指数对数概念及运算公式资料

指数对数概念及运算
公式
指数函数及对数函数重难点
根式的概念:
①定义：若一个数的 n 次方等于a(n 1,且n N )，则这个数称a 的n 次方根•即,
a ，则x 称a 的n 次方根n
1且n N )，
n
. a(a 0).
②性质：1)(n a)n a
；2 )当n 为奇数时,
幕的有关概念:
2) (a r )s a rs (a 0,r
例求值
例.用分数指数幕表示下列分式 (其中各式字母均为正数)
(1) Va Va
(2) Y a\a\! a (3) V(a b)2 (4) V(a b)3
(5) Vab 2 a 2b
(6)翠(a 3 b 3)2
例.化简求值
3)当n 为偶数时,
n
■-
a
|a| a(a ( a(a
0) 0)
1)当
n 为奇数时，a 的n 次方根记作：a ；
2) 当 n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数
a 有两个n 次方根且互为相反数，记
①规定: 1)a n
a (n N ，
1(a 0)，
3)a p
1 —(p a
Q, 4)
m
a n
(a
0,m 、 N 且 n 1)
②性质:
s (a
0,r 、
3) (a b)r
a r
b r (a 0,b 0,r
(注)上述性质对
R 均适用.
- 1
(1)
83 (2)25 2
(3) 2
5
(4)
16 81
f(0), f(1), f( 3)的值.
0.80.9, c 1.20.8,按大小顺序排列a,b, c .
例如图为指数函数(1)y a x ,(2)y b x ,(3)y c x ,(4)y d x ，则
a,b, c, d 与1的大小关系为
(1) 2 27)3 (0.002)
1
'10(.. 5
2)1
C.2
..3)0
(2)
1
(0.0273)
2.5
3
2560.125 ( 32卢
0.1 1
(3)
3
a 2 a 3
：3a 7 3 a 13
2 1
1 1 1
(4)
2a 3b" 6a 2b 3 3a 6b
(5)
2.3 315
6
12
9
指数函数的定义:
5
6
3)当
0 a 1时函数为减函数， 当 a
1时函数为增函数
提问 :在下列的关系式中， 哪些不是指数函数，为什么？
(1) x 2
y 2
(2) y x
(2) (3) y x
2
(4) x
y
(5) y x 2
(6) y 4x 2
(7) x
y x
(8) y (a 1)x
(a > 1，且 a
2)
例: 比较下列各题中的个值的大小
(1) 1. 72.5 与 1 .73
(2 )
0.8 0.1 与 0.8 0.2
(3 ) 0.
3
1
. 7 与
3. 1
0. 9
例： 已知指数函数 f (x)
x /
a ( a >0且a 丰1)的图象过点(
3， n 函数的值域为(0, ),
2) ，求
①定义: 函数y
a x (a 0,且a 1)称指数函数, 1) 函数的定义域为 R,
思考：已知a 0.80.7, b
精品资料
(A) a b 1 cd (C ) 1 a b c d
(B) bald c (D) abide
2 1 例 若不等式3x 2ax >(^)x+1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ______________
3
3x 1
2x( 1
.f (x )=
'，贝U f (x )值域为 ______ .
31 x 2 x 1,
考查分段函数值域•
【解析】x € ( —a ,1 ]时,x _ 1 w 0,0<3 w 1,
•••— 2<f (x ) w_ 1
x € (1,+ a )时，1_x <0,0<31_x <1, •— 2<f (x )< — 1
•f (x )值域为(一2, — 1] 【答案】(一2, — 1]
例、已知f(e x e x ) e 2x e 2x 2，则函数f (x)的值域是 _____________________________ 例点(2, 1)与(1, 2)在函数f x 2ax b 的图象上，求f x 的解析式
例.设函数f(x)
2|x 1 |x 1，求使f (x) 2.2的x 取值范围.
(I)求a,b 的值;
1、函数y 2x 2x
A 、奇函数
B 、偶函数
C 1 2、函数y — 的值域是( )
2x 1 A ,1 B 、 ,0 0,
、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数
3、已知 0 a 1,b A 、第一象限 例.求函数y
C 、
1,
D 、( ，1) 0,
x
1,则函数y a
b 的图像必定不经过(
B 、第二象限 C
、第三象限
x 2
的值域和单调区间
D
、第四象限
例已知定义域为 R 的函数f (x)
)21 b
是奇函数。

2 a
(n)若对任意的t R ，不等式f (t 2
2t)
2
f(2t k) 0恒成立，求k 的取值范围;
对数的概念：
①定义：如果a（a 0,且a 1）的b次幕等于N,就是a b N，那么数b称以a为底N的对数，记作log a N b,其中a称对数的底，N称真数.
1）以10为底的对数称常用对数，log10 N记作|g N，
2）以无理数e（e 2.71828 ）为底的对数称自然对数，log e N记作ln N
②基本性质：
1）真数N为正数（负数和零无对数），
2）log a1 0，
3）log a a 1，
4）对数恒等式：a log a N N
例将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式
4 （1）5=64
5 （2）
2
6 1
64
（3
）
1
5.73
（4）log1 16
2 4
（5
log10 0.01 2 （6）log e10 2.303
例:求下列各式中X 的值
（1）log64X 2
（2
）
log x 8 6 （3
）
lg100 x （4）ln e2x
分析：将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出X.练习：将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值
1 （1）5 2
1
75
4
（2）log 2 x
（3）3x丄
27
（4）
（1）x
4 64 （5）lg 0.0001 x 5
（6）ln e x
例利用对数恒等式 a log a N N，求下列各式的值：
⑴（丄严3
（1）
"g54（!）
叫5
4 5
log1 4 log 1 2
⑵3 310 log
0.01
27弓（3）
25log5249log73100lg 6
log4l2 log 9 27
③运算性质：如果a 0,a 0,M 0, N 0,则
1) log a (MN ) log a M log a N ；
M
2) log a log a M log a N；
N
3) log a M n n log a M (n R).
④换底公式：log a N log m N (a 0,a 0, m 0, m 1, N 0),
log m a
1) log a b log b a 1 , 2 ) log b n -log a b.
a
对数函数的运算规律
例.用log a x，log a y，log a z表示下列各式:
(1) log a xy；( 2)
z
解：(1) log a^Xy (2) log a x 0
z v 7 a
log a(xy) log a z log a(x2 .. y) log a3z
log a x2log^/y g匹
log a x log a y log a Z ； 1 1
2log a x ^log a y -log a z 例.求下列各式的值：
(1) log2 4725；(2) lg5面.
7 5
解：(1)原式=log24 log2 2 =7log 24 5log 22 7 2 5 1 19 ；
1 2 2 2
(2)原式=—lg10 lg10 —
5 5 5
例.计算：(1) lg14 21g7 lg7 lg18 ；(2)⑴43;
3 lg9
⑶■'⑷lg2 • lg50+(lg5)
(5)lg25+lg2 • lg50+(lg2)
2
卜吨5
⑶⑶-’
例.求值
(1) log s 9 • log 2732 b 甌斗艾1。

劭专1啤詁咤丄
(2)
“
3
log 2
2 匚；2 十8电 1 — +log 4 36)
-4
⑶ ‘ (4)(log
2
125+Iog 425+log s 5)(log 1258+log 254+Iog 辺
对数函数性质典型例题
例•比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 2 3.4，log 2 8.5 ；
( 2) log 0.31.8，Iog o.a 2.7 ；
解：(1)对数函数y log 2x 在(0,)上是增函数，
于是 log 2 3.4 log 2 8.5 ；
(2)对数函数y log 0.3 x 在(0,)上是减函数，
解：(1) Ig14
7
2
2Ig- Ig7 Ig18 Ig(2 7) 2(Ig 7 Ig3) Ig 7 Ig(3 2)
3
Ig2 Ig7
2lg7 2lg3 Ig7 2lg3 Ig 2
0 ；
例. 解:
例. ⑵藝
lg9
计算：(1) (2) 原式=
5
Ig3 5lg3 2-
Ig3 2lg3
51 呗.23 ；
5
5Iog 0.2 3 (2) Iog 4 3 Iog g 2 Iog 2 4 32 .
5 15 .
1 15 ；
3
5. 1 1 5 2 log 2 3 log 3 2 4 Iog 2 2
求值：；
于是 log o.3 1.8 log 0.3 2.7 ；
2、比较大小
1 2
(1) log 2 7 log 2(a a 1)
(2)
lo
g a
log a e,(a 1)
3若log a (a 2
1) log a 2a 0,则a 的取值范围是 ()
1 1
(A )
(0,1)
(
B ) (0,—)
(C ) (—,1)
( D ) (1,)
2 2
4 已知 a log 0.7 0.8, b log^O.8, c 1.107，则 a,b,c 的大小关系是(
)
(A ) a b c (B ) b a c (C ) cab (D ) b c a
例 比较下列各组数中的两个值大小：
(1)log 23.4 , log 28.5
⑵log 0.3I.8 , log 0.32.7
(2)log a 5.1 , log a 5.9(a >0 且 a ^ 1)
c ,
d 与1的大小关系?
提示：作一直线y = 1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数
v d v 1 v a v b
例求下列函数的定义域.
2
(,1) (3,)又u (x 1)
4，则当x (
, 1)时，u 是减函数；当
x (3,)时，u 是增函数，而y log ! u 在R 上是减函数
••• 0 v c
(1) y=
⑵ y=l n(a x x
-k • 2)(a > 0 且 a ^ 1, k € R).
例.求函数y log 1 (x 2
2
解：设 y log 1 u , u
2
2x 3)的单调区间
2
x 2x 3，由 u
0得x 2 2x 3
0 ,知定义域为
2
2
(x2 3x 3)
y log i("的单调增区间为(，1)，单调减区间为(3,)
2
2
例函数y log o.5 x log0.5 x 2的单调减区间是 ________________ 。

_ 2
例已知y=log4(2x+3 —x ).
(1)求定义域；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求y的最大值，并求取最大值时x值.考点考查对数函数、二次函数的单调性、最值•
2
【解】(1)由2x+3—x >0,解得—1<x<3
「•f(x)定义域为{x| —1<x<3}
(2)令u=2x+3 —x，则u>0, y=log 4U
r十 2 2
由于u=2x+3 —x =—(x —1) +4
再考虑定义域可知，其增区间是(一1, 1),减区间是］1, 3
又y=log 4U为(0,+ g)增函数，
故该函数单调递增区间为(一1, 1］,减区间为］1, 3)
2 2
(3)v u=2x+3—x =—(x —1) +4< 4
/• y=log 4u w log 44=1
故当x=1时，u取最大值4时，y取最大值1.
例求函数y Iog3(x26x 10)的最小值.
变式•求函数f(x) lg( x2 8x 7)的定义域及值域.
例已知函数y=f (2x)定义域为］:1，2 ］,则y=f (log 2x)的定义域为()
A. [ 1，2]
B. [4，16]
C. [0，1 ]
D. ( — g ,0 ]
考查函数定义域的理解•
x
【解析】由K X W 2 2< 2 < 4,
••• y=f(x)定义域为］2, 4］
由2< log 2x W 4,得4W x< 16
【答案】B
例作出下列函数的图像，并指出其单调区间.
(1) y=lg( —x), ⑵y=log 2区 +1|
(3)y =|log i (x —1)|, (4)y 二 log 2(1 -x).
2
例已知函数 f ( t ) =log 2t , t [ .. 2, 8].
(1) 求f ( t )的值域G
(2) 若对于G 内的所有实数x ，不等式—x 2+2mx-吊+2* 1恒成立，求实数 m 的取值 范围•
义，求实数a 的取值范围•
分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于 a 的不等式(组)非
常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把
a 分离出来，重新认识 a 与其它变元(x )的依
存关系，禾U 用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明” >0,且 a 2— a +1=(a —丄)2+?>0,
2 4
1 1
1
y= (r
x )在(—a , 1]上是增函数，
(-^
4x 2x
4x
3 3 a >——,故a 的取值范围是( --------- ，+ a ).
4
4 a
1
例 已知 a>0 且 a 丰 1 ,f (log a x ) = —-
(x —
)
a 2 1 x
(1) 求 f(x)；
(2) 判断f(x)的奇偶性与单调性；
(3) 对于 f(x), 当 x € ( — 1 , 1) 时，有 f( 1 — m ) +f (1 — m 2 ) < 0 , 求 m 的集合 M .
解：(1)令 t=log a x(t € R)，贝U
f(x),且x R, f (x)为奇函数当a 1时，罟 0,
a 2 1
1时,类似可判断f(x)为增函数综上，无论a 1或0 a 1,
f(x)在R 上都是增函数• (3) f (1 m) f(1 m 2) 0, f(x)是奇函数且在R 上是增函数，f(1 m) f(m 2 1)又
x ( 1,1)
1 1 m 1
1 2
m 1 1
1 m 2
1 2
m m
1
⑵
f( x)
a
x X\
2
(a a )
a 1
u(x) a x a 乂为增函数，当0 已知函数f (x )= |g
x x
1 2
4 a 2
:~
a a 1
其中a 为常数，若当x € ( — a , 1 ］时，f (x )有意
解:
2x a
••• 1+2 +4 -a>0, a > 当 x € ( —a , 1]时,
1 1 )
4 2 1 1
y =—— 与y =— 都是减函数,
4x 2x
ma )=——
x a t
, f (t)
右at at), f(x)
x
1(a
a x ),(x
R).
A 1
B . 2
C. 3
D. 4
.若集合 M={y|y=2 —
x }, P={y|y=
x 1 }, M n P = ( )
A . {y|y>1} B. {y|y > 1} C . {y|y>0 } D . {y|y > 0}
设 y 1
40.9
, y
0.48
1
8
小
1.5
，则
( )
y 3
y 1 y 2
B 、y 2 y 1 y 3
C 、 y 1
y 3 y 2
D
、 y 1 y 2
y 3
在 b lOg (a 2) (5 a)中，实数 a 的取值范围是
(
)
a 5 或 a 2
B 、2 a 3或3 a 5
C 、2 a 5
D 、3 a
4
5、
6、 A
7、
A
( ) (x ) , y =1+
2
, y =f 2 (x ) ,y =1 - f (x )，其中增函数的个数为
f(x)
例已知函数
1
f(x)- x 1 x log 2「，求函数 1 x
f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调
性. 例、已知函数 f(x) lg 0). (I)求函数
f (x)的定义域；(n)若函数 f (x)在［10 , +8)上单调递增，求k 的取值 范围• f(x) 3x 2
lg(3x 1)的定义域是 1 x (3
C.
D.
2..已知函数 立，则
x
f (x ) =l
g ( 2 - b )( b
为常数) ，若 x €[ 1,
时，f (x )> 0恒成
3. 函数 )
b < 1
B. b v 1
C. b > 1
D.
y = x 2 2x 3的单调递减区间为
)
(-8,— 3) B .
(-8,- 1)
(
A . 设f ( x )是定义在A 上的减函数，
C. 且 + 8]
D. [—3,- 1] [1, f ( x ) > 0 ,则下列函数：y =3 - 2f
n 3
n 10 8、已知函数 f (n)
，其中n
N ，则f （8）的值为（
)
f[f (n 5)]
n 10
(A)2
(B)4
(C)6
(D)7
X
xa
9、函数y
V (0
a 1）的图象的大致形状是 ( )
10.当a >0且a 1, x > 0, y > 0, n € N*，下列各式不恒等 的是
( )
A . log a n x = 1 log a X
B. log a X = nlog a n x
n
11巴匹？的值是（）
log 2 3
2 3 A.三 B . 1 C . - D . 2
3
2
2 12 函数f( x )=In x --零点所在的大致区间是
x
1
A (1, 2)
B (2, 3)
C (e , +^)
D 1-禾口 3,4
e
m 对任意x [0,1]恒成立，则实数 m 的取值范围是
C. m 3
3 1 1 :C. ( — , + ) D.(-，—]
4
2
2
C.
log a X
D. log a X n + log a y n = n (log a x + log a y )
13.若关于x 的不等式x 2 4x A.
m 3 或 m 0 B. 3 m 0
14.函数y
log 1 (2x 2 3x 1)的递减区间为
2
A. ( 1, +
) B. (-
15•如果f(x)是定义在R 上的偶函数，它在［0,)上是减函数，那么下述式子中正确的 是
A. f( 3) f (a 2
a 1)
4
B. f( 3) f (a 2
a 1)
4
C. f(
3)
f (a 2
a 1)
D.以上关系均不确定
4
16.函数f(x)、f (x 2)均为偶函数，且当 x € ［0 , 2］时，f (x)是减函数，设 a f (log 8-), b f(7.5) , c f( 5),则 a 、b 、c 的大小是 2
A. a b c
B. a c b
C. b a c
D. c a b
17、 如果方程
lg 2 x (lg5
lg 7)lg x lg5(lg 7
0的两根是，，则|的值是
( )
A
lg5|lg7
B lg35
C 35
D
、丄
35
1
18、已知 log 7【log 3(log 2 x)] 0，那么 x 2 等于(
)
1
1
1 1
A 、一
3
B
、2.3
C
' 2三D
、3.3
19.三个数 60.7,0.7 6,log 0.76的 大小顺序是
( )
(A ) 0.76 log 0.7 6 60.7 (B ) 0.76 60
log
0.76
(C ) log 0.7 6 60.7 0.76 (D ) log 0.7 6
0.76 60.7
20、函数y 1 的值域是(
)
2x
1
A ,1
B
、 ,0
IB
C 、
1, D 、(
,1)U 0,。