关于电场中线性谐振子问题的求解

关于电场中线性谐振子问题的求解
张小伟
【摘要】线性谐振子是量子力学中非常重要的一个模型,本文列举了求解电场中线性谐振子能量和波函数的不同方法,并比较几种方法的优缺点.
【期刊名称】《黑龙江科学》
【年(卷),期】2017(008)010
【总页数】3页(P178-180)
【关键词】线性谐振子;微扰理论;费曼-海尔曼定理
【作者】张小伟
【作者单位】黔南民族师范学院物理与电子科学学院,贵州都匀 558000
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
量子力学中关于线性谐振子的研究很多，最主要是因为谐振子往往可作许多复杂运动的初步近似，所以谐振子的研究，无论在理论还是在应用方面都很重要。

量子力学的各类教程中，最基本的是用薛定谔方程求解一维线性谐振子的能量和波函数。

本文列举几种不同方法求解电场中的一维谐振子的能量和波函数，并对不同方法进行比较。

设电荷为q的一维谐振子，将其放在均匀电场ε中，谐振子的势能为mω2x2-qεx，则体系哈密顿算符为：
一维自由线性谐振子的能量和波函数可以通过解定态薛定谔方程求得，能级为：
能级间隔为ћω，对应能量En的波函数为：
由归一化条件可求得归一化系数：
带电谐振子因为受到电场的作用，其哈密顿算符中势能项多了一个变量的一次项-qεx。

用坐标平移法(1)式可变为：
令式变为：
其中，可见′所表示的体系可看成自由线性谐振子，相应各级的能级为：
所以带电线性谐振子能级：
能级间隔为ћω，可见电场并没有改变谐振子的能级间隔。

对应的波函数为，则En对应的波函数和几率密度为：
由(7)、(8)式和(9)式可知，相对无电场时的线性谐振子，电场并没有改变谐振子的能谱形状，只是各级能级比相应的能级降低了，波函数和几率密度的平衡点右平移了个单位。

针对带电线性谐振子的问题，体系的哈密顿算符不是时间的显函数，要用到定态微扰理论求解，微扰理论一般是从简单问题的精确解出发求解复杂问题的近似解。

若电场为弱电场，则线性谐振子的哈密顿量可写成：
其中mω2x2是可以精确求解的哈密顿量，求得的能级等于(2)式，波函数等于(3)式的结果，′=-qεx可看成微扰项。

根据定态微扰理论，受微扰体系的能量和波函数为：
上式中，再利用，计算二级近似的能量为：
En =ћ =ћ
一级近似的波函数为：
ψn
加了微扰的哈密顿量的能级近似值与严格求解一致，波函数则是在未加微扰时的波函数的基础上，混进了其他的能级的波函数。

微扰法求解问题时有个条件：哈密顿算符可以分为可以精确求解部分和微扰部分，如果条件不满足，就不能使用微扰法，所以在上一种方法中需要强调的是电场为弱电场。

量子力学中还有另一种近似方法——变分法，这种方法不需要上述条件的
限制。

用变分法求解系统基态能量时需要先选取试探波函数。

假设谐振子的试探波函数为ψ(x)=Ae-αx2-βx，根据波函数的归一化条件得，则
动能的期望值为：
势能的期望值为：
两个期望值计算过程中用到广义高斯积分。

体系的哈密顿量的期望值为：
当能量取得最小时，必有=0，可以求得能量取最小值时，，代入哈密顿量的期望
值公式中可得：
这是哈密顿量的期望值中最小的，也是最接近于基态的能量，可以认为是基态的能量：
这种方法求得的基态能量与用坐标变换法所求基态能量结果一致。

微扰法和变分法都是近似方法，微扰法使用时有一定的条件限制，但是可以求出体系的能量和波函数，并且一般可以得到相当精确的结果；变分法使用时不受条件限制，但是只能求出体系基态能量的近似值。

费曼-海尔曼定理在解决许多复杂的问题时，会使问题变得简单明了。

定理的内容：设体系的哈密顿算符中包含有任意的一个参量，记为λ；又设体系处于一个束缚定态，其能量和归一化本征函数分别记为En和)，有：
根据海森堡运动方程和(1)式有:
设体系处在束缚态ψn下，对(14)式求平均值，
可得。

将电场强度ε视为参变量，则由(1)式可得到=-qx，再利用费曼-海尔曼定理
可得：
对上式积分可得：
其中与参变量无关，所以ε=0，为自由谐振子的能级，即等于(2)式。

所以
这就是电场中谐振子的能级。

费曼-海尔曼定理求解出的是体系哈密顿量的能量本征值，不涉及能量本征函数。

综上所述，电场中一维线性谐振子可以通过坐标平移的方式严格求出体系的能量和波函数，若是电场为弱电场，还可以通过定态微扰理论求出近似解，这两种方法是可以求解出各个能级的能量及对应的波函数；变分法和费曼-海尔曼定理只能求解体系的能量，并且变分法也只能求出基态的近似值。

尝试用不同的方法解决电场中谐振子问题，可以充分掌握这些方法的使用范围及使用技巧，有利于更好地学习量子力学。

【相关文献】
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[4] 蒋学华.一维谐振子能级的几种求解方法[J].岳阳师范学院学报(自然科学版)，2002，(03)：56-58.
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