高三数学文科第六次月考试卷 试题

龙翔中学2021届高三数学文科第六次月考试卷
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2021.3
第一卷(选择题,一共50分)
一、
选择题(一共10小题,每一小题5分,一共50分)
1．tan675°的值是
〔 〕
A ．1
B ．－1
C ．
2
2
D ．－
2
2 2．如下图，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确 的是 〔 〕
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A ．④③② B ． ②①③ C ． ①②③ D ． ③②④
3．给出以下函数①3
y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x = ④22,x
x
y -=+其中是偶函数的有 〔 〕 A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个
4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设4588,10,S a a ==则＝ 〔 〕 A ．18 B ．36 C ．54 D ．72
5．设全集U 是实数集R ，{}
2M x|x 4>＝，{}|13N x x =<<，那么图中阴影局部所表示的集合是〔 〕
A ．{}|21x x -≤<
B ． {}|22x x -≤≤
C ．{x ︱1＜x ≤2}
D ．{}|2x x <
6．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%， 那
么甲、乙二人下成和棋的概率为
〔 〕
A ．60%
B ．30%
C ．10%
D ．50%
7、以线段AB ：20(02)x y x +-=≤≤为直径的圆的方程为 〔 〕 A ．2
2
(1)(1)2x y +++= B ．2
2
(1)(1)2x y -+-= C ．2
2
(1)(1)8x y +++= D ．2
2
(1)(1)8x y -+-=
8．22,0
530
2-+⎩⎨
⎧≥+-≤-y x y x y x 则的最大值是
〔 〕
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
9．一机器狗每秒钟前进或者后退一步，程序设计师让机器狗以前进3步，再后退2步的
规律挪动，假如将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以一步的间隔 为一个单位 长，令P (n )表示第n 秒时机器狗所在位置的坐标，且P (0)=0，那么以下结论中错 误的是 〔 〕
A ． P (3)=3
B ． P (5)=1
C ． P (101)=21
D ． P (103)<P (104)
10．程序框图如下：
假如上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中应填入 〔 〕 A ．10?k ≤ B ．10?k ≥ C ．11?k ≤ D ．11?k ≥ 二、
填空题：〔每一小题5分，一共35分〕
11．椭圆中心在原点，一个焦点为(23,0)F -，且长轴是短轴长的2倍，那么该
椭圆的HY 方程是 。

12．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体安康 状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，抽取样本的适宜方法是 13． 不等式01
2
1≥--x 的解集是
14．关于函数21
()lg (0),x f x x x
+=≠有以下命题：
①其图像关于y 轴对称；
②当x ＞0时，()f x 是增函数；当x ＜0时，()f x 是减函数； ③()f x 的最小值是lg 2；
④当102x x -<<>或时，()f x 是增函数； ⑤()f x 无最大值，也无最小值。

其中所有正确结论的序号是 。

15．假设一条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，那么我们称此曲线为“双重对称曲线〞。

有以下四条曲线：①x 2
25 + y 2
16 =1 ②y=x 2
+2x-1③y =2sin(2x + π3
)④
y =|sinx |.其中是“双重对称曲线〞的序号是 〔把符合要求的曲线序号
都填上〕。

16．在12件产品中，有10件合格品，2件次品。

从这12件产品中任意抽出3件，其中至少有1件是次品的抽法总数为 〔用数字答题〕。

17．定义域、值域均为R 的函数y=f(x+2)为奇函数，且函数y=f(x)存在反函数，函数
y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，那么g(x)+g(-x)=
三﹑解答题：〔一共65分，要求写出解答过程〕
18．〔此题满分是12分〕设向量)1,sin 2
1
(),1,sin 4(),1,2(),2cos ,1(θθθ====d c b a ， 其中)4
,
0(π
θ∈.
〔Ⅰ〕求d c b a ⋅-⋅的取值范围；
〔Ⅱ〕假设函数)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较的大小.
19．〔本小题满分是12分〕
等差数列{}n a ，公差d 大于0，且25a a 、是方程2
12270x x -+=的两个根，
数列{}n b 的前n 项和为1
12
n n T b =-n 且T 。

〔1〕求数列{}n a 、
{}n b 的通项公式；
〔2〕记c n =a n ﹒b n 求证c n 1+≤c n 20．〔本小题满分是14分〕如图，直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的高为3，
底面是边长为4且∠DAB=60°
的菱形，AC ∩BD=0，A 1C 1∩B 1D 1=O 1，E 是O 1A 的中点. 〔1〕求证：平面O 1AC ⊥平面O 1BD 〔2〕求二面角O 1－BC －D 的大小； 〔3〕求点E 到平面O 1BC 的间隔 .
21．〔本小题满分是14分〕
某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入消费使用，方案第 一年维修、保养费用12万元，从第二年开场，每年所需维修、保养费用比上一年 增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床盈 利额为y 万元。

〔1〕写出y 与x 之间的函数关系式；
〔2〕从第几年开场，该机床开场盈利〔盈利额为正值〕
〔3〕使用假设干年后，对机床的处理方案有两种：〔Ⅰ〕当年平均盈利额到达最大 值时，以30万元价格处理该机床；
〔Ⅱ〕当盈利额到达最大值时，以12万元价格处理该机床。

问用哪种方案处理较为合理？请说明理由。

22．〔本小题满分是13分〕
圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上， 点G 在MP 上，且满足0,2=⋅=NP GQ NQ NP . 〔1〕求点G 的轨迹C 的方程；
〔2〕过点〔2，0〕作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点， 设,OB OA OS += 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等 〔即|OS|=|AB|〕？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，试说明理由.
[参考答案]
一选择题〔每一小题5分，一共50分〕
二填空题：〔每一小题4分，一共16分〕
11．
22
1164
x y += 12． 分层抽样 13． }31|{≥<x x x 或 14． ①③④ 15 。

①③ 16．100 17．4
18．解：〔I 〕θθθ2cos 21sin 2,2cos 22-=+=⋅+=⋅d c b a。

3
分
)
7...(..........).........2,0(,22cos 20,2
20,4
0)
5..(..................................................,2cos 2分的取值范围是分d c b a d c b a ⋅-⋅∴<<∴<
<∴<
<=⋅-⋅∴θπ
θπ
θθ
〔II 〕,cos 2|2cos 1||12cos 2|)(2θθθ=+=-+=⋅b a f
)
14(.......................).
()(0
2cos 2,2
20,4
0)
11(.........,2cos 2)sin (cos 2)()()9(....................,sin 2|2cos 1||12cos 2|)(222分分分d c f b a f d c f b a f d c f ⋅>⋅∴>∴<
<∴<
<=-=⋅-⋅∴=-=--=⋅θπ
θπ
θθθθθθθ
19．解：〔1〕设{}n a 的公差为d ，由题意得：
125125112512
12127()(4)272120
0n a d a a a a a a d a d a n d d d +=⎧+=⎧=⎧⎪⎪
=⇒++=⇒⇒=-⎨⎨⎨
=⎩⎪⎪>>⎩⎩。

4 n-111111121 T 1 2233
n n n n T b b b T --=-=-===n 1得两式相减得：b ，b
{}1
111211,233333n n
n n n b b b --⎛⎫
⎛⎫
∴=∴== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
n 2即是以为公比，以为首项的等比数列。

b 3 。

8
〔2〕1(21)23n
n n n c a b n ⎛⎫
==-⨯ ⎪⎝⎭。

10
1
11111(21)2(21)28()(1)333n n
n n n c c n n n +++⎛⎫
⎛⎫
∴-=+⨯--⨯=-⨯- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭。

13
11,n n n c c +>∴≤ 。

14
20．解〔1〕∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，又OO 1//AA 1，
AA ⊥平面ABCD ，
OO 1⊥平面ABCD ，∴BD ⊥OO 1，OO 1⋂AC=O ， ∴BD ⊥平面O 1AC ，平面O 1BD ⊥平面O 1AC 。

4
〔2〕过O 作O F ⊥BC 于F ，连接O 1F ，
∵OO 1⊥面AC ，∴BC ⊥O 1F ，
∴∠O 1F O 是二面角O 1－BC －D 的平面角，。

7 ∵OB=2，∠OB F =60°，∴O F =3.在Rt △O 1O F 中， tan ∠O 1F O=133,3OO OF ==。

9
∴∠O 1F O=60° 即二面角O 1—BC —D 为60°
〔3〕在△O 1AC 中，OE 是△O 1AC 的中位线，∴OE ∥O 1C
∴OE ∥O 1BC ，∵BC ⊥面O 1OF ，∴面O 1BC ⊥面O 1O F ，交线O 1F . 过O 作OH ⊥O 1F 于H ，那么OH 是点O 到面O 1BC 的间隔 ，。

12 ∴OH=3.2∴点E 到面O 1BC 的间隔 等于3.2。

14 解法二：〔2〕∵OO 1⊥平面AC ，∴OO 1⊥OA ，OO 1⊥OB ， 又OA ⊥OB ，建立如下图的空间直角坐标系〔如图〕 ∵底面ABCD 是边长为4，∠DAB=60°的菱形，
∴OA=23，OB=2，那么A 〔23，0，0〕，B 〔0，2，0〕， C 〔－23，0，0〕，O 1〔0，0，3〕。

5 设平面O 1BC 的法向量为1n =〔x ，y ，z 〕，那么1n ⊥1O B ，1n ⊥1O C ，
∴230
2330
y z x z -=⎧⎪⎨
--=⎪⎩，那么z=2，那么x =－3，y=3，∴1n =〔－3，3，2〕，。

7
而平面AC 的法向量2n =〔0，0，3〕。

8
∴cos<1n ，2n 2
1436||||2121=⨯=⋅n n ，。

9
设O 1－BC －D 的平面角为α， ∴cos α=
1,2∴α=60°. 故二面角O 1－BC －D 为60°.
〔3〕设点E 到平面O 1BC 的间隔 为d ，
∵E 是O 1A 的中点，∴1EO =
，0，32
〕，。

11 那么d=232
3)3(|)2,3,3()23,0,3(|||||22211=++--⋅-=⋅n n EO 。

13 ∴点E 到面O 1BC 的间隔 等于
32。

14 21． 解：〔1〕依题得： 2*(1)501249824098.()2x x y x x x x x N -⎡⎤=-+⨯-=-+-∈⎢⎥⎣⎦。

4 〔2
〕解不等式2240980,:1010x x x -+->-<<得*,317,3x N x ∈∴≤≤故从第年开始盈利。

8
〔3〕
〔Ⅰ〕
989824040(2)4012y x x x x x
=-+-=-+≤-= 当且仅当982x x =时，即x=7时等号成立。

∴到2021年，年平均盈利额到达最大值，工厂一共获利12×7+30＝114万元。

11
〔Ⅱ〕2224098(10)102,10102y x x x =-+-=--+=max 当x ＝
时，y 故到2021年，盈利额到达最大值，工厂获利102+12＝114万元。

13
因为盈利额到达的最大值一样，而方案Ⅰ所用的时间是较短，故方案Ⅰ比拟合理。

14
22． 解：〔1〕⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=⋅=02PN GQ NQ NP Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN
⇒GQ 为PN 的中垂线⇒|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，。

5 其长半轴长3=a ，半焦距5=c ，∴短半轴长b=2，
∴点G 的轨迹方程是14
92
2=+y x 。

7 〔2〕因为OB OA OS +=，所以四边形OASB 为平行四边形
假设存在l 使得|OS |=|AB |，那么四边形OASB 为矩形0=⋅∴OB OA 假设l 的斜率不存在，直线l 的方程为x =2，由⎪⎩
⎪⎨⎧±==⎪⎩⎪⎨⎧=+=3522149222y x y x x 得
0,0916=⋅>=⋅∴OB OA OB OA 与矛盾，故l 的斜率存在. 。

9 设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -= 0)1(3636)49(149
)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 由。

11
49)1(36,493622212221+-=+=+∴k k x x k k x x ① )]2()][2([2121--=x k x k y y 4920]4)(2[22
21212+-=++-=k k x x x x k ②
把①、②代入2
302121±==+k y y x x 得。

13 ∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的对角线相
等.。

14
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。