2017-2018年上海市金山区中考一模(即期末)数学试题及

2017-2018学年第一学期期末质量检测
初三数学试卷
（测试时间：100分钟，满分：150分） 01
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答
题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的
相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．两个相似三角形的面积比为1∶4，那么这两个三角形的周长比为
（ ）
（A ）1∶2； （B ）1∶4； （C ）1∶8； （D ）1∶16． 2．如果向量a
与单位向量e
方向相反，且长度为1
2
，那么向量a
用单
位向量e
表示为（ ）
（A ）12
a e = ； （B ）2a e =
；
（C ）12
a e =-
； （D ）
2a e =-
．
3．将抛物线2y x =向右平移1个单位，所得新抛物线的函数解析式是
（ ）
（A ）2(1)y x =+； （B ）2(1)y x =-； （C ）21y x =+； （D ）21y x =-．
4．在Rt △ABC 中，∠A =90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩
大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B 的正切值（ ） （A ）扩大2倍； （B ）缩小2倍； （C ）扩大4倍； （D ）大小不变 ．
5．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =a ，BC =m ，那么AB 的长为（ ） （A ）sin m α； （B ）cos m α； （C ）
sin m
α
； （D ）
cos m α
．
6．在平面直角坐标系中，抛物线()2
21y x =--+的顶点是点P ，对称
轴与x 轴相交于点Q ，以点P 为圆心，PQ 长为半径画⊙P ，那么下列判断正确的是（ ）
（A ）x 轴与⊙P 相离； （B ）x 轴与⊙P 相切；
（C ）y 轴与⊙P 与相切； （D ）y 轴与⊙P 相交． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果23x y =，那么22x y x y
+-= ▲ ．
8．已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，35
DE BC
=，
那么CE
AE 的值等于 ▲ ．
9．计算：()223a b b +-=
▲ ．
10．抛物线22y x x =+的对称轴是 ▲ ．
11．二次函数22y x t =+的图像向下平移2个单位后经过点（1，3），那么t = ▲ ．
12．已知在△ABC 中，∠C =90°，AB =12，点G 为△ABC 的重心，那么
CG = ▲ ．
13．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC
，那么∠A = ▲ 度．
14．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，1cot 3
B =，B
C =3，那么AC = ▲ ． 15．已知内切两圆的圆心距为6，其中一个圆的半径为4，那么另一个圆的半径为 ▲ ．
16．如果正n 边形的每一个内角都等于144°，那么n = ▲ ． 17．正六边形的边长为a ，面积为S ，那么S 关于a 的函数关系式是 ▲ ．
18．在Rt △ABC 中，∠C =90°，3cos 5
B =，
把这个直角三角形绕顶点C
旋转后
第18题图
得到
Rt △A'B'C ，其中点B' 正好落在AB 上， A'B'与AC 相交于点D ，那么B D CD
'= ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
计算：222sin 60cos 45tan 60cos30tan 30cot 45---
20．（本题满分10分, 其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）
已知一个二次函数2y x b x c =++的图像经过点（4，1）和（1-，6）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴．
21．（本题满分10分）
如图，已知AB 是⊙O 的弦，点C 在线段AB 上，OC =AC =4，CB =8．
求⊙O 的半径．
22．（本题满分10分）
如图，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，右图是侧面示意图。

已知自动扶梯AB 的坡度为1:2.4，AB 的长度是13米，MN 是二楼楼顶，MN ∥PQ ，C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC ⊥MN ，在自动扶梯底端A 处测得C 点的仰角为42°，求二楼的层高BC （精确到0.1米）．
（参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90）
23．（本题满分12分，每小题各6分）
如图，在□ABCD 中，E 是AB 的中点，ED 和AC 相交于点F ，过点
F 作F
G ∥AB ，交AD 于点G ．
M
N
A
B
C
P
Q
（1）求证：AB =3FG ； （2）若AB : AC
2
DF DG DA =⋅．
24．（本题满分12分，每小题各4分） 已知，二次函数2y =ax +bx 的图像经过点(5,
0)A -和点
B ，其
中点B 在第一象限，且
OA =OB ，cot ∠BAO=2．
（1）求点B 的坐标； （2）求二次函数的解析式；
（3）过点B 作直线BC 平行于x 轴，直线BC 与二次函数图像的另一个交点为C ，联结AC ，如果点P 在x 轴上，且△ABC 和△PAB 相似，求点P 的坐标．
A
B
C
D
E
F
G
25．（本题满分14分，其中第（1）小题8分，第（2）小题6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P 与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．（1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；
（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．
A
C B
参考答案和评分标准
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．A ； 2．C ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．B ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．2； 8．32
； 9．2a b + ； 10．直线1x =-； 11．3；
12．4；
13．60°； 14．9； 15．10； 16．10； 17
．2
2
S a =； 18．
7
20
． 三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24
题每题12分，第25题14分，满分78分）
19. 解：原式
2
2
2⨯-=……………………………………
（6分）
=
4分）
=4分）
20．解：（1）由题意，得
()()2
2
441116b c b c ⎧+⋅+=⎪⎨-+⋅-+=⎪⎩．
．
………………………………………………（2分）
解
这
个
方
程
组
，
得
41b c =-⎧⎨=⎩
．
．…………………………………………（3分） ∴所求二次函数的解析式是
241y x x =-+．………………………（1分）
（2）顶点坐标是（2，
-3）．…………………………………………（2分）
对
称
轴
是
直线
2x =．……………………………………………（2
分）
21．解：联结OA ， 过 点O 作OD ⊥AB ， 垂足为点D ．…………………（1分）
∵AC =4，CB =8，∴AB =12． ∵
OD ⊥AB ，∴
AD =DB =6，…………………………………………（3分）
∴
CH =2．………………………………………………………………（1分）
在Rt CHO ∆中，90CHO ∠=︒，OC =4 ，CH =2， ∴
OH =…………………………………………………………（2分） 在Rt AHO ∆中，90AHO ∠=︒，
OA =．……………………………………………………
………（2分）
∴
⊙
O 的半径是
OA =1分）
22．解：延长CB 交PQ 于点
D ．…………………………………………………（1分）
∵
MN ∥PQ ， BC ⊥MN ，∴BC ⊥
PQ ．……………………………………（1分）
∵自动扶梯
AB 的坡度为1:2.4，∴
15
2.412
BD AD ==．…………………（1分） 设5BD k =米，12AD k =米,则13AB k =米．
∵AB =13米，∴ 1k =，∴ 5BD =米，12AD =米．…………………
（3分）
在Rt CHO ∆中，90CHO ∠=︒，42CAD ∠=︒，
∴tan 120.9010.8CD AD CAD =⋅∠≈⨯≈米，…………………………（3分）
∴
5.8
BC ≈米．………………………………………………………………（1分）
答：二楼的层高BC 约为5.8米．
23．证明：（1）在□ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，AD ∥BC ，
又
∵
E 是AB 的中点，∴
1
2
AF EF FC ED ==，………………………………（2分） ∵FG ∥AB ， ∴FG ∥CD ， ∴
1
3
FG AF CD AC ==，……………………（2分） ∴
1
3
FG AB =， ∴
AB =3FG ．………………………………………………（2分）
（2）设AB =，AC =，
则AE =
，AF =．
∴
k
AE
AC
==
，AF
AB
==，
∴AE AF
AC AB
==．……………………………………………………（1分）
又∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB．…………（2分）
∵FG∥AB，AD∥BC；∴∠AEF=∠DFG，∠ACB=∠DAF，
∴∠DFG=∠DAF．………………………………………………………（1分）又∵∠FDG=∠ADF，∴△FDG∽△ADF，
∴DF DG
DA DF
=，∴2
DF DG DA
=⋅．…………………………………（2分）
24．解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D
在Rt ADB
∆中，90
ADB
∠=︒，
cot2
AD
BAO
BD
?=．………………………………………………………（1分）
设BD=x，AD=2x，由题意，得OA=0B=5，∴OD=2x-5．
在Rt ODB ∆中，222OD BD OB +=，∴()2
22255x x -+=，
解得
14
x =，
20
x =（不合题意，舍
去）．…………………………………（2分）
∴BD =4，OD =3， ∴点
B 的坐标是（3，
4）． ……………………………（1分） （
2
）
由
题
意
，
得
2550,
934a b a b -=⎧⎨
+=⎩．
，………………………………………………（2分） 解这个方程组，得
1,656a b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
． …………………………………………（1分）
∴
二次函数的解析式是
215
66
y x x =
+．…………………………（1分） （3）∵直线BC 平行于x 轴，∴C 点的纵坐标为4，设
C 点的坐标为（m ，4）．
由题意，得21
546
6
m m +=， 解得13m =（不合题意，舍去），28m =-． ∴C
点的坐标为（-8，4）， BC =11，
AB
=．……………………………（1分）
∵ABC BAP
∠=∠，
①如果ABC
∆∽BAP
∆，那么AB AB BC AP
=，
∴AP=11，点P的坐标为（6，0）．…………………………………………（1分）
②如果ABC
∆∽PAB
∆，那么AB AP BC AB
=，
∴AP=80
11，点P的坐标为（25
11
，
0）．……………………………………（1分）
综上所述，点P的坐标为（6，0）或（25
11
，0）．………………………（1分）
注：只写出答案没有解题过程得2分．
25．解：（1）①∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA．
∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．…………………………………（1分）
∴∠ABC=∠DEC，BC DE
CE AB
=．
∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．
又AP =x ，∴PB =PE =5-x ，DE =5-2x ， ∴35
52y
x
=
- ∴
635
y x =-
（502
x <<）．……………………………………………………（3分）
注：其中x 取值范围1分．
②设BE 的中点为Q ，联结PQ ．
∵PB =PE ，∴PQ ⊥BE ，又∵∠ABC =90°，∴PQ ∥AC ， ∴
PQ PB BQ AC AB BC ==，∴5454
PQ x BQ
-==， ∴4
45
PQ x =-，335
BQ x =-．……………………………………………
（2分）
当以BE 为直径的圆和⊙P 外切时，4
3435
5
x x x -=+- ．……………
（1分）
解
得
56
x =
，即AP 的长为
5
6
．……………………………………………（2分） （2）如果点E 在线段BC 延长线上时，
由（1）②的结论可知494455
IQ PQ PI x x x =-=--=-，………（1分）
33
3355
CQ BC BQ x x ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭．…………………………………（1
分）
在Rt △CQI 中，
CI ===．…（1分）
∵CI =AP x ， 解得120
13
x =，24x =（不合题意，舍去）． ∴
AP 的长为
20
13
．…………………………………………………………（1分） 同理，如果点E 在线段BC 上时，
494455IQ PI PQ x x x ⎛
⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，
33
3355
CQ BC BQ x x ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭．
在
Rt
△
CQI 中，
CI ===．
∵CI =AP ，
x ，解得12013x =（不合题意，舍去），24x =． ∴AP 的长为
4．……………………………………………………………（2分）
综上所述，AP 的长为
20
13
或4． 注：1、只有答案没有过程时写出
20
13
得1分，写出4得2分． 2、有过程但没有进行分类讨论就得出20
13
或4得4分．。