫
===+=⨯+=⨯+≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 答：降温到95F 约需要25.9分钟.
12．【解析】（1）依题意得：()1n
x a -=
，则1x -=
1x =（2）设n 年后年产能不超过2017年的25%，则()
110%25%n
-≤，即91104n
⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，
即91lg
lg 104n ≤，()2lg312lg2n -≤-，则2lg212lg3n ≥-，301
23n ≥， ∵301
131423
<
<，且*n ∈N ， ∴n 的最小值为14.
答：至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的
25%.
（2）依题意并由（1
当04x <≤时，()f x 为增函数，故()()max 4428f x f ==⨯=； 当420x <≤
故()()max 1012.5f x f ==．
所以，当020x <≤时，()f x 的最大值为12.5．
当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．
1．【答案】D
【解析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为(0)x x >,则有
()
()()2
111x p q +=++1x ⇒=,故选D.
2．【答案】24
【解析】由题意，得22192e 48e b
k b +⎧=⎪⎨=⎪⎩，即11192e 1e 2
b
k ⎧=⎪⎨=⎪
⎩， 于是当x ＝33时，3311331
e
(e )e ()1922
k b
k b y +==⋅=⨯＝24(小时).
考点09 函数与方程
（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. （2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
一、函数的零点 1．函数零点的概念
对于函数(),y f x x D =∈，我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数(),y f x x D =∈的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系
函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．
【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f (x )=x 2＋1，由于方程x 2
＋1=0无实数根，故该函数无零点．
3．二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的零点
4．零点存在性定理
如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数
()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.
【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 5．常用结论
(1)若连续不断的函数()f x 是定义域上的单调函数，则()f x 至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
(3)函数()()()F x f x g x =-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数()y f x =与()y g x =的图象有交点；
(4)函数()()F x f x a =-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数()y f x =与y a =的图象有交点
⇔{|()}a y y f x ∈=，其中a 为常数.
二、二分法 1．二分法的概念
对于在区间[a ，b ]上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]，验证()()0f a f b ⋅<，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ； ③计算f (c )；
a ．若f (c )=0，则c 就是函数的零点；
b ．若f (a )·f (
c )<0，则令b =c (此时零点x 0∈(a ，c ))； c ．若f (c )·f (b )<0，则令a =c (此时零点x 0∈(c ，b ))．
④判断是否达到精确度ε：即若|a −b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④. 【速记口诀】
定区间，找中点；中值计算两边看， 同号丢，异号算，零点落在异号间． 重复做，何时止，精确度来把关口．
考向一 函数零点（方程的根）所在区间的判断
函数零点的判定方法
(1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数()y f x =必须在区间[a ，b ]上是连续的，当()()f a f b ⋅
0<时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．
(2)方程法：判断方程()0f x =是否有实数解．
(3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如
()()()f x g x h x -=，作出()y g x =和()y h x =的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点.
典例1 函数()e x
f x x -=-的零点所在的区间为
A ．11,2⎛⎫
--
⎪⎝⎭
B ．1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．10,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D
【规律总结】首先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在性定理求解函数零点所在的区间即可.判断函数零点所在区间的方法：一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
典例2 在用二分法求方程3
210x x --=的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可
以断定该根所在区间为___________. 【答案】3,22⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】令
()321f x x x =--，
327
531028
8f ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭，
()120f =-<，
()28530f =-=>，故下一步可以断定根所在区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故填3,22⎛⎫
⎪⎝⎭
.
1．若函数()21f x ax a =+-在区间()1,1-上存在一个零点，则a 的取值范围是
A ．1
3
a >
B ．1
3
a >
或1a <- C ．1
13
a -<<
D ．1a <-
2．已知函数()32
113
f x x x =-+．
（1）证明方程f （x ）=0在区间（0，2）内有实数解；
（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f（x）=0，x∈[0，2]的实数解x0在哪个较小的区间内．
考向二函数零点个数的判断
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交
点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
典例3 函数f(x)=2x＋lg(x＋1) −2的零点有
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【答案】B
【解析】解法一：因为f(0)=1＋0−2=−1<0，f(2)=4＋lg3−2=2+lg3>0，所以由函数零点存在性定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零点．又f(x)=2x＋lg(x＋1)−2在(−1，＋∞)上为增函数，故f(x)=0有且只有一个实根，即函数f(x)仅有一个零点．
解法二：在同一坐标系中作出h(x)=2−2x和g(x)=lg(x＋1)的图象，如图所示，
由图象可知h(x)=2−2x和g(x)=lg(x＋1)有且只有一个交点，即f(x)=2x＋lg(x＋1)−2与x轴有且只有一个交点，即函数f(x)仅有一个零点．
3．函数()()2
2log f x x x =-的零点个数为 A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
考向三 函数零点的应用问题
高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略． 1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系
要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：
①求出零点，直接比较大小； ②确定零点所在区间；
③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.
典例 4 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,1
b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩,设()2
1()(4)f x x x =⊗+-，若函数
()y f x k =+恰有三个零点，则实数k 的取值范围是
A ．(−2,1)
B ．[0,1]
C ．[−2,0)
D ．[−2,1)
【答案】D
【解析】由新定义可得2
22
4,(1)(4)1
()1,(1)(4)1x x x f x x x x ⎧+--+≥⎪=⎨---+<⎪⎩，即24,23()1,23
x x x f x x x +≤-≥⎧=⎨--<<⎩或.其图象如图所示，所以由()y f x k =+恰有三个零点可得，−1<−k ≤2，所以−2≤k <1.故选D.
4．已知函数()()1
115ln (1)
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x kx =恰有两个不同的实根时，实数k 的取值范围是 A ．10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,5e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．11,5e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A ．21y x =+ B ．lg y x = C ．cos y x =
D ．e 1x
y =-
2．已知函数()32
log f x x x
=-，在下列区间中包含()f x 零点的是 A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3
D ．()3,4
3．命题7:12p a -
<<，命题:q 函数()1
2x f x a x
=-+在()1,2上有零点，则p 是q 的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数()2
2,52,x x a f x x x x a
+>⎧=⎨++≤⎩，若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值
范围是 A ．[
)1,1- B ．[
)1,2- C ．[)2,2-
D ．[]
0,2
5．设方程()10lg x
x =-两个根分别为12,x x ，则
A ．1201x x <<
B ．121x x =
C ．121x x >
D ．120x x <
6．已知函数()f x 满足()()11f x f x +=- ，且()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有 4 个零点，则实数a 的取值范围是 A ．()1,5 B ．(]1,5 C ．()5,+∞
D ．[)5,+∞
7．已知函数()245,1ln ,1
x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()1
2f x kx =-恰有四个不相等的实数根，则实
数k 的取值范围是
A ．12⎛
⎝
B ．12⎛
⎝
C ．12⎛ ⎝⎭
D ．12⎛ ⎝⎦
8．已知定义域为R 的函数()f x 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当30,2
x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
时， ()sin πf x x =，
则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是__________．。