2020版江苏高考数学一轮复习教程：随堂巩固训练56含参考解析

随堂巩固训练(56)
1. 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b)，则实数x ＝ 9 .
解析：由题意得a －b ＝(1－x ，4).因为a ⊥(a －b)，所以(1－x ，4)·(1，2)＝0，即1－x ＋8＝0，解得x ＝9.
2. 已知点A(1，－2)，若AB →与a ＝(2，3)同向，且|AB →
|＝213，则点B 的坐标为 (5，4) . 解析：设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x －1，y ＋2).因为AB →与a 同向，所以可设AB →
＝λa(λ>0)，
即(x －1，y ＋2)＝λ(2，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ，y ＋2＝3λ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ＋1，y ＝3λ－2.
又因为|AB →|＝213，所以(x －1)2＋(y ＋2)2
＝(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或λ＝－2(舍去)，所以x ＝5，y ＝4，所以点B 的坐标为(5，4).
3. 已知点A(1，0)，B(0，2)，C(－1，－2)，则以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为 (0，－4)或(2，4)或(－2，0) .
解析：
设顶点D 的坐标为(x ，y)，如下图所示.①若平行四边形为ABCD 1，则AB
→
＝D 1C →.因为AB →＝(－1，2)，D 1C →
＝(－1－x ，－2－y)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－1－x ，2＝－2－y ，解
得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4，
即点D 1(0，－4)；②若平行四边形为AD 2BC ，则AD 2→＝CB →.因为AD 2
→
＝(x －1，y)，CB →
＝(1，4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝1，y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，即点D 2(2，4)；③若平行四边形为ABD 3C ，
则AC →＝BD 3→.因为AC →＝(－2，－2)，BD 3→＝(x ，y －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y －2＝－2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0，即点D 3(－2，
0).综上，点D 的坐标为(0，－4)或(2，4)或(－2，0).
4. 已知e 1与e 2是两个不共线的向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝2e 1－5e 2，CD →
＝λe 1－e 2.若A ，B ，D 三点共线，则λ＝ 8 Ｗ.
解析：由题意得BD →＝CD →－CB →
＝λe 1－e 2－(2e 1－5e 2)＝(λ－2)e 1＋4e 2.因为A ，B ，D 三点共线，
所以存在实数k ，使得AB →＝kBD →
，所以3e 1＋2e 2＝k [(λ－2)e 1＋4e 2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧k （λ－2）＝3，4k ＝2，解得⎩⎪
⎨⎪⎧k ＝1
2，λ＝8.
5. 已知D 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BC →－CA →)·(BD →－AD →
)＝0，则△ABC 的形状是 等腰三角形 .
解析：(BC →－CA →)·(BD →－AD →)＝(BC →－CA →)·BA →＝0，所以BC →·BA →＝CA →·BA →
，所以a cos B ＝b cos A ，利用余弦定理化简得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形.
6. 已知平面向量a ＝(2m ＋1，3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b|＝ 22 .
解析：因为a 与b 反向，所以a 与b 共线，所以m (2m ＋1)－2×3＝0，解得m ＝－2或m ＝3
2.
当m ＝－2时，a ＝(－3，3)，b ＝(2，－2)，a 与b 反向，此时|b|＝22；当m ＝3
2时，a ＝(4，3)，b
＝⎝⎛⎭
⎫2，3
2，a 与b 同向，不合题意. 7. 设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →
＝(－b ，0)(其中a>0，b>0)，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则ab 的最大值是 1
8
.
解析：AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，BC →＝OC →－OB →
＝(－b －a ，1).因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥BC →
，所以a －1＝－b －a ，即2a ＋b ＝1.因为a>0，b>0，所以1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤18，
当且仅当2a ＝b ，即a ＝14，b ＝12时等号成立，故ab 的最大值为1
8
.
8. 在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，S 为△ABC 的面积.若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，且满足p ∥q ，则C ＝ π
3
.
解析：由p ∥q 得4S ＝3(a 2＋b 2－c 2)，则
S ＝34(a 2
＋b 2－c 2
).由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab
，
所以S ＝
34×2ab cos C .又S ＝12ab sin C ，所以34×2ab cos C ＝1
2
ab sin C ，所以tan C ＝ 3.又C ∈(0，π)，所以C ＝π
3
.
9. 设OA →＝(2，5)，OB →＝(3，1)，OC →
＝(6，3)，在线段OC 上存在点M ，使MA ⊥MB ，则点M 的坐标为 (2，1)或⎝⎛⎭⎫
225，115 .
解析：设OM →＝tOC →，t ∈[0，1]，则OM →＝(6t ，3t)，即点M 的坐标为(6t ，3t).因为MA →＝OA →－OM →
＝(2－6t ，5－3t)，MB →＝OB →－OM →＝(3－6t ，1－3t).因为MA ⊥MB ，所以MA →·MB →
＝(2－6t ，5－3t)·(3－6t ，1－3t)＝0，即45t 2－48t ＋11＝0，解得t ＝13或t ＝11
15
，故点M 的坐标为(2，1)或⎝⎛⎭⎫225，115. 10. 已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(0，3)，且点P 在线段AB 上，AP →
＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →
的最大值为 9 .
解析：OA →·OP →＝OA →·(OA →＋AP →)＝OA →·(OA →＋tAB →)＝OA →·[OA →＋t(OB →－OA →)]＝(1－t)·|OA →
|2－tOA →·OB →＝9(1－t).因为0≤t ≤1，所以OA →·OP →
的最大值为9.
11. 已知a ＝(1，2sin θ)，b ＝⎝⎛⎭
⎫sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，1. (1) 若a ⊥b ，且θ∈R ，求tan θ的值；
(2) 若a ∥b ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，求θ的值. 解析：(1) 因为a ⊥b ，
所以a·b ＝0，所以2sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
3＝0， 即52sin θ＋3
2
cos θ＝0. 若cos θ＝0，则显然不合题意，所以cos θ≠0，所以tan θ＝－35
. (2) 由a ∥b ，得2sin θsin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
3＝1， 即12(1－cos2θ)＋3
2sin2θ＝1，整理得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π6＝12. 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2θ－π
6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6， 所以2θ－π6＝π6，即θ＝π
6
.
12. 在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE →＝mAB →，AF →＝nAC →
，其中m ，n ∈(0，1).设EF 的中点为M ，BC 的中点为N. (1) 若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ；
(2) 若m ＋n ＝1，求|MN →
|的最小值.
解析：(1) 由A ，M ，N 三点共线，得AM →∥AN →
， 设AM →＝λAN →
(λ∈(0，1))，即12(AE →＋AF →)＝12λ(AB →＋AC →)，
故mAB →＋nAC →＝λ(AB →＋AC →
)，从而m ＝n.
(2) 因为MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－12(AE →＋AF →)＝12(1－m)AB →＋12(1－n)AC →
，m ＋n ＝1，
所以MN →＝12(1－m)AB →＋12
mAC →
，
所以|MN →|2＝14(1－m)2|AB →|2＋14m 2|AC →|2＋12m(1－m)AB →·AC →
＝14(1－m)2＋14m 2＋1
4m(1－m) ＝14⎝⎛
⎭⎫m －122＋316，m ∈(0，1)， 故当m ＝12时，|MN →
|min ＝34
.
13. 已知|a|＝10，||b ＝5，a·b ＝－5，c ＝x a ＋(1－x )b.
(1) 当b ⊥c 时，求实数x 的值；
(2) 当|c|取最小值时，求向量a 与c 的夹角的余弦值. 解析：(1) 因为b ⊥c ，
所以b·c ＝b·[x a ＋(1－x )b]＝x b·a ＋(1－x )·b 2＝－5x ＋5(1－x )＝0，解得x ＝1
2
.
(2) 因为c 2＝[x a ＋(1－x )b]2＝x 2a 2＋2x (1－x ) a·b ＋(1－x )2b 2＝10x 2－10x (1－x )＋5(x －1)2＝25x 2
－20x ＋5＝25⎝⎛⎭
⎫x －2
52
＋1， 所以当x ＝2
5时，c 2取得最小值为1，
即当|c|取得最小值1时，c ＝25a ＋3
5
b ，
所以a·c ＝a·⎝⎛⎭⎫25a ＋35b ＝25a 2＋35a·b ＝25×10＋3
5×(－5)＝1. 设向量a ，c 的夹角为θ， 则cos θ＝a·c |a||c|＝110×1＝10
10.。