2012中考数学大题--二次函数(含答案)

2012中考数学大题之--二次函数1．（2012•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．
2．（2012•台州）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：
时间t（秒）0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 …
行驶距离s（米）0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 …
（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；
（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；
（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？
②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义．
3．（2012•绥化）如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
4．（2012•深圳）如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？
5．（2012•绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．
6．（2012•山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
7．（2012•泉州）如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q．
（1）求h的值；
（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；
（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．
8．（2012•青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：
（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
9．（2012•黔东南州）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
10．（2012•攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．
（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P 点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．
11．（2012•南通）如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，
O为坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，
若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．
12．（2012•南昌）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
13．（2012•绵阳）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c
的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N．
①若直线l⊥BD，如图1，试求的值；
②若l为满足条件的任意直线．如图2．①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．
14．（2012•娄底）已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．
15．（2012•聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
答案与评分标准
1.解：（1）∵正方形OABC的边长为2，
∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）令y=0，则﹣x2+x+2=0，
整理得，x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0）（3，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
2．解：（1）描点图所示：（画图基本准确均给分）；
（2）由散点图可知该函数为二次函数
设二次函数的解析式为：s=at2+bt+c，
∵抛物线经过点（0，0），
∴c=0，
又由点（0.2，2.8），（1，10）可得：
解得：a=﹣5，b=15；
∴二次函数的解析式为：s=﹣5t2+15t；
经检验，其余个点均在s=﹣5t2+15t上．
（3）①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离，
当t=﹣时，滑行距离最大，S=，
即刹车后汽车行驶了米才停止．
②∵s=﹣5t2+15t，∴s1=﹣5t12+15t1，s2=﹣5t22+15t2∴=﹣5t1+15；
同理=﹣5t2+15，
∴t1＜t2，
∴＞，
其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速度小于刹车后到t1时间内的平均速度．3.
解：（1）由已知条件得
解得，
所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；
（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP=×4h=4，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，
解得x=﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2，4），
②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，
解得x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2，
所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4），
综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）．4．解：（1）设函数解析式为：y=ax2+bx+c，
由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），
可得，
解得：，
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；
（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
由题意得：，
解得：，
即直线BC的解析式为y=﹣2x+2．
故可得点E的坐标为（0，2），
从而可得：AE==2，CE==2，
故可得出AE=CE；
（3）相似．理由如下：
设直线AD的解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
即直线AD的解析式为y=x+4．
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，
解得：，
即点F的坐标为（﹣，），
则BF==，AF==，又∵AB=5，BC==3，
∴=，=，
∴=，
又∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA．
故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．
5．解：（1）由抛物线y=x2﹣4x﹣2知：当x=0时，y=﹣2，
∴A（0，﹣2）．
由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同；
当y=﹣2时，﹣2=x2﹣4x﹣2，解得x1=0，x2=4，
∴B（4，﹣2），
∴AB=4．
（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t，
Q点移动路程为7（t﹣1）=7t﹣7．
当Q点在OA上时，即0≤7t﹣t＜2，1≤t＜时，
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC．
∴=，即，
∴t=．
∵＞，
∴此时t值不合题意．
当Q点在OC上时，即2≤7t﹣7＜6，≤t＜时，
如图2，过Q点作QD⊥AB．
∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9．
∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t．
若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴，即=，∴t=，
∵＜＜，
∴t=符合题意．
当Q点在BC上时，即6≤7t﹣7≤8，≤t≤时，
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，
则QG⊥PG，即∠GQP=90°．
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直．
综上所述，当t=时，有PQ⊥AC．
②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，
∴=，
∴=，
解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC．
此时AP=2，BQ=CQ=1，
∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）．
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H1为对称轴与OP的交点时，
有∠H1OQ=∠POQ，
∴当y H＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ．
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，
过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1．
∴OQ=，
∵S△OPQ=S四边形ABCD﹣S△AOP﹣S△COQ﹣S△QBP=3=OQ×PM，∴PM=，
∴PP′=2PM=，
∵NPP′=∠COQ．
∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′
∴，
∴P′N=，PN=，
∴P′（，），
∴直线OP′的解析式为y=x，
∴OP′与NP的交点H2（2，）．
∴当y H＞时，∠HOP＞∠POQ．
综上所述，当y H＜﹣2或y H＞时，∠HOQ＞∠POQ．
6．解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．
∵点A在点B的左侧，
∴A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．
当x=0时，y=3．
∴C点的坐标为（0，3）
设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2）抛物线上有三个这样的点Q，
①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）．
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC与点M，
则点M为所求，
过点B′作B′E⊥x轴于点E．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2．
∴Rt△AOC∽Rt△AFB，
∴，
由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，∴AC=，AB=4．
∴，∴BF=，∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，
∴，
∴，即．
∴B′E=，BE=，∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B′点的坐标为（﹣，）．
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．
∴，
解得，
∴直线B'D的解析式为：y=x+，
联立B'D与AC的直线解析式可得：，
解得，∴M点的坐标为（，）．
7．
解：（1）∵抛物线y=x2+h经过点C（0，1），
∴+h=1，解得h=1．
（2）依题意，设抛物线y=x2+1上的点，P（a，a2+1）、Q（b，b2+1）（a＜0＜b）过点A的直线l：y=kx+2经过点P、Q，
∴a2+1=ak+2…①
b2+1=bk+2…②
①×b﹣②×a得：（a2b﹣b2a）+b﹣a=2（b﹣a），
化简得：b=﹣；
∴S△POQ=OA•|x Q﹣x P|=•OA•|﹣﹣a|=（﹣）+（﹣a）≥2•=4 由上式知：当﹣=﹣a，即|a|=|b|（P、Q关于y轴对称）时，△POQ的面积最小；
即PQ∥x轴时，△POQ的面积最小，且POQ的面积最小为4．
（3）连接BQ，若l与x轴不平行（如图），即PQ与x轴不平行，
依题意，设抛物线y=x2+1上的点，P（a，a2+1）、Q（b，b2+1）（a＜0＜b）
直线BC：y=k1x+1过点P，
∴a2+1=ak1+1，得k1=﹣a，
即y=ax+1．
令y=0得：x B=﹣，
同理，由（2）得：b=﹣
∴点B与Q的横坐标相同，∴BQ∥y轴，即BQ∥OA，
又∵AQ与OB不平行，
∴四边形AOBQ是梯形，
据抛物线的对称性可得（a＞0＞b）结论相同．
故在直线l旋转的过程中：当l与x轴不平行时，四边形AOBQ是梯形；当l与x轴平行时，四边形AOBQ是正方形．
8．解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b，
图象过点（10，300），（12，240），
，
解得，∴y=﹣30x+600，
当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，
即点（14，180），（16，120）均在函数y=﹣30x+600图象上．
∴y与x之间的函数关系式为y=﹣30x+600；
（2）w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600，
即w与x之间的函数关系式为w=﹣30x2+780x﹣3600；
（3）由题意得：6（﹣30x+600）≤900，
解得x≥15．
w=﹣30x2+780x﹣3600图象对称轴为：x=﹣=13．
∵a=﹣30＜0，
∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，
∴当x=15时，w最大=1350，
即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．
9．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，解得；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故N=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，
∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．
10．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD﹣OD=2，即：
A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：
2×（﹣3）a=4，a=﹣；∴抛物线：y=﹣x2+x+4．
（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣；
由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则：
，
解得：，；
由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5．
（3）∵S△APE=AE•h，
∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大；
若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；
设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，
﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；
求得：b=，即直线L：y=﹣x+；
可得点P（，）．
由（2）得：E（5，﹣），则直线PE：y=﹣x+9；
则点F（，0），AF=OA+OF=；
∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．
综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．
11．
解：（1）将A（0，﹣4）、B（﹣2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：
，
解得：
∴抛物线的解析式：y=x2﹣x﹣4．
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=（x+m）2﹣（x+m）﹣4+，即：y=x2+（m﹣1）x+m2﹣m﹣；
它的顶点坐标P：（1﹣m，﹣1）；
由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；
那么直线AB：y=﹣2x﹣4；直线AC：y=x﹣4；
当点P在直线AB上时，﹣2（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=；
当点P在直线AC上时，（1﹣m）﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；
∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜；
又∵m＞0，
∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜．
（3）由A（0，﹣4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠NBA=∠OMB；
如图，在△ABN、△AM1B中，
∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，
∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；
易得：AB2=（﹣2）2+42=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2；
∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1﹣OA=10﹣4=6；
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，
∴OM1=OM2=6，AM2=OM2﹣OA=6﹣4=2．
综上，AM的长为10或2．
12．解：（1）抛物线y=x2﹣4x+3中，a=1、b=﹣4、c=3；
∴﹣=﹣=2，==﹣1；
∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）．
（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2或定点的横坐标为2，
都经过A（1，0），B（3，0）两点；
②线段EF的长度不会发生变化．
∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，
∴kx2﹣4kx+3k=8k，
∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8，
解得：x1=﹣1，x2=5，∴EF=x2﹣x1=6，
∴线段EF的长度不会发生变化．
13．
解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象经过点B（﹣3，0），M（0，﹣1），
∴，
解得a=，c=﹣1．
∴二次函数的解析式为：y=x2+x﹣1．
（2）由二次函数的解析式为：y=x2+x﹣1，
令y=0，得x2+x﹣1=0，
解得x1=﹣3，x2=2，∴C（2，0），∴BC=5；
令x=0，得y=﹣1，∴M（0，﹣1），OM=1．
又AM=BC，∴OA=AM﹣OM=4，∴A（0，4）．
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则y D=x2+x﹣1=OA=4，
解得x1=5，x2=﹣6（位于第二象限，舍去）
∴D点坐标为（5，4）．∴AD=BC=5，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．
设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（﹣3，0），D（5，4），
∴，
解得：k=，b=，
∴直线BD解析式为：y=x+．
（3）在Rt△AOB中，AB==5，又AD=BC=5，∴▱ABCD是菱形．
①若直线l⊥BD，如图1所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴AC∥直线l，
∴，
∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10，
∴==；
②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴△PAD∽△DCQ，
∴，
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25．∴
=
=
=
=
==．
14．解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0 ①，则有：
x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m．
∴===，
化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1．
当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；
当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意．∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．
（2）假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形．
如图所示，连接PA、PB、AC、BC，过点P作PD⊥x轴于D点．
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2），∴OB=1，OC=2．
∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC，
∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB．
在Rt△PAD与Rt△CBO中，
∵，
∴Rt△PAD≌Rt△CBO，
∴PD=OC=2，即y P=2，
∴直线解析式为y=x+3，
∴x P=﹣1，∴P（﹣1，2）．
所以在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）．
15．解：（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）
=﹣2x2+136x﹣1800，
∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800；
（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，
解这个方程得x1=25，x2=43
所以，销售单价定为25元或43元，
将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512，
因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；
（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，
当25≤x≤43时z≥350，
又由限价32元，得25≤x≤32，
根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，
∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），
因此，所求每月最低制造成本为648万元．。