人教A版必修2《4.2.3 直线与圆的方程的应用》练习卷(2)

人教A版必修2《4.2.3 直线与圆的方程的应用》练习卷（2）
一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）
1.已知圆C:(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得
∠APB=90∘，则m的最大值为()
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
2.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx−y−9=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k=()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3.圆(x−1)2+(y−2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为()
A. (x−2)2+(y−1)2=1
B. (x+1)2+(y−2)2=1
C. (x+2)2+(y−1)2=1
D. (x−1)2+(y+2)2=1
二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
4.与直线x+y−2=0和曲线x2+y2−12x−12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是
_____________．
5.已知直线ax+y−2=0与圆心为C的圆(x−1)2+(y−a)2=4相交于A，B两点，且△ABC为
等边三角形，则实数a=．
6.若圆C：x2+y2−4y+3=0，关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a,b)向圆所作的切线
长的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
7.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，点P是△ABC内切圆上一点．
(1)求△ABC内切圆的方程；
(2)求以PA、PB、PC为直径的三个圆的面积之和的最大值和最小值．
8.已知圆M过C(1,−1),D(−1,1)两点，且圆心M在x+y−2=0上．
(Ⅰ)求圆M的方程；
(Ⅱ)设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
9.自点A(−3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴发射，其发射光线所在直线与圆M：x2+y2−4x−
4y+7=0相切．
(1)求圆M的圆心和半径；
(2)求圆M关于x轴对称的圆方程；
(3)求光线l的方程．
10.已知圆M:x2+(y−4)2=4，点P是直线l:x−2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，
PB，切点为A，B．
(1)当切线PA的长度为2√3时，求点P的坐标；
(2)直线AB是否过定点？若过定点则求出该定点，若不存在则说明理由；
(3)求线段AB长度的最小值．
11.已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于x轴的正半轴上，圆C与直线3x−4y+7=0相
切，且被y轴截得的弦长为2√3，圆C的面积小于13．
(1)求圆C的标准方程．
(2)若过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.
问：是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行?如果存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
12.已知圆C：x2+(y−4)2=4，直线l：(3m+1)x+(1−m)y−4=0．
(1)求直线l所过定点A的坐标；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；
(3)已知点M(−3,4)，在直线MC(C为圆心)上存在定点N(异于点M)，满足：对于圆C上任意一点
P，都有|PM|
为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．
|PN|
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
本题考查圆与圆的位置关系的应用，两点距离公式的应用，属于中档题．
由∠APB=90°，可得点P在以AB为直径的圆上，又点P在圆C上，则
两圆有交点，由两圆的位置关系列关系式求得m的取值范围即可．
解：圆C：(x−3)2+(y−4)2=1的圆心C(3,4)，半径为1，
∵圆心C到O(0,0)的距离为5，
∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．
再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，
AB=m，故有m≤6，
可得PO=1
2
故选：B．
2.答案：A
解析：
判断直线与坐标轴的关系，然后判断直线与圆的位置关系即可．
解：直线y=kx+1与圆x2+y2+kx−y−9=0的两个交点恰好关于y轴对称，可知k=0．
当k=0时，直线y=1与圆x2+y2−y−9=0的两个交点为(−3,1)和(3,1)．
故选：A．
3.答案：A
解析：
本题考查关于直线对称的圆的方程，属于基础题．
关键是理解圆关于直线对称的含义：半径相同，圆心关于直线对称.先找出圆心关于直线对称的点的坐标，再写出圆的方程即可．
解：∵圆心(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1)，
又圆(x−1)2+(y−2)2=1的半径为1，
∴关于直线y=x对称的圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=1．
故选A．
4.答案：(x−2)2+(y−2)2=2
解析：
本题考查直线与圆相切的性质的应用，求圆的标准方程，难度一般．
先求出圆心C1(6,6)到直线x+y−2=0的距离为d=
√2
=5√2.再求过点C1且垂直于x+y−2= 0的直线y=x，所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上，圆心C2到直线x+y−2=0的距离为
5√2−3√2
2=√2，则圆C2的半径长为√2.设C2的坐标为(x0,y0)，则00
√2
=√2，解得x0=2(x0=0舍
去)，所以圆心坐标为(2,2)，即可求出所求．
解：曲线化为(x−6)2+(y−6)2=18，
其圆心C1(6,6)到直线x+y−2=0的距离为d=
√2
=5√2．过点C1且垂直于x+y−2=0的直线为y−6=x−6，即y=x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y=x上，如图所示，
圆心C2到直线x+y−2=0的距离为5√2−3√2
2
=√2，
则圆C2的半径长为√2．
设C2的坐标为(x0,y0)，
则00
√2
=√2，解得x0=2(x0=0舍去)，
所以圆心坐标为(2,2)，
所以所求圆的标准方程为(x−2)2+(y−2)2=2．
5.答案：4±√15
解析：
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．
根据等边三角形可得圆心到直线的距离，即可得解．
解：依题意，圆C的半径长是2，
×2=√3，
圆心C(1,a)到直线ax+y−2=0的距离等于√3
2
=√3，即a2−8a+1=0，
于是有
√a2+1
解得a=4±√15．
故答案为4±√15．
6.答案：2√6
解析：
首先通过圆的一般方程与标准方程之间的转化，先求出圆心的坐标，进一步确定b的值，最后求出切线的最小值．
本题考查的知识要点：圆的一般式与顶点式的转化，圆关于直线对称的问题，切线长的最值．解：圆x2+y2−4y+3=0转化为：x2+(y−2)2=1
则：圆心坐标为：(0,2)，半径R=1
圆C：x2+y2−4y+3=0，关于直线2ax+by+6=0对称
则：圆心的坐标在直线上
所以：解得：b=−3
点(a,−3)向圆所作的切线：
所有的切线中当直线的斜率不存在时，点(a,−3)到圆心的距离最小，此时a=0，最小距离为5，切线长的最小值为√52−12=2√6
故答案为：2√6．
7.答案：解：(1)∵△ABC三个顶点坐标分别为A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)
∴AB⊥AC，AB=4，AC=3，BC=√16+9=5，
∴△ABC内切圆的半径r=3+4−5
2
=1，圆心(1,1)，
∴△ABC内切圆的方程为(x−1)2+(y−1)2=1．
(2)设P(x,y)，由△ABC的内切圆方程(x−1)2+(y−1)2=1，得x2+
y2−2x−2y+1=0.①
|PA|2+|PB|2+|PC|2
=(x−4)2+y2+x2+(y−3)2+x2+y2
=3x2+3y2−8x−6y+25，②
由①知x2+y2−2y=2x−1，
将其代入②，有|PA|2+|PB|2+|PC|2=3(2x−1)−8x+25=−2x+22，
∵x∈[0,2]，∴|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为22，最小值为18，
以PA、PB、PC为直径的三个圆的面积之和：
S=π(|PA|
2)2+π(|PB|
2
)2+π(|PC|
2
)2
=π
4
(|PA|2+|PB|2+|PC|2)，
∴以PA、PB、PC为直径的三个圆的面积之和的最大值为11π
2，最小值为9π
2
．
解析：(1)由已知得AB ⊥AC ，AB =4，AC =3，BC =5，由此求出△ABC 内切圆的半径和圆心，由此能求出△ABC 内切圆的方程．
(2)三个圆面积之和的最值问题实质上是求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值，由于P 是△ABC 内切圆上的点，若想找P 点坐标必须先从△ABC 内切圆的方程入手．
本题考查三角形内切圆方程的求法，考查三个圆的面积之和的最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
8.答案：解：(1)设圆M 的方程为：(x −a)2+(y −b)2=
r 2(r >0)，
根据题意得{(1−a)2+(−1−b)2=r 2
(−1−a)2+(1−b)2=r 2a +b −2=0
，解得：
a =
b =1，r =2，
故所求圆M 的方程为：(x −1)2+(y −1)2=4；
(2)由题知，四边形PAMB 的面积为S =S △PAM +S △PBM =12(|AM||PA|+|BM||PB|)．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S =2|PA|，
而|PA|2=|PM|2−|AM|2=|PM|2−4，
即S =2√|PM|2−4．
因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x +4y +8=0上找一点P ，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min =
3+4+85=3，所以四边形PAMB 面积的最小值为2√|PM|2−4=2√5．
解析：本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)设出圆的标准方程，利用圆M 过两点C(1,−1)、D(−1,1)且圆心M 在直线x +y −2=0上，建立方程组，即可求圆M 的方程；
(2)四边形PAMB 的面积为S =2√|PM|2−4，因此要求S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，在直线3x +4y +8=0上找一点P ，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论． 9.答案：解：(1)圆M ：x 2+y 2−4x −4y +7=0的标准方程是
(x −2)2+(y −2)2=1，
圆心M(2,2)，半径为1；
(2)圆M 关于x 轴的对称圆的方程是
(x −2)2+(y +2)2=1；
(3)设光线l 所在直线的方程是
y −3=k(x +3)(其中斜率k 待定)
由题设知对称圆的圆心C′(2,−2)到这条直线的距离等于1，
即d =2=1.整理得：12k 2+25k +12=0，
解得：k =34，或k =43．
故所求的直线方程是y −3=34(x +3)，或y −3=43(x +3)，
即3x +4y −3=0，或4x +3y +3=0．
解析：(1)化简圆的方程为标准方程，可得圆心M 和半径；
(2)将y 变为−y ，x 不变，求出关于x 轴对称的圆的方程；
(3)设l 的斜率为k ，利用相切的条件：d =r ，求出k 的值，即可得到l 的方程．
本题考查点、直线和圆的对称问题，直线与圆的关系，考查运算能力，属于中档题．
10.答案：
解：(1)由题可知，圆M 的半径r =2，设P(2b,b)，因为PA 是圆M 的一条切线，所以∠MAP =90°，
所以MP =√(0−2b)2+(4−b)2=√AM 2+AP 2=4，解得b =0或b =85
所以P(0,0)或P(165,85)；
(2)设P(2b,b)，因为∠MAP =90°，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为：(x −b)2+(y −
b+42)2=4b 2+(b−4)24， 由{
(x −b )2+(y −b+42)2=4b 2+(b−4)24x 2+y 2−8y +12=0得：
−2bx +(4−b )y +4b −12=0，
(−2x −y +4)b +(4y −12)=0，
令{−2x −y +4=04y −12=0，解得{x =1
2y =3
， ∴定点(12,3)，
(3)因为圆N 方程为(x −b)2+(y −b+42)2=4b 2+(b−4)24 ，
即x 2+y 2−2bx −(b +4)y +4b =0 …①，
圆M ：x 2+(y −4)2=4，即x 2+y 2−8y +12=0…②，
②−①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：2bx +(b −4)y +12−4b =0，点M 到直线AB 的距离d =2，
相交弦长即：AB =2√4−d 2=4√1−45b 2−8b+16=4√1−
45(b−45)2+645 ， 当b =45时，AB 有最小值√11．
解析：本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)因为PA 是圆M 的一条切线，所以∠MAP =90°，所以MP =√(0−2b)2+(4−b)2=√AM 2+AP 2=4，即可点P 的坐标；
(2)设P(2b,b)，因为∠MAP =90°，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为：(x −b)2+
(y −b+42)2=4b 2+(b−4)2
4，联立圆的方程即可得出结论；
(3)求出点M 到直线AB 的距离，利用勾股定理，即可求线段AB 长度的最小值．
11.答案：解：(1)设圆C ：(x −a)2+y 2=R 2(a >0)，
由题意知{√32+42=R √a 2+3=R ，解得a =1或a =138，
又∵S =πR 2<13，
∴a =1，
∴圆C 的标准方程为：(x −1)2+y 2=4.
(2)当斜率不存在时，直线l 为：x =0不满足题意．
当斜率存在时，设直线l ：y =kx +3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
又∵l 与圆C 相交于不同的两点，
联立{y =kx +3(x −1)2+y 2=4
，消去y 得：(1+k 2)x 2+(6k −2)x +6=0， ∴△=(6k −2)2−24(1+k 2)=3k 2−6k −5>0，
解得k <1−2√63或k >1+2√63
． x 1+x 2=−6k−2
1+k 2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+6=2k+61+k 2，OD →=(x 1+x 2,y 1+y 2)，MC →=(1,−3)，
假设OD→//MC→，则−3(x1+x2)=y1+y2，
∴3×6k−2
1+k2=2k+6
1+k2
，
解得k=3
4∉(−∞,1−2√6
3
)∪(1+2√6
3
,+∞)，假设不成立．
∴不存在这样的直线l.
解析：本题考查了圆的标准方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
(1)利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C的面积小于13，即可求圆C的标准方程；
(2)分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设OD→//MC→，则−3(x1+x2)=y1+ y2，即可得出结论．
12.答案：解：(1)依题意得，m(3x−y)+(x+y−4)=0，
令3x−y=0且x+y−4=0，得x=1，y=3，所以直线l过定点A(1,3)；
(2)当AC⊥l时，所截得弦长最短，
由题知C(0,4)，r=2，
所以k AC=4−3
0−1=−1，得k l=−1
k AC
=1，
由3m+1
m−1
=1，得m=−1，
所以圆心到直线l的距离为d=|AC|=√2，
所以最短弦长为2√r2−d2=2√4−2=2√2；
(3)由题知，直线MC的方程为y=4，假设存在定点N(t,4)满足题意，
则设P(x,y)， | PM | 
 | PN | 
=λ，得|PM|2=λ2|PN|2(λ>0)，
所以(x+3)2+(y−4)2=λ2(x−t)2+λ2(y−4)2，
因为P在圆上，则(y−4)2=4−x2，
所以(x+3)2+4−x2=λ2(x−t)2+λ2(4−x2)，
整理得(6+2tλ2)x−(λ2t2+4λ2−13)=0，
所以上式对任意x∈[−2,2]恒成立，
所以6+2tλ2=0且λ2t2+4λ2−13=0，
解得t =−43，λ=32或t =−3，λ=1(舍去，与M 重合).
综上可知，在直线MC 上存在定点N (−43,4)，使得 | PM | | PN | 为常数32．
解析：本题考查直线与圆的方程的综合应用．
(1)利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标；
(2)当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C(0,4)，r =2，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；
(3)由题知，直线MC 的方程为y =4，假设存在定点N(t,4)满足题意，则设P(x,y)， | PM | | PN | =λ，得|PM|2=λ2|PN|2(λ>0)，且(y −4)2=4−x 2，求出λ，然后求解比值．。