课时作业2：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、基础达标
1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于
() A．－12 B．－6 C．6 D．12
答案D
解析由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b
＝2(4＋1)－(－2＋k)＝0，∴k＝12.
2．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为
()
A．－1
7 B.
1
7C．－
1
6 D.
1
6
答案A
解析由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．又(λa＋b)·(a－2b)＝0，
∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－1 7.
3．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝
()
A.7
B.10
C.13 D．4
答案C
解析易知|a|＝1，|b|＝1，a·b＝1 2，
∴|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13，
∴|a＋3b|＝13.
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c 等于
()
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
3，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－79，－73 答案 D
解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－7
3.
5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于
( )
A.－π4
B.π6
C.π4
D.3π4
答案 C
解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)， a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)， (2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3. 设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3
＝2
2，
∴α＝π4.
6．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________. 答案 1
解析 a －2b ＝(1，3)， (a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)． (1)求a 与b 的夹角的余弦；
(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值． 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝25
25.
(2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，
∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529. 二、能力提升
8．(2013·大纲理)已知向量m ＝(λ＋1,1)n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝
( )
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1 答案 B
解析 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)．
所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)．因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，
所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.故选B.
9．与向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72，12，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，－72的夹角相等，且模为1的向量是
( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫4
5，－35 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
223
，－13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫223，－
13或⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13 答案 B
10．设x 、y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )
A. 5
B.10 C ．2 5 D ．10
答案B
解析由a⊥c，得2x－4＝0则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，|a＋b|＝(2＋1)2＋(1－2)2＝10.
11．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b和c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．
解(1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0.∴y＝－3.
∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，
设m，n的夹角为θ，则cos θ＝m·n |m||n|
＝
－3×7＋(－4)×1
(－3)2＋(－4)2×72＋12
＝
－25
252
＝－
2
2.
∵θ∈[0，π]，
∴θ＝3π
4，即m，n的夹角为
3π
4.
12．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋m b，若c与d夹角为45°，求实数m的值．
解∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，
∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，
d＝a＋m b＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，
∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.
又∵|c|＝1，|d|＝(1－2m)2＋(2－3m)2，
∴cos 45°＝c·d
|c||d|＝
2－3m
(1－2m)2＋(2－3m)2
＝
2
2.
化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝3 5.
三、探究与创新
13．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝k a＋b与n＝a＋k b的夹
角能否为60°？证明你的结论． 解 假设m 、n 的夹角能为60°， 则cos 60°＝m ·n |m ||n |， ∴m ·n ＝12|m ||n |.① 又∵a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， ∴|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝0.
∴m ·n ＝k a 2＋a ·b ＋k 2a ·b ＋k b 2＝2k ，②
|m ||n |＝k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2·a 2＋2k a ·b ＋k 2b 2＝k 2＋1.③ 由①②③，得2k ＝1
2(k 2＋1)．∴k 2－4k ＋1＝0. ∵该方程无整数解． ∴m 、n 的夹角不能为60°.。