湖南省名校联考联合体2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题含解析

名校联考联合体2023年秋季高一年级期来考试
数学（答案在最后）
时量：120分钟满分：150分
得分：__________
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
1.已知{11},{2}M x x S x x =-=∈<N ∣∣ ，那么M S ⋂=（）
A.{}02x
x ∣ B.{}
0,1,2 C.{02}x
x <∣ D.{}
0,12.命题“0,210x x x ∃+-< ”的否定是（）
A.0,210x x x ∀+-
B.0000,210x
x x ∃+- C.0,210x x x ∀<+- D.0000,210
x
x x ∃<+-<3.将函数π2sin 36y x ⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭的图象向右平移π6
个单位长度后，所得图象对应的函数为（）
A.2sin3y x
= B.π2sin 33y x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭C.π2sin 33y x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
D.2π2sin 33y x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
4.三个数π
π5
log 0.1,0.1,tan π12
的大小关系是（）
A.ππ5
log 0.1tan π0.112
<< B.π
π5log 0.10.1tan π12
<<C.ππ5
tan
πlog 0.10.112
<< D.ππ5
tan
π0.1log 0.112
<<5.函数()24e
x
x x
f x -=的图象大致是（）
A. B.
C. D.
6.已知角α的终边在直线3y x =上，则sin α=（）
A.10
±
B.3
± C.
10
D.3
7.用二分法求函数()e 2x
f x x =--的一个正零点的近似值（精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据；
()()()()10.28, 1.50.98, 1.250.24, 1.1250.04f f f f ≈-≈≈≈-，关于下一步的说法正确的是（
）
A.已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B.已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C.没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.1875f
D.没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.0625f
8.已知函数()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0ω>.若()f x 在区间π3π,34⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，则ω的取值范围是
（
）
A.10,3
⎛⎤ ⎥
⎝
⎦
B.35,43
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.50,3
⎛⎤ ⎥
⎝
⎦
D.(]
0,1二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是（
）
A.如果,a b c d ><，那么a c b d ->-
B.如果0a b >>，那么
22
11a b >C.若15,23a b -<<<<，则32a b -<-<D.如果0,0,0a b c d m >><<<，那么m m
a c
b d
>
--10.下列各项不正确的是（）
1
4y = B.()2
22log 32log 3=
a
= D.42599log 27log 8log 58
⋅⋅=
11.已知0,0,2a b a b >>+=，则（）
A.1ab
B.024
a b -<<C.224
a b + D.
112a b
+
12.已知函数()()()()()1122πcos 0,0,π2π,sin 06f x A x A g x A x ωϕωϕωω⎛⎫
=+>><<=+
> ⎪⎝
⎭
，且函数()f x 的图像如图所示，则（
）
A.15π2,1,3
A ωϕ===
B.若21ωω=，则()()0
f x
g x +=C.已知22ω=，若()g x a -为偶函数，则()ππ
62
k a k =-
+∈Z D.若()g x 在()0,π上有两个零点，则2ω的取值范围为1117,66⎛⎤
⎥⎝⎦
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.化简：()()()()
πsin πcos 3πcos 25cos 6πsin πsin π2αααααα⎛⎫
+++ ⎪
⎝⎭=
⎛⎫
+--- ⎪⎝⎭
__________.
14.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧 AB 和弦AB 所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为π
2
，扇形的面积为3π，则此弧田的面积为
__________.
15.函数8log cos y x x =-的零点个数为__________.
16.已知函数(
)2ln e x f x ⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭
，若()()13120f a f a ++++>，则实数a 的取值范围为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知集合{}
{
}
122,1264x
A x
m x m B x =-+=∣∣ .（1）若{}
04A B x
x ⋂=∣ ，求实数m 的值；（2）“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）
已知()()2
23f x ax ax a =--∈R .
（1）若不等式2230ax ax --<的解集是{13}x
x -<<∣，求实数a 的值；（2）若不等式()1f x x <-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）
已知
()2cos sin 2,cos sin cos 5
αααβαα-=+=-
-，且,αβ均为锐角.（1）求tan α的值；（2）求sin2α的值；（3）求tan β的值.20.（本小题满分12分）
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵､研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）满足方程
301log lg 2100
x v x =
-，其中x 表示鲑鱼耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差.（1）当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为1.3m /s ，求此时0x 的值；
（2）当甲､乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？21.（本小题满分12分）
已知函数()ππ2sin sin 1cos 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫
=-+-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的最大值和最小值；
（3）荐()()65g x f x =-
在区间π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恰有两个零点()1212,x x x x <，求()12sin x x -的值.22.（本小题满分12分）
已知()()()1e ,2e 2e 1
x
x
ax
m x
x f x g x m -==⋅--，且()g x 为偶函数.（1）求实数a 的值；
（2）若方程()()f x g x =有且只有一个实数解，求实数m 的取值范围.
名校联考联合体2023年秋季高一年级期未考试
数学参考答案
一､二､选择题：1~8题为单项选择题，每小题5分，共40分；9~12题为多项选择题，每小题5分，共20分，每题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得
1.D 【解析】{}
{}{}02,0,1.0,1M x
x S M S ==∴⋂=∣ .2.D
【解析】由题意得
()f x 6π 向右平移个单位长度22sin 32sin 36663y f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦4.B 【解析】由题意得，π
π5π
log 0.10,00.11,tan
πtan 1124
><<=<.5.A 【解析】由题意得()()244e e
x x
x x x x f x -
-==，当0x <时，()0f x >，排除D ；当4x >时，()0f x >，排除C ；取特殊值()10
60
10e f =，排除B ，故选A .6.A
【解析】直线3y x =在第一象限和第三象限，由三角函数的定义，分别取点()()1,3,1,3--可得
sin 10
α=±
.7.C 【解析】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，()()()1,1.51,1.25 1.125,1.25→→时的区间长度为1.125 1.250.1250.1-=>，故没有达到精确的要求，应该接着计算()1.125 1.25 1.18752f f +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的
值.8.A
【解析】由题意得，函数()f x 的增区间为()π
π2π2π4k x k k ω-+-
∈Z ，解得()3ππ2π2π44k k x k ωω
-++∈Z .显然()3ππ2π2ππ3π44,,34k k k ωω⎛⎫
-++ ⎪⎛⎫⊆∈ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎝⎭
Z .于是
3
π2ππ
4,3
π2π
3π4,
4k k ωω
⎧-+⎪⎪⎪⎨
⎪+⎪⎪⎩ 解得()9186433k k k ω-++∈Z .又0ω>，于是103ω< .9.AD 【解析】显然如果0a b >>，那么2211
a b
<，选项B 错误；若15,23a b -<<<<，则32b -<-<-，
于是43a b -<-<，选项C 错误.
11.ABC 【解析】由基本不等式得，2
12a b ab +⎛⎫
= ⎪⎝⎭ ，当且仅当a b =时等号成立.故选项A 正确；
2,2a b b a +=∴=- ，且02a <<，则()22122,40,44a b a --⎛⎫
=∈⊆ ⎪⎝⎭，故选项B
正确；
224a b +== ，当且仅当a b =时等号成立，故选项C 正确；
(
)1111111222222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ ，当且仅当a b =时等号成立，故选项D 错误.12.ACD
【解析】由题意得，
14ππ2π1332T
T ω-=⇒=⇒=，又由π3f A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，可得()ππ2π2π33k k k ϕϕ+=⇒=-+∈Z ，又π2πϕ<<，所以()5π5π,01cos 1233f A A ϕ⎛⎫
==⇒=⇒= ⎪⎝⎭
，故选项A 正确；
若12ωω=，则()()π5π3π5π2sin 2sin 2cos 6323g x x x x f x ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+
=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，故选项B 错误；若()()2ππ2,2sin 2,2sin 2266g x x g x a x a ω⎛
⎫⎛⎫==+
-=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
为偶函数，则()ππ2π62a k k -=-∈Z ，即()ππ
62
k a k =-
+∈Z ，故选项C 正确；令2π6t x ω=+
，则2ππ,π66t ω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，即sin y t =在2π
π,π6
6ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有两个零点，
22π11172ππ3π,666ωω⎛⎤
<+⇒∈ ⎥⎝⎦
，故选项D 正确.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.tan α-【解析】原式tan α=-.
14.3π6-【解析】由图得，OAB 为等腰直角三角形，2
1π3π22
S r =
⨯⨯=扇形，得1
3π3π62
OAB r S S ==-=-⨯- 弧田扇形.
15.4【解析】函数8log cos y x x =-的零点个数转化为8log y x =与cos y x =两个函数图象的交点个数，利用数形结合可得，
两个函数图象有四个交点，所以函数8log cos y x x =-有4个零点.
16.1,2∞⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭【解析】())142ln ln 21e x f x x ⎛⎫==-
⎪ ⎪⎝⎭
，令())
ln
2g x x =，
显然可得()g x 为奇函数，且在R 上单调递
增.()()()()()()()1312013103111f a f a g a g a g a g a g a ++++>⇔+++>⇔+>-+=--，于是
1
3112
a a a +>--⇒>-
.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】由1264x 可得06x ，
（1）若{}
04A B x
x ⋂=∣ ，则224m +=，且10m - ，解得1m =.（2）因为“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，所以B ⫋A .
所以有①10,
226,m m -<⎧⎨+>⎩
解得2;
m >②当10m -=时，即1m =时，224m +=，不符合题意；③当226m +=时，即2m =时，11m -=-，符合题意.综上可知2m .
18.【解析】（1）由题意可知，-1和3是方程2230ax ax --=的两根，所以()2
(1)2130a a ⋅--⋅--=，解得1a =.
（2）由题可得2231ax ax x --<-，即()2
2120ax a x -+-<对一切实数x 恒成立，
当0a =时，不等式化为20x --<，不符合题意；
当0a ≠时，有2
0,Δ(21)80,a a a <⎧⎨
=++<⎩
解得322322
22a ---+<<，综上可知，实数a
的取值范围为
3322
a ---+<<
.19.【解析】（1）由
2cos sin 2sin cos αααα-=-，可得2tan 2tan 1αα-=-，解得4tan 3
α=.
（2）法一：2222422sin cos 2tan 24
3
sin22sin cos sin cos tan 125413ααααααααα⨯==
===
++⎛⎫+ ⎪⎝⎭
.
法二：由22sin 4,cos 3sin cos 1,αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩且sin 0,cos 0αα>>，解得4sin ,5
3cos ,5αα⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
所以24
sin22sin cos 25
ααα==
.（3）()()()tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβααβα
+-⎡⎤=+-=
⎣⎦++⋅，
因为(
)cos 5
αβ+=-
，所以()
sin 5αβ+==±，
又因为,αβ均为锐角，所以0παβ<+<
，而()cos 05
αβ+=-
<，所以
ππ2αβ<+<
，故()sin 5
αβ+=，所以()tan 2αβ+=-，
所以()()()()42tan tan 3
tan tan 24
1tan tan 123
αβαβαβααβα
--
+-⎡⎤=+-=
=
=⎣⎦++⋅+-⨯
.
20.【解析】（1）由3012700
1.3log lg 2100
x =
-解得，0lg 0.2x =，所以15010x =.
（2）设乙鲑鱼耗氧量偏差为0x ，乙鲑鱼的耗氧量为2x ，则甲鲑鱼耗氧量偏差为010x ，甲鲑鱼的耗氧量为1x ，
因为甲､乙两条鲑鱼游速相同，所以有12303011
log lg10log lg 21002100
x x x x -=-，化简得，12303011
log lg10lg log lg ,
21002100x x x x --=-即123311
log log 1,21002100
x x -=即13
2log 2x x =，所以12
9x
x =.所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍.
21.【解析】()ππ2sin sin 1cos 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫
=-+-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22cos 1cos x x x =-+
cos2x x =+
12cos2sin222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ππ2sin cos2cos sin266x x ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭π2sin 26x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（1）由
ππ32π2π2π,262k x k k +++∈Z ，可得π2
πππ,63
k x k k ++∈Z ，即()f x 的单调递减区间为π2π,ππ,63k k k ⎡⎤
++∈⎢⎥⎣⎦
Z .
（2）因为π02x
，所以ππ7
2π666
x + ，所以1
πsin 212
6x ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭ ，所以π12sin 226x ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭ ，当ππ262x +
=时，即π
6x =时，()max []2f x =，当π7π266x +=时，即π
2
x =时，()min []1f x =-.
（3）由题意可得，()()126
5
f x f x ==.
即12ππ62sin 22sin 2665x x ⎛⎫⎛⎫+
=+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，所以12ππ3sin 2sin 2665
x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以12ππ22π66x x +++=，即可得12π3
x x +=，所以()12111ππsin sin sin 233x x x x x ⎡
⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，因为1π3sin 265x ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，可设1π26x t +=，则13πsin ,256
t x t ==-，所以()121ππππsin sin 2sin sin cos 3632x x x t t t ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-=-
=--=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为3sin 5t =，且1ππ20,62x t ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5t =，所以()124sin cos 5x x t -=-=-
.22.【解析】（1）由()e e 1
x
ax x g x =-，可知0a ≠，又()g x 为偶函数，所以有()()11g g =-，即1
e e e 1e 1
a a ---=--，化简得1e e e 11e a a --=--，即1
e e ,e 1e 1
a a a -=--所以1e e a -=，得2a =.
经检验，当2a =时，()()g x g x =-对任意0x ≠成立，即满足()g x 为偶函数.故所求a 的值为2.
（2）由（1）可知()2e e 1x x x g x =-，即方程()21e 2e 2e 1
x
x x m x x m -=⋅--有且只有一个实数解，显然0x ≠，所以上述方程可化为21e 2e 2e 1
x
x x m m -=⋅--，即方程()21e 2e 10x x m m +-+-=有且只有一个实数解，
令e (0x t t =>且1)t ≠，
则关于t 的方程()21210m t t m +-+-=有且只有一个不为1和1m
的正根，()()2Δ441184m m m =-+-=-，
①当Δ0=时，m =.
（i
）若m =
，则方程化为
)21210t t +-+-=，
此时方程的解为t =，符合题意.（ii
）若m =
，则方程化为(
)21210t t +--=，
此时方程的解为t =.②当Δ0>时，需满足12Δ0,0,t t >⎧⎨<⎩即2840,10,1
m m m ⎧->⎪⎨-<⎪+⎩
解得1111m m m ⎧<<⎪⇒-<<⎨-<<⎪⎩.当1t =时，即1为方程()2
1210m t t m +-+-=的解时，1m =.当1t m
=时()2,(1)10,1m m m -+==±.所以当方程有两根，有且只有一个不为1和1m 的正根时，11m -<<.。