高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2-1-3两条直线的位置关系课件
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程平行与垂直的判断：
设 l1 : A1x B1y C1 0 （A1, B1 不全为0）， l2 : A2x B2 y C2 0（A2, B2不全为0），则
（1）l1 与 l2 平行
A1B2 B1C2
A2 B1 B2C1
0 0
（2）l1与 l2 垂直 A1A2 B1B2 0
1.3 两条直线的位置关系
平面内两条直线位置关系有哪些？
思考：平面内两直线的位置关系如何？
平行
垂直
重合
y
l1 l2
ox
l2 y l1 ox
y l1,l2 ox
在平面直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征 判断两条直线方程的位置关系呢？
探究点1 两条直线平行 我们知道，斜率相等的两条直线倾斜角相等，它们 相互平行；反之，两条直线平行，它们的倾斜角相 等，若倾斜角不为90°，则它们的斜率相等.
l1 l2
(2)设两直线的斜率分别是 ，k1 ，k在2 y轴上截距分别是 ， ，则
因为b1 b，2 所以k1 不2，平k行2 . 3，b1 1，b2 0.
k1 k2
l1与l2
(3) 由方程可知, l1 轴x ， l轴2 ,且x 两直线在 轴上截x距
不相等，所以 l1 .l2
例2 求过点 A1, 2，且平行于直线 2x 3y 5 0
例1 判断下列各对直线是否平行，并说明理由：
(1)l1 : y 3x 2； l2 : y 3x 5；
(2)l1 : y 2x 1； l2 : y 3x；
(3)l1 : x 5；
l2 : x 8.
解:（1）设两直线的斜率分别是 k，1 ，k2 在y轴上截距 分别是 b1， b,则2 k1 3，b1 2，k2 3，b2 5. 因为 所以 k1 .k2，b1 b2，
求 l2 的斜率.
y
l1
o
x
l2
y
l1
T1
D
o
x
为
T2
l2
O
思考2：当直线的斜率不存在时, l1⊥l2⇔k1k2 =-1还适用吗？此时直线的位置关系是什么？
提示：当直线的斜率不存在时上述公式不适用，此 时直线的倾斜角是90°，故两条直线的斜率都不存在， 两条直线平行;一条不存在，一条斜率为0时，两条 直线垂直.
例3 判断下列两直线是否垂直，并说明理由：
（1）l1
:
y
4x
2，l2
:
y
1 4
x
5；
解： 设两直线的斜率分别是 k1，k则2，
有
k1
k2
=4
(-所1 以)=-1，
4
l1 l2.
k1
=4，k2
=-
1 4
，
（2） l1 : 5x 3y 6，l2 : 3x 5y 5；
解: 设两直线的斜率分别是 k1，则k2，
①③④⑤
3.过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）
A. x-2y-1=0
B. x-2y+1=0
C. 2x+y-2=0
D. x+2y-1=0
4. 若直线x+ay+1=0与直线(a+1)x-2y+3=0互相垂直， 则实数a=___1____.
答案：(1)4x+y-14=0 (2)x-2y-3=0
的直线方程.
解：所求直线平行于直线 2x 3y， 5所以0 它们
的斜率相等，都为 k 2，
3
而所求直线过 A1,2，
所以，所求直线的方程为 y 2 ，2 (x 1)
3
即 2x 3y. 4 0
【变式练习】
直线x+ay-7=0与直线（a+1）x+2y-14=0互相平行，
则a的值是（ B ）
4
且该直线过点 A(3，2)
因此所求直线方程为 y 2 5 (，x 3) 4
即 5x 4y 7 0.
求出斜率，利用 点斜式求方程.
【变式练习】将直线y=3x绕原点逆时针方向旋转90°， 再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ）
A.y 1 x 1 33
C.y 3x 3
B.y 1 x 1 3
斜率间的关系（若l1，l2的斜率都存在，设l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2） l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2
l1⊥l2⇔ k1•k2= -1
l1 y l2
当另一条直线的斜率也不存在时，
两直线的倾斜角都为 90°
ox
此时，两直线位置关系为：互相平行或重合.
思考：“l1∥l2⇔k1=k2” 成立的条件和含义是什么？ 提示：公式成立的条件是两条直线有斜率且不重合. 公式的含义是如果它们平行，那么它们的斜率相等； 反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行.
有
k1
k2
=(-
5 3
)
所3 =以-1，
5
l1 l2.
k1
=-
5 3
，k2
=
3 5
，
（3）l1 : y 5，l2 : x 8.
例4 求过点 A(3，2) 且垂直于直线 4x 5y 8 0 的直线方程.
解：已知直线 4x 5y 的8斜 0率为 ，所求4直线与已知直线
5
垂直，所以该直线的斜率为 ， 5
斜率存在时两直线的平行
两条不重合直线 l1 : y k1x b1 和 l2 : y k2 x b2 (b1 b2 ) ，
若l1 l2，则 k1 k2 ; 反之，若 k1 k2 ，则 l1 l2.
直线不重合
y l1
l2
α1
α2
0
x
特殊情况下的两直线平行
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
A.1
B.-2
C.1或-2
D.-1或2
探究点2 两条直线垂直 当两条直线中一条直线斜率不存在，另一条直线的斜 率为0时, 即一条直线的倾斜角为 90°.
另一条直线的倾斜角为 0°.
l1 y
l2
此时，两直线位置关系为： 互相垂直.
ox
思考1：两条直线的斜率存在时，怎样用斜率来判断 两条直线垂直？
已知直线 l1 : y k1x，过原点作与 l1 垂直的直线 l2，
设 l1 : A1x B1y C1 0 （A1, B1 不全为0）， l2 : A2x B2 y C2 0（A2, B2不全为0），则
（1）l1 与 l2 平行
A1B2 B1C2
A2 B1 B2C1
0 0
（2）l1与 l2 垂直 A1A2 B1B2 0
1.3 两条直线的位置关系
平面内两条直线位置关系有哪些？
思考：平面内两直线的位置关系如何？
平行
垂直
重合
y
l1 l2
ox
l2 y l1 ox
y l1,l2 ox
在平面直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征 判断两条直线方程的位置关系呢？
探究点1 两条直线平行 我们知道，斜率相等的两条直线倾斜角相等，它们 相互平行；反之，两条直线平行，它们的倾斜角相 等，若倾斜角不为90°，则它们的斜率相等.
l1 l2
(2)设两直线的斜率分别是 ，k1 ，k在2 y轴上截距分别是 ， ，则
因为b1 b，2 所以k1 不2，平k行2 . 3，b1 1，b2 0.
k1 k2
l1与l2
(3) 由方程可知, l1 轴x ， l轴2 ,且x 两直线在 轴上截x距
不相等，所以 l1 .l2
例2 求过点 A1, 2，且平行于直线 2x 3y 5 0
例1 判断下列各对直线是否平行，并说明理由：
(1)l1 : y 3x 2； l2 : y 3x 5；
(2)l1 : y 2x 1； l2 : y 3x；
(3)l1 : x 5；
l2 : x 8.
解:（1）设两直线的斜率分别是 k，1 ，k2 在y轴上截距 分别是 b1， b,则2 k1 3，b1 2，k2 3，b2 5. 因为 所以 k1 .k2，b1 b2，
求 l2 的斜率.
y
l1
o
x
l2
y
l1
T1
D
o
x
为
T2
l2
O
思考2：当直线的斜率不存在时, l1⊥l2⇔k1k2 =-1还适用吗？此时直线的位置关系是什么？
提示：当直线的斜率不存在时上述公式不适用，此 时直线的倾斜角是90°，故两条直线的斜率都不存在， 两条直线平行;一条不存在，一条斜率为0时，两条 直线垂直.
例3 判断下列两直线是否垂直，并说明理由：
（1）l1
:
y
4x
2，l2
:
y
1 4
x
5；
解： 设两直线的斜率分别是 k1，k则2，
有
k1
k2
=4
(-所1 以)=-1，
4
l1 l2.
k1
=4，k2
=-
1 4
，
（2） l1 : 5x 3y 6，l2 : 3x 5y 5；
解: 设两直线的斜率分别是 k1，则k2，
①③④⑤
3.过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）
A. x-2y-1=0
B. x-2y+1=0
C. 2x+y-2=0
D. x+2y-1=0
4. 若直线x+ay+1=0与直线(a+1)x-2y+3=0互相垂直， 则实数a=___1____.
答案：(1)4x+y-14=0 (2)x-2y-3=0
的直线方程.
解：所求直线平行于直线 2x 3y， 5所以0 它们
的斜率相等，都为 k 2，
3
而所求直线过 A1,2，
所以，所求直线的方程为 y 2 ，2 (x 1)
3
即 2x 3y. 4 0
【变式练习】
直线x+ay-7=0与直线（a+1）x+2y-14=0互相平行，
则a的值是（ B ）
4
且该直线过点 A(3，2)
因此所求直线方程为 y 2 5 (，x 3) 4
即 5x 4y 7 0.
求出斜率，利用 点斜式求方程.
【变式练习】将直线y=3x绕原点逆时针方向旋转90°， 再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ）
A.y 1 x 1 33
C.y 3x 3
B.y 1 x 1 3
斜率间的关系（若l1，l2的斜率都存在，设l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2） l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2
l1⊥l2⇔ k1•k2= -1
l1 y l2
当另一条直线的斜率也不存在时，
两直线的倾斜角都为 90°
ox
此时，两直线位置关系为：互相平行或重合.
思考：“l1∥l2⇔k1=k2” 成立的条件和含义是什么？ 提示：公式成立的条件是两条直线有斜率且不重合. 公式的含义是如果它们平行，那么它们的斜率相等； 反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行.
有
k1
k2
=(-
5 3
)
所3 =以-1，
5
l1 l2.
k1
=-
5 3
，k2
=
3 5
，
（3）l1 : y 5，l2 : x 8.
例4 求过点 A(3，2) 且垂直于直线 4x 5y 8 0 的直线方程.
解：已知直线 4x 5y 的8斜 0率为 ，所求4直线与已知直线
5
垂直，所以该直线的斜率为 ， 5
斜率存在时两直线的平行
两条不重合直线 l1 : y k1x b1 和 l2 : y k2 x b2 (b1 b2 ) ，
若l1 l2，则 k1 k2 ; 反之，若 k1 k2 ，则 l1 l2.
直线不重合
y l1
l2
α1
α2
0
x
特殊情况下的两直线平行
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
A.1
B.-2
C.1或-2
D.-1或2
探究点2 两条直线垂直 当两条直线中一条直线斜率不存在，另一条直线的斜 率为0时, 即一条直线的倾斜角为 90°.
另一条直线的倾斜角为 0°.
l1 y
l2
此时，两直线位置关系为： 互相垂直.
ox
思考1：两条直线的斜率存在时，怎样用斜率来判断 两条直线垂直？
已知直线 l1 : y k1x，过原点作与 l1 垂直的直线 l2，