2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高二下学期期末数学(文)试题解析

2019-2020学年安徽省六安市舒城中学高二下学期期末数学
（文）试题
一、单选题
1．已知集合{|}4M x N x =∈<，{}1,3,4N =，那么M N ⋂等于（ ） A ．{}0 B ．{}0,1
C ．{}1,3
D ．{}0,1,2,3,4
答案：C
根据题意求出{}4{|}0,1,2,3M x N x ==∈<，即可求得M N ⋂. 解：
由题：{}4{|}0,1,2,3M x N x ==∈<， 所以M N ⋂={}1,3. 故选：C 点评：
此题考查集合的交集运算，关键在于根据描述法表示的集合准确得出集合中的元素. 2．已知2sin(π)3
α-=-
，且π
(,0)2α∈-，则cos α=
A ．
B ．
C
D ．答案：A
本题可以先通过()sin πα-得出sin a 的值，再通过α的取值范围得出cos α是一个正值，最后得出结果． 解：
因为()2sin π3
α-=-， 所以2sin 3
α=-， 因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭
，
所以cos α是一个正值，
所以cos α=
，故选A ．
点评：
在进行cos α和sin α的值的相互计算的时候，一定要考虑到计算结果的正负． 3．在下列四个命题中，
①若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件； ②若0,0a b d c >><<，则ac bd >；
③“2430x x -+≥”是“2x >”的必要不充分条件；
④若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p 为真命题，q 为假命题． 正确的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
答案：A
根据充要条件的包含关系可知①正确.如210,210>>-<-<，()()2112⨯-=⨯-，故②错误.2430x x -+≥解得1,3x x ≤≥，与2x >没有包含关系，故③错误.对于④，有可能p 为假命题，q 为真命题，故④错误.综上所述，只有1个正确，故选A . 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则d =（ ） A ．
12
B ．
14
C ．4
D ．2
答案：D
由题意结合等差数列通项公式、前n 项和公式列方程即可得解. 解：
数列{}n a 为等差数列，4505S a ==，， 设数列{}n a 的公差为d ，
∴415143402
45
S a d a a d ⨯⎧
=+⋅=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩. 故选：D. 点评：
本题考查了等差数列通项公式与前n 项和公式的基本量运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
5．已知5MN a b =+，28NP a b =-+，3()PQ a b =-，则（ ） A ．,,M N P 三点共线
B ．,,M N Q 三点共线
C ．,,N P Q 三点共线
D ．,,M P Q 三点共线
答案：B
利用平面向量共线定理进行判断即可. 解：
因为28NP a b =-+,3()PQ a b =-
所以()
2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+, 因为5MN a b =+,所以MN NQ =
由平面向量共线定理可知,MN 与NQ 为共线向量, 又因为MN 与NQ 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线. 故选: B 点评：
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
6．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ）
A ．如果0a b >>,那么a b >
B ．如果0a b >>,那么22a b >
C ．对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥， 当且仅当a b =时等号成立
D ．对任
意正实数a 和b ，有2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立 答案：C
观察图形,设直角三角形的长直角边为a ,短直角边为b ,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到222a b ab +≥,并判明何时取等即可 解：
通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为a ,
短直角边为b ,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即
22142a b a b ⎛⎫
+≥⨯⋅ ⎪⎝⎭
,即222a b ab +≥.当a b =时,中间空白的正方形消失,即整个大
正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明, 故选：C 点评：
本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题 7．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）
A ．8
B ．9
C ．72
D ．288
答案：C
第一次循环，02S k ==，；第二次循环，30284S k =+==，；第三次循环，
384726S k =+==，；跳出循环，则输出S 的值为72，
故选C.
8．在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（ ） A ．
44
π- B ．
4
π C ．
3
4
π- D ．
2
4
π-
答案：A
设正方形边长为a ，则222(2)4(2)4
a a P a ππ
--==，故选A.
9．双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>，过虚轴端点且平行x 轴的直线交C 于,A B 两点，F 为双曲线的一个焦点，且有AF BF ⊥，则该双曲线的离心率为( )
A ．
2
B 1
C 1
D 2
答案：A
令y b =代入双曲线方程，解得x =，不妨设())
(),,,,,0A b B
b F
c -，
依题意有0AF BF ⋅=，即()()
,,0c b c b --⋅--=，化简得
22
3,22
c c a a ==. 点评：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查垂直关系的转化方法，考查化归与转化的数学思想方法.题目中首先叙述了一条直线和双曲线相交与两点，所以我们根据题意，先求出这两个点的坐标，然后利用两个向量垂直，数量积为零建立方程，将方程化为离心率的形式即可求得离心率.
10．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，2cos 2C c b +=，则ABC 的周长的取值范围是（ ）
A ．
B ．[1,3]
C ．(2,3]
D ．(0,3]
答案：C
由余弦定理求得cos C 代入已知等式可得2
()13b c bc +-=，利用基本不等式可求得
02b c <+≤，再由三角形任意两边之和大于第三边可得1b c a +>=，即可求得周长
的取值范围. 解：
2cos 2C c b +=，222222212a b c c b b c bc ab +-∴+=⇒+=+，
2()13b c bc ∴+-=，2
(
)2
b c bc +≤， 223
()1()4
b c b c ∴+-≤+，解得02b c <+≤(当且仅当b c =时取等号)，
再由三角形任意两边之和大于第三边可得1b c a +>=， 所以23a b c <++≤，则ABC 的周长的取值范围是(2,3]. 故选：C 点评：
本题考查余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题.
11．如图,三棱锥P ABC -中,PB ABC ⊥平面,BC CA ⊥,且22PB BC CA ===,
则三棱锥P ABC -的外接球表面积为
A ．3π
B ．9π
C ．12π
D ．36π
答案：B
∵PB ⊥面ABC ，AC ⊂面
ABC ，∴PB AC ⊥，∵BC CA ⊥，PA BC B ⋂=，∴AC ⊥面PBC ，∵PC ⊂
面PBC ，∴AC PC ⊥，取PA 的中点O ，则OP OA OB OC ===，∴O 为球心，∵22PB BC CA ===，∴3PA =，∴球半径为3
2
r = ，∴该三棱锥的外接球的表面积为249r ππ=，故选B.
12．已知()2e e x
x f x x
=-，()()0m g x mx m x =+>，对任意()0,x ∈+∞，不等式
()()f x g x <恒成立，则m 的取值范围为（ ）
A ．()1,+∞
B ．e ,e 1⎛⎫
+∞
⎪-⎝⎭
C ．2e ,e 1⎛⎫
+∞
⎪-⎝⎭
D ．()4,+∞
答案：B
对任意()0,x ∈+∞，不等式()()f x g x <恒成立，即2e e x x m
mx x x
<+-，参变分离，得
()()22e e 1x x x m x x -+<，令()()()
2
2e e 1x
x x h x x x =-+，求函数()h x 在给定的区间上的最大值，()max m h x >解得． 解：
解：由题意，对任意()0,x ∈+∞，不等式()()f x g x <恒成立，即2e e x x m mx x x
<+-，
参变分离，得()()2
2e e 1x
x x m x x -+<， 令()()()22e e 1x
x
x h x x x =-+，()0,x ∈+∞
则()()()()()()()()()222
222e e 1e 112e 2e e 1x x x x
x x x x x x x x x h x x x ⎡⎤+-+--++-⎣⎦
'=
⎡⎤
-+⎣⎦
令()0h x '= 解得1x =
可知()h x 在(0,1)上递增，(1,)+∞上递减，所以max e
()(1)e 1
h x h ==
- e
e 1
m ∴>
-， 故选B ． 点评：
本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，属于基础题．
二、填空题
13．复数z 满足43zi i =+（i 是虚数单位），则｜z ｜＝__. 答案：5
首先根据复数的运算法则，得到4334i
z i i
+==-，之后利用复数模的公式求得结果. 解：
因为43zi i =+，所以4334i
z i i
+==-，
所以5z ==， 故答案是：5. 点评：
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.
14．已知直线经过点()2,0P ，且被圆()()2
2
324x y -+-=
截得的弦长为则这
条直线的方程为______ 答案：2x =或3460x y --=
求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解即可. 解：
圆心为(3,2)，半径2r
，弦长23m
=，设弦心距为d ，
则由勾股定理2
2
2
(
)2
m r d =+得1d =. 若斜率不存在，则直线方程为2x =，圆心距直线距离为1，满足题意； 若斜率存在，设直线方程为(4)y k x =-即40kx y k --=，
232411
k k d k --=
=+，22441k k k ++=+，解得3
4
k =-，
直线方程为3460x y --=. 故答案为：2x =或3460x y --= 点评：
本题考查求直线的方程，与圆相关的弦长问题，涉及点到直线的距离公式，属于基础题. 15．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AC 与11B D 所成角为__________．
答案：2
π
首先确定线面垂直，据此确定异面直线所成的角即可. 解：
如图所示，连结11A C ，
由正方体的性质可知1AA ⊥平面1111D C B A ，则111⊥B D AA ， 底面1111D C B A 为正方形，则1111B D A C ⊥，
由于1111AA AC A ⋂=，直线111,AA A C 在平面11AA C 内， 结合线面垂直的判断定理可得：11B D ⊥平面11AA C ，
故111B D AC ⊥，据此可得异面直线1AC 与11B D 所成角为
2
π.
点评：
本题主要考查线面垂直的判断定理，异面直线夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．设椭圆C 的两个焦点是12F F 、，过1F 的直线与椭圆C 交于P Q 、，若212PF F F =，且1156PF FQ =，则椭圆的离心率为__________． 答案：
9
11
设椭圆
22
121122 100056x y a b F c F c PF FQ a b
+-=＝（＞＞），（，），（，），，设 1165PF m FQ m ==，， 由椭圆的定义可得21225QF a QF a m =-=- ，2122PF F F c ==， 可得2263c a m a c m =-∴-=．，
① 取1PF 的中点K ，连接2KF ，则2KF PQ ，⊥ 由勾股定理可得2
2
2
222||PF PK
QF QK -=-， 即为
222
2492564c m a m m （），
-=-- 化简即为2
2
2
2
10()5()22101533
a a c a c a c am m ---=+=+
，可得：6a+6c=15a-5c
即911a c = 则离心率911
c e a ．== 即答案为
911
．
三、解答题
17．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的
数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy
=bx +a ； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？
()()112
2
2
1
1
ˆ()
?n
n
i i i i i i n
n i i i i x x y y x y nxy b
x x x nx
====---==
--∑∑∑
∑
，ˆˆa
y bx =-． 答案：(1)
ˆ5
2
y =x ﹣3；(2) 可靠 （1）由数据求出,x y ,代入求解ˆb
,再求得ˆa ,即可求出线性回归方程； （2）分别将10x =和8x =代入求出ˆy
,判断即可 解：
（1）由表中数据,求得
()1111312123x =⨯++=,()1
253026273
y =⨯++=,
由公式,可得
2222112513301226312275ˆ1113123122b ⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++-⨯,5ˆˆ271232
a y bx
=-=-⨯=-, 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ5
2
y =x ﹣3
（2）当x ＝10时,ˆ5
2y
=⨯10﹣3＝22,|22﹣23|＜2； 同样,当x ＝8时,ˆ5
2y
=⨯8﹣3＝17,|17﹣16|＜2； 所以,该研究所得到的回归方程是可靠的 点评：
本题考查求线性回归方程,考查线性回归方程的应用,考查运算能力 18．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，1310a a +=，430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log n
n n
a b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：(1) 2n
n a =.；(2)()1 222n
n T n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
. （1）根据等比数列的基本量，列方程求解即可；
（2）由（1）可知数列{}n b ，再用错位相减法即可求前n 项和. 解：
（1）该数列的公比为q ，公比显然不等于零， 根据题意可得：(
)4
12
11110,301a q a a q q
-+==-
解得12,2a q ==，
故2n
n a =.
（2）因为2n
n a =，故12n
n b n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
故12n n T b b b =+++
2
11112222n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+
+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
()2
3
1
1111112122222n
n n T n n +⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
两式相减可得：
23
1
1111111222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
1111221112
212
n
n n T n +⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=
-⨯ ⎪⎝⎭
-
1111222n
n n T ⎛
⎫⎛⎫=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()1222n
n T n ⎛⎫
=-++ ⎪⎝⎭
.
点评：
本题考查由基本量计算等比数列的通项公式，以及用错位相减法求前n 项和，属综合基础题.
19．三棱锥D ABC -中，0
8,120,,AB BC CD DA ADC ABC M O ====∠=∠=分
别为棱,BC AC 的中点，42DM =．
（1）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （2）求点M 到平面ABD 的距离． 答案：（1）证明见解析；（2）
21
7
. 试题分析：（1）利用勾股定理有OD OM ⊥，利用等腰三角形中点，有OD AC ⊥，故
OD ⊥平面ABC ，
所以平面ABC ⊥平面MDO ；（2）利用等体积法，M ABD D MAB V V --=，即
11··33ABD MAB S h S OD ∆=，所以·421
MAB ABD S OD h S ∆∆==. 试题解析：
（1）由题意：4OM OD ==，∵42DM =，∴090DOM ∠=，即OD OM ⊥． 又∵在ACD ∆中，,AD CD O =为AC 的中点，∴OD AC ⊥． ∵OM AC O ⋂=，∴OD ⊥平面ABC ，
又∵OD ⊂平面MDO ，∴平面ABC ⊥平面MDO ． （2）由（1）知OD ⊥平面,4ABC OD =，
ABM ∆
的面积为011sin12084222
ABM S BA BM ∆=
⨯⨯=⨯⨯⨯=， 又∵在Rt BOD ∆中，4OB OD ==
，得8BD AB AD ===，
∴1
2
ABD S ∆=⨯=． ∵M ABD D MAB V V --=，即11
··33
ABD MAB S h S OD ∆=，
∴·7MAB ABD S OD h S ∆∆=
=，∴点M 到平面ABD
．
【考点】1.立体几何证明线面垂直；2.等体积法.
20．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．
（1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；
（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不过点E 、不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点．
答案：（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0).
（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，说明不符合题意，故直线的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-与2
4y x =联立得
()2222220k x k x k -+-=，利用韦达定理转化求解1k =±，求解直线方程．
法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+，与2
4y x
=联立得2
440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，利用韦达定理以及距离公式，转化求解即可．
（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与2
4y x =联立得：
2440y my b --=，通过韦达定理以及斜率关系，求出直线系方程，即可推出结果．
解：
解：（1）法一：焦点(1,0)F ，
当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时AB 4=，不符合题意，故直线的斜率存在．
设直线l 方程为(1)y k x =-与2
4y x =联立得(
)
22
2
2
220k x k x k -+-=，
当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()2122
22k x x k
++=，
抛物线的准线方程为1x =-，
由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()22
2228k k
+=+=，
解得1k =±，
所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.
法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,
与24y x =联立得2
440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，
12
4y y .
||AB =
=
()241m ==+，
由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与2
4y x =联立得：2
440y my b --=，
可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA
EB k k =，即12
1222
y y x x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).
点评：
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 21．己知函数
()2ln f x ax bx x =+-．
（Ⅰ）当2a =-时，函数()f x 在()0,∞+上是减函数，求b 的取值范围；
（Ⅱ）若方程()0f x =的两个根分别为()1212,x x x x <，求证：
1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭
. 答案：（Ⅰ）4b ≤；（Ⅱ）证明见解析.
（Ⅰ）由题，可将条件进行转化，依题意，()2
2ln f x x bx x =-+-在()0,+∞上是减
函数等价于()1
40f x x b x
'=-+-≤对()0,x ∈+∞恒成立，再采用分离参数法解不等式即可；
（Ⅱ）由于方程()0f x =的两个根分别为()1212,x x x x <，故有
()()2
11112
2222ln 0ln 0f x ax bx x f x ax bx x ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩
，可解得()()112122ln x x x a x x b x =-++⎡⎤⎣⎦，化简()1
2f x ax b x '=+-并联立前式可得()12111222211ln 1x x x f x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥'=
-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，再设12x t x =，则121122
21ln 1
x x x x x x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭-+整体可代换为()()21ln 1t g t t t -=-+，求()g t '，根据()g t '的正负即可得证 解： （Ⅰ）
()f x 在()0,+∞上递减，
()1
40f x x b x
'∴=-+-
≤对()0,x ∈+∞恒成立. 即1
4b x x ≤+对()0,x ∈+∞恒成立，所以只需min 14b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝
⎭.
0x ，1
44x x
∴+
≥， 当且仅当1
2
x =
时取“=”，4b ∴≤.
（Ⅱ）由已知，得()()2
11112
2222ln 0
ln 0f x ax bx x f x ax bx x ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩
， 2111
2
222
ln ln x ax bx x ax bx ⎧=+∴⎨=+⎩两式相减， 得()()()1
1212122
ln
x a x x x x b x x x =+-+-()()1212x x a x x b =-++⎡⎤⎣⎦. 由()12f x ax b x '=+-
知()12122x x f a x x +⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭12
2b x x -+ 11221212ln x x x x x x =-=-+()1211221221ln x x x x x x x x -⎡⎤-=⎢⎥-+⎣⎦12111222
211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫-⎢
⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，
设()1
20,1x t x =∈，则12112
2
21ln 1x x x x x x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭-=+()()21ln 1t g t t t -=-+. ()()2141g t t t '∴=-=+()()2
2
101t t t ->+. ()g t ∴在()0,1上递增，()()10g t g ∴<=. 120x x -<，
1211122
2211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥∴-
⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()1210g t x x =>-. 即
1202x x f +⎛⎫
'> ⎪⎝⎭
. 点评：
本题考查根据函数增减性利用导数求解参数问题，已知函数零点利用导数求证不等式恒成立问题，运算能力，属于难题
22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：2
2
1x y +=，将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y
=''⎧⎨
=⎩得到曲线2C ；以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线2C 的极坐标方程；
（2）若A ，B 分别是曲线2C 上的两点，且OA OB ⊥，求证：2
2
11OA
OB
+
为定值.
答案：（1）2
224
cos 4sin ρθθ
=
+；（2）证明见解析
（1）将2x x y y ''
⎧=⎪
⎨⎪=⎩代入221x y +=，求得曲线2C 的直角坐标方程，将
cos ,sin x y ρθρθ==，代入取得曲线2C 的极坐标方程；
（2）设12(,),(,)2
A B π
ρθρθ+，得到2
1224cos 4sin ρθθ=
+，2
2
224sin 4cos ρθθ
=+，由此证得2
2
11OA
OB
+
为定值.
解：
（1）设曲线2C 上任意一点(,)p x y '''，
将2x x y y ''
⎧
=⎪⎨⎪=⎩代入221x y +=，可得2214x y ''+=，
即2
214
x y +=为曲线2C 的直角坐标方程.
将cos ,sin x y ρθρθ==，代入22
14
x y +=，可得
22(cos )(sin )14ρθρθ+=， 即2
224
cos 4sin ρθθ
=
+为曲线2C 的极坐标方程.
（2）由于OA OB ⊥，可设12(,),(,)2
A B π
ρθρθ+，
则2
1224cos 4sin ρθθ=+，2
222
4sin 4cos ρθθ
=+， 于是
22222
2
2
2
1
2111
1
cos 4sin sin 4cos 544
OA
OB
θθθθρ
ρ++++
=
+
==.
点评：
本题主要考查了曲线的图象变换，曲线的极坐标方程的求法，以及曲线的极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 23．己知函数()|1||2|f x x x =++-. （1）求不等式()5f x ≤的解集；
（2）若()|1|f x k ≤-有解，求实数k 的取值范围. 答案：（1）[2,3]-；（2）4k ≥或2k ≤-
(1)由函数的解析式零点分段求解不等式的解集即可；
(2)结合(1)的结论首先确定函数()f x 的最小值，然后求解绝对值不等式即可确定实数k 的取值范围. 解：
（1）()12f x x x =++-
①当1x -时，215x -+.解得：21x -≤≤-. ②当12x -<<时，35<恒成立，即12x -<<， ③当2x ≥时，215x -≤.解得：23x ≤≤. 综合①②③得不等式()5f x 的解集为：[]
2,3-. （2）由（1）得，()123f x x x =++-≥. 所以不等式()1f x k ≤-有解等价于13k -≥ 解得：4k ≥或2k ≤- 点评：
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。