《特殊平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《特殊平行四边形》全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1. 理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.
2. 理解正方形的概念，探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.
3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：宽＝长矩形 S
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点二、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点三、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：=S 正方形边长×边长＝1
2×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、矩形
1、（2015春•青山区期中）如图1，已知AB∥CD，AB=CD ，∠A=∠D．
（1）求证：四边形ABCD 为矩形；
（2）E 是AB 边的中点，F 为AD 边上一点，∠DFC=2∠BCE．
①如图2，若F 为AD 中点，DF=1.6，求CF 的长度：
②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC= ，AF= ．
【答案与解析】
（1）证明：∵AB∥CD，AB=CD ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD 为矩形；
（2）解：①延长DA，CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，
∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，
∵E是AB边的中点，
∴AE=BE，
在△AGE和△BCE中，，
∴△AGE≌△BCE（AAS），
∴AG=BC，
∵DF=1.6，F为AD中点，
∴BC=3.2，
∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∵∠DFC=2∠BCE，
∴∠BCE=∠FCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠G，
∴CF=FG=4.8；
②若CE=4，CF=5，由①得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，
∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；
故答案为：5；
设DF=x，
根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，
即52﹣x2=82﹣（5+x）2，
解得：x=，
∴DG=5+=，
∴AD=DG=，
∴AF=AD﹣DF=；
故答案为：．
．
【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度.
举一反三：
【变式】如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．
（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；
（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．
【答案】
解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：
∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴DG是△ABC的中位线；
∴DG∥BC，且DG＝1
2 BC；
同理可证：EF∥BC，且EF＝1
2 BC；
∴DG∥EF，且DG＝EF；
故四边形DEFG是平行四边形；
（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：
连接OA；
同（1）可证：DE∥OA∥FG；
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG⊥DE；
∴OA⊥BC；
即O点在BC边的高上且A和垂足除外．
2、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4．过点A作AE⊥AB且AB＝AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC＝5，求四边形ABDE的周长．
【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC＝AF，AC＝EF，再利用勾股定理得出AB 的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可．
【答案与解析】
解：∵∠ACB＝90°，AE⊥AB，
∴∠1＋∠B＝∠1＋∠2＝90°．
∴∠B＝∠2．
∵EF⊥AC，
∴∠4＝∠5＝90°．
∴∠3＝∠4．
在△ABC 和△EAF 中，
∵342B AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，，
∴△ABC≌△EAF（AAS ）．
∴BC＝AF ，AC ＝EF ．
∵BC＝4，
∴AF＝4．
∵FC＝5，
∴AC＝EF ＝9．
在Rt△ABC 中，AB
=
．
∵ED⊥BC，
∴∠7＝∠6＝∠5＝90°．
∴四边形EFCD 是矩形．
∴CD＝EF ＝9，ED ＝FC ＝5．
∴四边形ABDE 的周长＝AB ＋BD ＋DE ＋EA
＋4＋9＋5
＝18＋
．
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC ＝EF ＝9是解题关键．
举一反三：
【变式】（2015•杭州模拟）如图，平行四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1cm 的速度沿射线CA 移动．
（1）经过几秒，以P ，Q ，B ，D 为顶点的四边形为矩形？
（2）若BC⊥AC 垂足为C ，求（1）中矩形边BQ 的长．
【答案】解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ 为矩形．
理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，
∵AC=6，
∴CP=A
Q=1
∴PQ=BD=8
∵四边形ABCD为平行四边形，BD=8
∴AO=CO=3
∴BO=DO=4
∴OQ=OP=4
∴四边形BPDQ为平形四边形，
∵PQ=BD=8
∴四边形BPDQ为矩形；
（2）由（1）得BO=4，CQ=7，
∵BC⊥AC
∴∠BCA=90°
BC2+CQ2=BQ2
∴BQ=．
类型二、菱形
3、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC AC，BD 相交于点
O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF＝90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF
为菱形，又由AB⊥AC，AB＝1，BC OA＝AB，即可得∠AOB＝45°，求得∠AOF
＝45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．
【答案与解析】
（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，
又AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形．
（2）证明：四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.
∴△AOF≌△COE
∴AF＝CE
（3）四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE，
由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，
∴EF与BD互相平分．
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．
AC==，
在Rt△ABC中，2
∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，
∴∠AOF＝45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．
【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.
举一反三：
【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.
【答案】
证明：∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，∠EBD＝∠EDB.
又∵∠EBD＝∠FBD，
∴∠FBD＝∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形.
又∵EB＝ED，
∴四边形BFDE是菱形.
4、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．
（1）求证：EF＝BF；
（2）在上述条件下，若AC＝BD，G是BD上一点，且BG：GD＝3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．
【思路点拨】
（1）根据平行四边形性质推出BD＝2BO，推出AB＝BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF＝BF＝CF即可；
（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG＝1
2 BC，
求出EG∥BC，EG＝1
2
BC，求出BF＝EG，BF∥EG，EG＝GF，得出平行四边形，根据菱形的判
定推出即可．
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2BO，
∵BD＝2AB，
∴AB＝BO，
∵E为OA中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∵F为BC中点，
∴EF＝BF＝CF，
即EF＝BF；
（2）四边形EBFG是菱形，
证明：连接CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2BO＝2OD，∴BD＝2AB＝2CD，
∴OC＝CD，
∵BG：GD＝3：1，OB＝OD，
∴G为OD中点，
∴CG⊥OD（三线合一定理），
即∠CGB＝90°，
∵F为BC中点，
∴GF＝1
2
BC＝
1
2
AD，
∵E为OA中点，G为OD中点，
∴EG∥AD，EG＝1
2 AD，
∴EG∥BC，EG＝1
2 BC，
∵F为BC中点，
∴BF＝1
2
BC，EG＝GF，
即EG∥BF，EG＝BF，
∴四边形EBFG是平行四边形，
∵EG＝GF，
∴平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
类型三、正方形
5、（2016•日照）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2=BE2+DF2．
【思路点拨】（1）直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE（SAS），进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，再结合勾股定理得出答案．
【答案与解析】
证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠QAE=45°，
∴∠QAE=∠FAE，
在△AQE和△AFE中
，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ=∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线；
（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE=EF，
在Rt△QBE中，
QB2+BE2=QE2，
则EF2=BE2+DF2．
【总结升华】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE（SAS）是解题关键．
举一反三：
【变式】如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE．
（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由．
（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．
【答案】
解：(1)BG＝DE，BG⊥DE；
理由是：延长BG交DE于点H，
因为BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE
所以△BCG ≌△DCE ，
所以BG ＝DE ，∠GBC ＝∠CDE ．
由于∠CDE ＋∠CED ＝90°，
所以∠GBC ＋∠DEC ＝90°， 得∠BHE ＝90°．
所以BG ⊥DE.
(2)上述结论也存在．
理由：设BG 交DE 于H ，BG 交DC 于K ，
同理可证△BCG ≌△DCE ，
得BG ＝ED ，∠KBC ＝∠KDH ．
又因为∠KBC ＋∠BKC ＝90°，
可得∠DKH ＋∠KDH ＝90°，从而得∠KHD ＝90°．
所以BG ⊥DE.
6、探究：如图①，在四边形ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB ＝AD ，AE⊥CD 于点E ．若AE ＝10，求四边形ABCD 的面积．
应用：如图②，在四边形ABCD 中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB ＝AD ，AE⊥BC 于点E ．若AE ＝19，BC ＝10，CD ＝6，则四边形ABCD 的面积为_______.
【思路点拨】探究：过点A 作AF⊥CB，交CB 的延长线于点F ，先判定四边形AFCE 为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE＝90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB＝∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB 和△AED 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE ＝AF ，从而得到四边形AFCE 是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；
应用：过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ，连接AC ，根据同角的补角相等可得∠ABC＝∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE 和△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AF ＝AE ，再根据ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形列式计算即可得解．
【答案与解析】
解:探究：如图①，过点A 作AF⊥CB，交CB 的延长线于点F ，
∵AE⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形AFCE 为矩形，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAB＋∠BAE＝90°，
∵∠EAD＋∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠EAD，
∵在△AFB 和△AED 中，
90FAB EAD F AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△AFB≌△AED（AAS ），
∴AF＝AE ，
∴四边形AFCE 为正方形，
∴AFCE ABCD S S =正方形四边形＝22
10AE =＝100；
应用：如图，过点A 作AF⊥CD 交CD 的延长线于F ，连接AC ，
则∠ADF＋∠ADC＝180°，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
∵在△ABE 和△ADF 中， 90ABC ADF AEB F AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ABE≌△ADF（AAS ），
∴AF＝AE ＝19，
∴ABC ACD ABCD S S S =+V V 四边形 ＝
12BC•AE＋12
CD•AF ＝12×10×19＋12×6×19 ＝95＋57
＝152．
故答案为：152．
【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键；（2）作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键．。