线性分布荷载作用下正交各向异性叠层深梁的精确解

线性分布荷载作用下正交各向异性叠层深梁的精确解
摘要：基于弹性力学基本方程，通过将有关力学分量展成Fourier级数进行分离
变量，导出正交各向异性叠层深梁的状态方程。

在线性分布荷载作用下，得到了
任意高跨比的两端简支单层与叠层深梁的精确解。

算例表明，本文解与有限元解
吻合得很好，并具有很好的收敛性；而且随着高跨比的增大，精度并不降低。

关键词：叠层深梁；正交各向异性；线性分布荷载；状态方程；精确解
随着新型复合材料被广泛应用到航空、机械和土木工程等领域，工程中出现
了大量复合材料的叠层构件，通常具有各向异性、不均匀性、厚度大等特点，给
力学分析增添了不少麻烦。

传统梁理论求解过程中都存在各种各样的假设，所得
结果自然是近似的，无法满足求解精度。

纪多辙和王有凯从梁的平面弹性理论模型出发，通过Fourier级数分离变量，应用状态空间法得到了两端简支叠层梁的精确解。

基于三维弹性力学基本方程，
范家让对叠层板壳的状态空间解法做了系统的研究，得到了相关问题的三维精确解。

在文献[1]的基础上，文献[2,3]将状态空间法应用到叠层深梁当中，这些解满
足所有基本方程和边界条件，可以应用于任意高跨比的叠层深梁。

梅甫良[4]通过
引入脉冲函数和Dirac函数，应用状态空间法，得到了两端固支深梁弯曲问题的
精确解。

文献[5-7]运用状态空间法和微分求积技术相结合，得到了功能梯度厚梁
的二维热弹性力学精确解。

本文建立正交各向异性叠层深梁的状态方程，在受到线性分布荷载作用下，
得到两端简支的单层和叠层深梁的精确解，并具体算例，分析该解的精确性与收
敛性。

1 叠层深梁的状态方程及其解
正交各向异性单层深梁，材料弹性主方向与坐标轴平行，其应力-位移关系式
为
表3给出了本文解求解高跨比h/a=0.5单层与叠层深梁在不同级数项数取值时的计算结果，当m取到30后，本文解已基本稳定，具有很好收敛性。

3 结论
本文推导出正交各向异性简支叠层深梁的状态方程，得到了受线性分布荷载作用时的精
确解。

本文方法克服了传统梁理论的缺点，抛弃一切人为假设，并严格满足了简支端边界条件。

本文解计算方法依然方便而有效，并且不受高跨比和叠层深梁层数的限制。

算例表明，
本文方法具有很高的精确度和很好的收敛性。

参考文献
[1]范家让,强厚度叠层板壳的精确理论[M].北京:科学出版社,1996
[2]高荣誉,范家让.叠层深梁的精确解[J].合肥工业大学学报,2009, 32(5):738-741/753.
[3]梅甫良曾德顺深梁的精确解[J].力学与实践,2002,24(3):58-60.
[4]梅甫良两端固支深梁弯曲问题的解析解[J].强度与环境,2003, 30(3):23-28
[5]吕朝锋陈伟球.功能梯度厚梁的二维热弹性力学解[J].中国科学(G辑:物理学力学天文学),2006,36(4):384-392.
[6]黄德进,丁皓江,陈伟球.线性分布载荷作用下功能梯度各向异性悬臂梁的解析解[J].应用
数学和力学,2007,28(7):763-768.
[7]黄德进,丁皓江,陈伟球.任意载荷作用下各向异性功能梯度梁的解析解和半解析解[J].中
国科学(G辑:物理学力学天文学), 2009(6):830-842.
作者简介
1.李海龙，1981年7月，籍贯内蒙古赤峰市，高工，国网辽宁省电力有限公司，
2.刘金慧，1974年12月，辽宁省铁岭县，高级工程师，国网辽宁省电力有限公司。

3.刘琨，安徽合肥，安徽华电工程咨询设计有限公司。