应用根与系数关系 发展代数推理能力——以２０２２年数学中考试题为例

试题研究
２０２３年４月下半月
㊀㊀㊀
应用根与系数关系㊀发展代数推理能力
以２０２２年数学中考试题为例
◉安徽省亳州市蒙城县鲲鹏中学㊀邵㊀旋
㊀㊀摘要:
推理是数学的基本思维方式,培养数学推理能力是数学教学的核心．在当前教学形势下,往往重几何推理,而轻代数推理．为扭转这一现象,教师要精心选择中考热点题,进行专题训练．这样,既可以培养㊁提升学生的代数推理能力,又让学生明了中考对知识板块的考查形式．在解答问题的过程中,学生要感受数学知识的来龙去脉,养成言之有据的习惯,进而提升代数推理素养．
关键词:韦达定理;中考题;代数推理
㊀㊀
１求参数值(
范围)例１㊀(２０２２ 四川南充)
已知关于x 的一元二次方程x ２＋３x ＋k －２＝０有实数根．
(１
)求实数k 的取值范围;(２)设方程的两个实数根分别为x １,x ２,若(x １＋１)(x ２＋１)＝－１,
求k 的值．分析:(１)若一元二次方程有实数根,只需Δȡ０,建立不等式,并解不等式得出结果;(２)根据多项式乘法将(x １＋１)(x ２＋１)＝－１展开,再根据韦达定理得到x １＋x ２＝－３,x １x ２＝k －２,代入得到的展开式计算即可．
解:(１)因为方程x ２＋３x ＋k －２＝０有实数根．
所以Δȡ０,即３２
－４(k －２)ȡ０,
解得k ɤ１７４
．(２
)因为一元二次方程的两个实数根分别为x １,x ２,所以由韦达定理,得x １＋x ２＝－３,x １x ２＝k －２．
由(x １＋１)(x ２＋１)＝－１,展开得x １x ２＋x １＋x ２＋１＝－１,
即k －２－３＋１＝－１,解得k ＝３．又k ɤ１７
４
,所以k 的值为３．点评:本题考查一元二次方程根的判别式㊁韦达定理㊁不等式的解集㊁多项式的乘法等基本知识与计算能力,熟练掌握一元二次方程有关性质㊁公式是解题的关键．
例２㊀(２０２２ 四川泸州)已知关于x 的方程x ２－
(２m －１)x ＋m ２＝０的两实数根为x １,x ２,若(x １＋１
) (x ２＋１)＝３,则m 的值为(㊀㊀)．
A．－３㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．－１
C ．－３或３D．－１或３
分析:若一元二次方程有实数根,则只需Δȡ０,再利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
解:由韦达定理,得x １＋x ２＝２m －１,x １x ２＝m ２．
又(x １＋１)(x ２＋１)＝x １x ２＋x １＋x ２＋１＝３,
所以m ２＋(２m －１)＋１＝３,
解得m ＝－３,或m ＝１．又因为Δ＝(２m －１)２
－４m ２ȡ０,
解得m ɤ１
４
,所以m ＝－３．故答案为:A．
点评:本题表面是确定代数式中参数的范围,实质上是韦达定理与一元二次方程根的判别式的综合应用．
例３㊀(２０２２ 湖北十堰)
已知关于x 的一元二次方程x ２－２x －３m ２＝０．
(１
)求证:方程总有两个不相等的实数根．(２)若方程的两个实数根分别为α,β,且α＋２β＝
５,
求m 的值．分析:第(１)
问根据一元二次方程根的判别式即可判断一元二次方程根的情况;第(２)
问利用一元二次方程根与系数的关系得出α＋β＝２,结合α＋２β＝５,即可解出α与β的值．再根据αβ＝－３m ２,即可得到m 的值．
解:(１)由题意得Δ＝b ２
－４a c ＝４＋１２m ２,
由于１２m ２ȡ０,因此４＋１２m ２ȡ４,即Δ＞０．所以该方程总有两个不相等的实数根．
(２
)由根与系数的关系,可知α＋β＝２,αβ＝－３
m ２．又因为α＋２β＝５,所以α＝５－２β,则５－２β＋β＝
２,解得β＝３,从而α＝－１．因此－３m ２＝－１ˑ３＝
－３,
解得m ＝ʃ１．点评:已知条件α＋２β＝５与方程的两根有一定关联,运用韦达定理得到两根之和α＋β＝２,
建立方程６
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２０２３年４月下半月㊀
试题研究
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㊀㊀㊀
组,求出这两个根,再进一步运用韦达定理得到两根之积,建立与m 有关的方程进行求解．
２求代数式的值
例４㊀(２０２２ 四川宜宾)已知m ,n 是一元二次
方程x ２＋２x －５＝０的两个根,则m ２＋m n ＋２m 的值为(㊀㊀)．
A．０㊀㊀B ．－１０㊀㊀C ．３㊀㊀D．１０
分析:根据韦达定理得m n ＝－５,
并代入待求式,这样所求式变为只含m 的一元二次式,再由根的定义,得m ２＋２m －５＝０,
则问题可解．解:因为m ,n 是一元二次方程x ２＋２x －５＝０的
两个根,由韦达定理得m n ＝－５．将x ＝m 代入方程中,得m ２
＋２m －５＝０,即m ２
＋２m ＝５．所以m ２＋m n ＋２m ＝５－５＝０．
故答案为:A．
点评:本题考查代数式求值问题,将代数式的某些项转化成已知,是解题的方向．运用一元二次方程根与系数的关系及方程解的意义,即可实现转化．
例５㊀(２０２２ 四川凉山)
阅读材料:材料１:若关于x 的一元二次方程a x ２＋b x ＋c ＝
０(a ʂ０)的两个根为x １,x ２,
则x １＋x ２＝－b
a
,x １x ２＝c
a ．
材料２:已知一元二次方程x ２－x －１＝０的两个
实数根分别为p ,q ,求p ２q ＋p q ２
的值．
解:因为一元二次方程x ２－x －１＝０的两个实数
根分别为p ,q ,
根据韦达定理,可得p ＋q ＝１,p q ＝－１．则p ２q ＋p q ２
＝p q (p ＋q )＝－１ˑ１＝－１．根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列
问题:
(１)材料理解:一元二次方程２x ２－３x －１＝０的
两个根为x １,x ２,则x １＋x ２＝,x １x ２＝．
(２)类比应用:已知一元二次方程２x ２－３x －１＝
０的两根分别为m ,n ,
求n m ＋m
n
的值．(３)思维拓展:已知实数s ,t 满足２s ２
－３s －１＝０,２t ２
－３t －１＝０,且s ʂt ,
求１s －１
t
的值．分析:第(１
)问,根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算;第(２
)问,根据一元二次方程根与系数的关系先求出m ＋n ＝３２,m n ＝－１２,
然后将n m
＋m n 进行变形求解;第(３)问,将待求式１s －１
t
通分㊁变形,出现s t 和t －s ,根据根与系数的关系求出s ＋t ＝
３２,s t ＝－１
２
,发现求出t －s 的值是解题的关键．t －s 的值由完全平方式变形求解即可．解:(１)由于一元二次方程２x ２－３x －１＝０的两
个根为x １,x ２,因此x １＋x ２＝３２,x １x ２＝－１
２
．(２)一元二次方程２x ２－３x －１＝０的两根分别为m ,n ,由韦达定理,得m ＋n ＝
３２,m n ＝－１２
．所以n m ＋m n ＝m ２＋n ２m n ＝(m ＋n )２
－２m n m n ＝－１３
２
．
(３)因为实数s ,t 满足２s ２－３s －１＝０,２t ２
－３t －
１＝０,且s ʂt ,所以s ,t 可以看作是方程２x ２
－３x －
１＝０的两个根．
根据韦达定理,可得s ＋t ＝
３２,s t ＝－１
２
．因为(t －s )２＝(t ＋s )２
－４s t ＝１７４
,
所以t －s ＝１７２或t －s ＝－１７
２
．当t －s ＝１７２时,１s －１t ＝t －s s t ＝１７
２
－１
２
＝－１７;
当t －s ＝－１７２时１s －１t ＝t －s s t ＝－
１７
２
－１
２
＝１７．
综上,１s －１
t 的值为１７或－１７．
点评:本题用阅读理解的形式设计了富有梯度的
三问,难度不大,符合 双减 背景下的考试评价．第(１)问是对韦达定理内容的考查,属于对知识㊁定理的浅层次了解;第(２)问是韦达定理的应用,对待求式适当变形,就可还原问题本质;第(３)问是韦达定理的深层次应用,考查一元二次方程根与系数的关系㊁完全平方公式的变形计算,此问为本题的亮点,解题的关键是计算出t －s 的值,这是将待求式１s －１
t
通分变形后确定的解题方向与策略．
例６㊀(２０２２ 湖北黄石)
阅读材料,解答问题:材料１:为了解方程(x ２)２－１３x ２＋３６＝０,
我们可以把x ２看作一个整体,然后设y ＝x ２,则原方程可化为y ２－１３y ＋３６＝０．经过运算,得到y １＝４,y ２＝９,从而得到原方程的解为x １＝２,x ２＝－２,x ３＝３,x ４＝－３．
我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法．材料２:已知实数p ,q 满足p ２－p －１＝０,q ２
－
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２０２３年４月下半月
㊀㊀㊀
q －１＝０,且p ʂq ,显然p ,q 是方程x ２
－x －１＝０的
两个不相等的实数根,由韦达定理可知p ＋q ＝１,
p q ＝－１．
根据上述材料,解决以下问题:
(１
)直接应用:方程x ４－５x ２＋６＝０的解为
．
(２
)间接应用:已知实数a ,b 满足２a ４－７a ２＋１＝０,２b ４－７b ２
＋１＝０且a ʂb ,求a ４＋b
４
的值．(３
)拓展应用:已知实数h ,g 满足１h ４＋１h
２＝７,g ２－g ＝７,
且g ＞０,求１
h
４＋g ２的值．分析:第(１)问根据 材料１ 提供 换元法 的解题策略,利用换元法降次,解一元二次方程,得出一元四次方程的四个解．
第(２)问,由已知条件可知方程２a ４－７a ２＋１＝０,
２b ４
－７b ２
＋１＝０的结构相同,
用换元法可以变成结构相同的一元二次方程形式,即令m ＝a ２,n ＝b ２
,可得２m ２－７m ＋１＝０,２n ２－７n ＋１＝０,因此m ,n 是方程
２x ２－７x ＋１＝０的两个根．
但因为a ʂb ,所以必须对a ２,b ２(即m ,n )的值进行分类讨论,即分a ２ʂb ２
和a ２＝b
２两种情况进行讨论．对于a ２＝b ２
,又分为a ＝－b 与a ＝b ,题目有条件a ʂb ,因此只需考虑a ＝－b
的情况．所以原题即分为a ２ʂb ２
和a ＝－b 两类进行讨论．由上面的分析看出,此问是一个二级分类问题,
稍有含糊,就会产生错解,这也是本题的难点所在．
第(３
)问中提供的方程结构看似不同,但利用换元法,令s ＝１h
２,t ＝－g ,对原式变形,可得s ２＋s －７＝
０,t ２
＋t －７＝０,那么,s ,t 即为方程x ２＋x －７＝０的两个根．由已知条件g ＞０,可得１
h
２ʂ－g ,即s ʂt ．
至此,问题的剖析才算真正清楚明白．
解:(１)令y ＝x ２
,则有y ２
－５y ＋６＝０．
所以(y －２)(y －３)＝０,解得y １＝２,y ２＝３．
因此x ２
＝２,或x ２
＝３．
所以x １＝２,x ２＝－２,x ３＝３,x ４＝－３．
(２)由a ʂb ,可得a ２ʂb ２或a ２＝b ２
．
①当a ２ʂb ２时,令m ＝a ２,n ＝b
２
,则２m ２－７m ＋１＝０,２n ２－７n ＋１＝０．由a ２ʂb ２
,得m ʂn ,所以m ,n 是方程２x ２－
７x ＋１＝０的两个不相等的实数根,
因此m ＋n ＝７２
,m n ＝
１
２
．此时a ４＋b ４＝m ２＋n ２＝(m ＋n )２
－２m n ＝４５４
．
②当a ２＝b ２(即a ＝－b )时,令y ＝a ２＝b ２
．由２y ２
－７y ＋１＝０及求根公式,得y １＝
７＋４１４,y ２＝７－４１４,于是a ２＝b ２
＝７ʃ４１４
．此时a ４＋b ４＝２a ４＝２(a ２)２
＝４５ʃ７４１４
．
综上所述,a ４＋b ４
的值为４５４或４５ʃ７４１４
．
(３)令１h
２＝s ,－g ＝
t ,则s ２＋s －７＝０,t ２
＋t －７＝０．因为g ＞０,所以１
h
２ʂ－g ,即s ʂt ．
因此s ,t 是方程x ２＋x －７＝０的两个不相等的实数根,可得s ＋t ＝－１,s t ＝－７．
故１h ４＋g ２＝s ２＋t ２＝(s ＋t )２－２s t ＝１５．点评:本题用阅读材料的形式设计了富有梯度的
三个问题,难度较大,符合中考试题的选拔功能．第(１)问,涉及 换元法 ㊁一元二次方程解法等内容,属于对数学基本知识㊁基本方法㊁基本技能的考查．第(２)问的得分率极低,也是本题的难点． 材料２ 提供了使用 韦达定理 的解题示例,但要注意挖掘其适用的前提是 p ʂq ,即 两根不等 ,这也是制造陷阱的关键点．第(２)问是求二元四次式的值,虽然已知条件提供的两个方程的结构相同,但这两个方程都是一元四次方程,不能直接运用韦达定理．运用换元法变形后,要注
意使用韦达定理的条件,即对a ２,b
２
进行分类讨论,再分析题目的每个已知条件与待求式之间的内在联系,解法才逐渐明朗．可见,运用数学思想,遵循推理的原则是正确解题的重要法宝．第(３)问是韦达定理的深层次应用,同样要注意把握韦达定理的使用条件和运用方法．所以,解答阅读理解题,不光要类比 阅读材料 中蕴含的解题方法,更要挖掘隐含的使用条件,运用数学思想,依托数学理性思考㊁数学计算分析进行代数推理．
学习数学离不开解题,解题的依据就是运用推理的方式阐述知识的发生㊁发展．代数推理的本质是由已知推断出一个关系或结构,或对关系㊁结构进行证明或说理．代数推理以运算为基础,侧重数与式的变形与转化,具有符号化㊁抽象性强等特点．在教学中,需要教师挖掘教学内容蕴含的代数推理内容,教导学生要言之有据,使其感受数学逻辑的严谨,从而发展学生的逻辑推理能力,提升学生的数学核心素养．Z
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