湖南省长沙市2023-2024学年高一上学期10月第一次月考数学试题含答案

2023年下学期高一年级10月阶段考试
数学（答案在最后）
时量：120分钟满分：150分
一、单选题（每小题5分，共40分，每个题目只有一个正确选项符合题意）
1.设全集
{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,4,2,N A B x ==<∈，则()U B A ⋂=ð（）A.{}0,3,5 B.{}0,1,3 C.{}0,3 D.{}
3,5【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合B 和集合A 的补集，再求其交集即可
2<，得04x ≤<，
因为N x ∈，所以{}0,1,2,3B =，
因为{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2,4A =，所以{}0,3,5U A =ð，
所以()U B A ⋂=ð{}0,3，
故选：C
2.已知集合M ⊆{2，3，5}，且M 中至少有一个奇数，则这样的集合M 共有（
）
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合子集的概念及题意一一列举即可.
【详解】若M 有一个元素，则}{}{35、；
若M 有两个元素，则}{}{}{235352，、，、，；
若M 有三个元素，则}
{235，，∴满足题意的集合M 的个数为6个.
故选：B .
3.下列各组函数表示同一函数的是（）
A.x
y x =与1y = B.2
x y x
=与y x =
C.321
x x y x +=+与y x = D.y =1
y x =-【答案】C
【解析】【分析】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式及值域是否相同即可.
【详解】选项A ：函数x y x
=的定义域为{}|0x x ≠，而1y =的定义域为R ，故A 错误；选项B ：函数2
x y x
=的定义域为{}|0x x ≠，而y x =的定义域为R ，，故B 错误；选项C ：函数321x x y x +=+的定义域为R ，而y x =的定义域为R ，()232221(10)11
x x x x y x x x x ++===+>++解析式相同,故C 正确；
选项D ：函数y =
R ，而1y x =-的定义域为R ，
但是1y x =
=-，故解析式不一样，所以D 错误；故选：C.
4.已知命题2:,80p x x x a ∃∈++=R ，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（
）A.16
a > B.16a ≥ C.0a < D.4a ≥【答案】A
【解析】
【分析】写出p ⌝，且为真命题，故由根的判别式得到不等式，求出实数a 的取值范围.
【详解】由题意得2:,80p x x x a ⌝∀∈++≠R 为真命题，
则6440a ∆=-<，解得16a >.
故选：A
5.如果不等式1x a -<成立的充分非必要条件是
1322x <<，则实数a 的取值范围是（）A.1322a << B.1322a ≤≤ C.37a >或12
a < D.32a ≥或12a ≤【答案】B
【解析】
【分析】转化为q 表示的集合是p 表示集合的真子集，列出不等式组可得答案.【详解】根据题意，不等式1x a -<的解集是{}
11x a x a -<<+，设为条件p ，1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
设为条件q ，则p 的充分不必要条件是q ，即q 表示的集合是p 表示集合的真子集，则有112312a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩
（等号不同时成立），解得1322
a ≤≤.故选：B.
6.
若1)1f x -=+，则()f x 的解析式为（）
A.2()1(1)f x x x x =++≥-
B.2()1(1)
f x x x =-≥-C.2()33(1)
f x x x x =++≥- D.2()(1)(1)f x x x =-≥-【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法，令11t =
≥-
1t =+，()2
1x t =+，可求出()f t 的解析式，从而得出()f x 的解析式.
【详解】解：已知
)11f
x -=+，
令11t =≥-
，则1t =+，()21x t =+，
()()()22111331f t t t t t t ∴=++++=++≥-，
()()2331f x x x x ∴=++≥-.
故选：C.
7.已知函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[0,)+∞,若关于x 的不等式()c f x ＜的解集为(m,m 8)+,则实数c 的值为（
）.A.24
B.12
C.20
D.16
【答案】D
【解析】
【分析】将二次函数化成顶点式，即可求出函数的值域，找出,a b 的关系，再根据三个＂二次＂的关系，可知，m 和8m +是不等式()c f x ＜对应的一元二次方程的根，由根与系数的关系，即可求出c 的值．
【详解】因为222
()24a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，值域为2,4a b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，204a b ∴-=，即24a b =，又()c f x ＜即为20x ax b c ++-<的解集为(m,m 8)+，所以m 和8m +是20x ax b c ++-=的两个根，因为m 的任意性，不妨设4m =-，所以有4444a b c
-+=-⎧⎨-⨯=-⎩，解得0,0a b ==，所以16c =，经检验，符合题意．
故选D ．
【点睛】本题主要考查一元二次函数的值域求法以及三个＂二次＂的关系应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．
8.已知0,a b >∈R ，若0x >时，关于x 的不等式()()2250ax x bx -+-≥恒成立，则4b a
+的最小值为（
）
A.2
B.
C.
D.【答案】D
【解析】
【分析】解方程，结合关于x 的不等式()()2250ax x bx -+-≥在0x >时恒成立，则要22
b a -+=，
从而得到4b a +=4b a
+的最小值.
【详解】令250x bx +-=，解得2
b x -=，
其中102b x -=<，202
b x -=>，令20ax -=，解得32x a
=
，因为0a >，所以20a >，要想关于x 的不等式()()
2
250ax x bx -+-≥在0x >时恒成立，
则2202b a -+=，所以4b a +=，
因为b ∈R ，所以4b a
+
=≥，当且仅当0b =时，等号成立，
故4b a +的最小值为故选：D
二、多选题（每小题5分，共20分，每个题目至少有两个选项符合题意）
9.若集合2{|30}{|230}A x ax B x x x =-==--=，，且A B ⊆，则实数a 的取值为（
）
A.0
B.1
C.3
D.3-【答案】ABD
【解析】
【分析】解出集合B ,根据A B ⊆，讨论集合A ,解出实数a 的值即可.
【详解】2{|230}{1,3}B x x x =--==-，又A B ⊆，
当A =∅，则0a =，
当{}1A =-，则3a =-，
当{}3A =，则1a =．
故选：ABD.
10.下列各选项中，p 是q 的充要条件的是（）A.p ：2m <-或6m >，q ：方程230x mx m +++=有两个不同的实数根
B.p ：30x -=，q ：()()230
x x --=C.p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等
D.p ：A B A = ，q ：A B
⊆【答案】AD
【解析】
【分析】依次判断P 与q 之间关系即可.
【详解】A 选项，若2m <-或6
m >则方程判别式()()2412620m m m m ∆=--=-+>，得方程230x mx m +++=有两个不同的实数根，则p q ⇒.若方程230x mx m +++=有两个不同的实数根，则
()()2412620
m m m m ∆=--=-+>
⇒2m <-或6m >，则q p ⇒.故p 是q 的充要条件，故A 正确；
B 选项，若30x -=，则3x =，得()()230x x --=，则p q ⇒.
若()()230x x --=，则3x =或2x =，则由q 不能得到p .故p 是q 的充分不必要条件，故B 错误；C 选项，由两个三角形相似不能得到两个三角形全等，而两个三角形全等可以得到两个三角形相似，故p 是q 的必要不充分条件，故C 错误；
D 选项，由A B A = ，可得A B ⊆，则p q ⇒.由A B ⊆，可得A B A = ，则q p ⇒.故p 是q 的充要条件，故D 正确.
故选：AD
11.如图所示，函数()f x 的图象由两条线段组成，则下列关于函数()f x 的说法正确的是（）
A.()()
20f f >B.()()13
f f =C.()[]
211,0,4f x x x x =--+∈D.0a ∃>，不等式()f x a ≤的解集为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】BC
【解析】
【分析】先根据函数图象，求出函数的解析式()33,011,14x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≤≤⎩
，则可判断A 错误B 正确；将()[]211,0,4f x x x x =--+∈去绝对值化为分段函数可判断C 正确；
由图象判断若0a >时，()f x a ≤的解集为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则()123f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，由()123f f ⎛⎫
≠ ⎪⎝⎭
可判断D 错误.
【详解】
由函数()f x 的图象由两条线段组成可知，函数()f x 为分段函数，且过点()()()0,3,1,0,4,3，
当01x ≤<时，设()f x kx b =+，
代入()()0,3,1,0得30b k b =⎧⎨
+=⎩，所以33b k =⎧⎨=-⎩
，得()33f x x =-+，
当14x ≤≤时，设()f x mx n =+，代入()()1,0,4,3，得043m n m n +=⎧⎨+=⎩，所以11n m =-⎧⎨=⎩
，故()1f x x =-故()33,011,14x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≤≤⎩
，选项A ：()()2103f f =<=，故A 错误；
选项B ：()()()103f f f ==，故B 正确；
选项C ：因为()[]
211,0,4f x x x x =--+∈所以当01x ≤<时，()()21121133f x x x x x x =--+=--+=-+，
当14x ≤≤时，()()2112111f x x x x x x =--+=--+=-，
故C 正确；
选项D ：由函数图象知，
若0a >时，()f x a ≤的解集为1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则()123f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，因123f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()21f =，故D 错误.
故选：BC
12.下列说法正确的有（）
A.若12x <，则1221
x x +-的最大值是1-B.若,,x y z 都是正数，且2x y z ++=，则
411x y z +++的最小值是3C.若0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值是2
D.若110,0,
1>>+=a b a b ，则1411a b +--的最小值是4【答案】ABD
【解析】【分析】由112[(12)]12112x x x x +
=--++--结合基本不等式求最值判断A ；由413(3)1(1)(2)x x y z x x -+=+++-，令3(1,3)t x =-∈则原式等价于345t t --结合基本不等式求最值判断B ；由92121x y x x +=++-+结合基本不等式求最值判断C ；由题设144511b a a b +=+---，再应用“1”的代换求4b a +的最值，即可判断D ；注意最值取值条件.
【详解】由题设210x -<
，则112[(12)]1112112x x x x +=--++≤-=---，当且仅当121x -=，即0x =时等号成立，A 正确；
由20y z x +=->，则02x <<，且41413(3)112(1)(2)
x x y z x x x x -+=+=+++-+-，令3(1,3)t x =-∈，则14x t +=-，21x t -=-，
所以原式为233334(4)(1)545t t t t t t t t ==≥---+---，当且仅当2t =，即1x =时等号成立，B 正确；
由2(1)8x y x ++=且0,0x y >>，则821
x y x -=+，故
892122411x x y x x x x -+=+=++-≥-=++，当且仅当2x =时等号成立，所以2x y +的最小值是4，C 错误；由题设ab a b =+，而14454511()1
b a b a a b ab a b +-+==+----++，
又1144(4)()559b a b a b a a b a b +=+⨯+=
++≥=，当且仅当23b a ==时等号成立，所以14411
a b +≥--，D 正确.故选：ABD
三、填空题（每小题5分，共20分）
13.函数()
f x =的定义域为____________.【答案】1,13⎛⎫- ⎪
⎝⎭【解析】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，10310
x x ->⎧⎨+>⎩，解得113-<<x ，所以()f x 的定义域是1,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭.故答案为：1,13⎛⎫- ⎪
⎝⎭14.集合{}1,2,A a =，{}
21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a ___________.【答案】2-或1
-【解析】
【分析】集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，解方程并检验即可.
【详解】集合{}1,2,A a =，{}
21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，
若222a -=，解得2a =±，其中2a =与元素互异性矛盾舍去，2a =-满足题意；
若22a a -=，解得2a =或1a =-，2a =舍去，1a =-满足题意，
所以2a =-或1a =-.
故答案为：2-或1
-15.若一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是11{|}54
x x <<，那么不等式2220cx bx a --<的解集是
________.
【答案】{|10x x <-或1}
x >【解析】
【分析】由题意可得方程20ax bx c ++=的解是15和14，由根与系数的关系可得920b a =-，120c a =，代入不等式2220cx bx a --<，解不等式即可求出答案.
【详解】20ax bx c ++>的解集是11{|
}54x x <<，所以方程20ax bx c ++=的解是15和14，且a<0，由根与系数的关系可得：920b a -=，120c a =，解得920b a =-，120c a =，所以不等式2220cx bx a --<变形为21901010ax ax a +-<，即29100x x +->，其解集是{|10x x <-或1}x >．
故答案为：{|10x x <-或1}
x >16.若关于x 的不等式22(21)x ax -<的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围是_________________．【答案】925,49⎛⎤
⎥⎝⎦【解析】
【分析】先根据判别式确定a 的范围，运用求根公式求出方程()2221x ax -＜的根，再根据解的情况确定a 的范围.
【详解】由不等式()2221x ax -＜得：()2
4410a x x --+＜，因为解集中只有2个整数，必有40,a a -＞＜4，
并且()Δ16440,0a a =--∴＞＞，04a ∴＜＜，
由求根公式得方程()24410a x x --+=的解为
()12424x x a ===-，11104,42
a x ∴ ＜＜＜＜，即不等式()24410a x x --+＜的2个整数解必定为1和2，23
∴≤，解得92549a ≤＜；
故答案为：925,49⎛⎤ ⎥⎝⎦
.四、解答题（共70分，解答必须写出必要的文字说明或者演算步骤）
17.求下列不等式的解集：
（1）2450x x -++<；
（2）21031
x x ->+【答案】（1）()()
,15,∞∞--⋃+（2）11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解题方法和步骤，即可求解；（2）不等式转化为()()21310x x -+>，再根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【小问1详解】2450x x -++<，即2450x x -->，
即()()510
x x -+>解得1x <-或5x >，
故不等式的解集为()(),15,∞∞--⋃+；
【小问2详解】由21031
x x ->+可得()()21310x x -+>，即11023x x ⎛
⎫⎛⎫-
+> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解得13
x <-或12x >，故不等式的解集为11,,32∞∞⎛
⎫⎛⎫--⋃+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭.18.若集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{1B x x =<-或}16x >.
（1）若7a =，求()
R A B I ð.
（2）若()A A B ⊆I ，求实数a 的取值范围，
【答案】（1）{}
1516
x x ≤≤（2）()15,6,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】
【分析】（1）根据补集和交集定义直接求解即可；
（2）由()A A B ⊆I 可知A B ⊆，分别讨论A =∅和A ≠
∅的情况，根据包含关系构造不等式求得结果.【小问1详解】
当7a =时，{}1516A x x =≤≤，又{}
116B x x =-≤≤R ð，()
{}1516A B x x ∴⋂=≤≤R ð.
【小问2详解】()A A B ⊆Q I ，A B ∴⊆；
当2135a a +>-，即6a <时，A =∅，满足A B ⊆；
当2135a a +≤-，即6a ≥时，若A B ⊆，则351a -<-或2116a +>，
43
a ∴<（舍）或152a >；综上所述：实数a 的取值范围为()15,6,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
.19.（1）已知1x >-，求941
y x x =-++的最小值.（2）已知0,0x y >>，且141x y
+=，求x y +的最小值.【答案】（1）最小值为1，（2）最小值为9
【解析】
【分析】（1）根据基本不等式即可求解，
（2）由乘“1”法，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由于1x >-，所以10x +>，故()994155=111y x x x x ⎛⎫=-+
=++-≥ ⎪++⎝⎭，当且仅当91=1
x x ++，即2x =时等号成立，故941y x x =-++最小值为1，
（2）由于0,0x y >>，所以()144559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当4y x x y =等号成立，又141x y
+=，故当3,6x y ==时等号成立，故最小值为9.20.已知函数()221x f x x
=+（0x ≠）．（1）分别计算()122f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值；（2）证明你发现的规律并利用规律计算
()()()()1111232022232022f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值．【答案】（1）1；1
（2）证明见解析，40432【解析】
【分析】
（1）将数字代入解析式计算即可；（2）先证明()11f x f x ⎛⎫+=
⎪⎝⎭
，再利用此结论分组求和即得答案.【小问1详解】()2
2221124122121255112f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，()2222113913313131010113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
.【小问2详解】由()22
1x f x x =+，可得()112f =，()22222222211111111111x x x x f x f x x x x x x ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+=+== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，故()()()()1111232022232022f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()()()1111232022232022f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ 14043202122
=+=21.如图设矩形ABCD （AB ＞AD ）的周长为40cm ，把△ABC 沿AC 向△ADC 翻折成为△AEC ，AE 交DC 于点P ．设AB ＝x cm ．
（1）若13
DP AB ＞，求x 的取值范围；（2）设△ADP 面积为S ，求S 的最大值及相应的x 的值．
【答案】（1）()
30-
（2）x =，2
300-【解析】
【分析】（1）由折叠性质可知ADP CEP ≅△△，进而可得()AP PC x a ==-，再利用勾股定理得到()()22220x a x a -+=-，化简整理求出a ，根据AB AD >，求出x 的范围即可；
（2）根据题意可得，20030010S x x ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
，利用基本不等式即可求出S 的最大值以及相应的x 的值．【小问1详解】
由矩形周长为40cm ，可知()20cm AD x =-，设cm DP a =，则()cm PC x a =-∵ADP CEP ≅△△，∴()cm AP PC x a ==-．
在Rt ADP 中，222AD DP AP +=，即()()22220x a x a -+=-，得20020a x =-
，由题意，2001203x x -＞，即2606000x x -+<，
解得3030x -+＜
由AB AD >得，1020x <<，∴3020x -＜，
即x 的取值范围是()3020-．【小问2详解】因为()11200202022S AD DP x x ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭
，1020x <<．化简得20030010S x x ⎛
⎫=-+
⎪⎝⎭．
∵0x >，∴200x x +≥，
当且仅当200x x =，即x =时，min 200()x x
+=，2max 300S =-.22.设A 是正整数集的非空子集，称集合{|||,B u v u v A =-∈，且}u v ≠为集合A 的生成集．
（1）当{}1,3,6A =时，写出集合A 的生成集B ；
（2）若A 是由5个正整数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =
，并说明理由．【答案】（1）{}2,3,5B =；
（2）4；
（3）不存在，理由见解析.【解析】
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；
（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；
（3）假设存在集合{},,,A a b c d =，可得d a c a b a ->->-，d a d b d c ->->-，c a c b ->-，16d a -=，然后结合条件说明即得.
【小问1详解】
因为{}1,3,6A =，所以132,165,363-=-=-=，
所以{}2,3,5B =；
【小问2详解】
设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，
因为21314151a a a a a a a a <<<----，
所以B 中元素个数大于等于4个，
又{}1,2,3,4,5A =，则{}1,2,3,4B =，此时B 中元素个数等于4个，
所以生成集B 中元素个数的最小值为4；
【小问3详解】
不存在，理由如下：
假设存在4个正整数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，
不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集B 由,,,,,b a c a d a c b d b d c ------组成，
又,,d a c a b a d a d b d c c a c b ->->-->->-->-，
所以16d a -=，
若2b a -=，又16d a -=，则14d b B -=∉，故2b a -≠，
若2d c -=，又16d a -=，则14c a B -=∉，故2d c -≠，
所以2c b -=，又16d a -=，则18d b c a -+-=，而{},3,5,6,10d b c a --∈，
所以18d b c a -+-=不成立，
所以假设不成立，
故不存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。