高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3幂函数课堂探究新人教B版必修1

3.3 幂函数
课堂探究
探究一幂函数概念
1．幂函数判断方法
(1)幂函数同指数函数、对数函数一样，也是根本初等函数，同样也是一种“形式定义〞函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)函数才是幂函数．
(2)如果函数以根式形式给出，那么要注意对根式进展化简整理，再对照幂函数定义进展判断．
2．待定系数法求幂函数解析式方法
假设待求函数是幂函数，那么可根据待定系数法，设函数为f(x)＝xα，根据条件求出α.
【典型例题1】 (1)点M在幂函数f(x)图象上，那么f(x)解析式为( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x－2 C．f(x)＝
1
2
x D．f(x)＝
1
2
x
(2)以下函数中是幂函数为__________．
①y＝
1
3
x；②y＝2x2；③y＝
2
3
x；
④y＝x2＋x；⑤y＝－x3.
解析：(1)设幂函数解析式为y＝xα，那么3＝，
∴α＝－2.∴y＝x－2.
(2)①③底数是变量，指数是常数，且系数为1，因此①③是幂函数；②中x2系数为2，因此不是幂函数；④是由幂函数复合而成函数，因此不是幂函数；⑤不符合幂函数中xα前系数为1，因此不是幂函数．
答案：(1)B (2)①③
探究二比拟大小
比拟幂形式两个数大小常用方法：
1．假设能化为同指数，那么用幂函数单调性．
2．假设能化为同底数，那么用指数函数单调性．
3．假设既不能化为同指数，也不能化为同底数，那么需寻找一个恰当数作为中间值来比拟大小．
【典型例题2】比拟以下各组数大小：
(1)
1
2
1.5，
1
2
1.7.. (2)(－1.2)3，(－1.25)3.
－1,－1,－2. 3,3，log
30.5.
思路分析：(1)借助函数y＝
1
2
x；(2)借助函数y＝x3；(3)借助函数y x和y＝x－1；(4)
利用中间值法．
解：(1)∵y＝
1
2
x在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，
∴
1
2
1.5<
1
2
1.7.
(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，
∴(－1.2)3>(－1.25)3.
(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，
－1－1.
∵y x在R上是增函数，－1>－2.
－1－2.
－1－1－2.
3<1,3>1，log
30.5<0，
∴log33<3.
探究三幂函数图象
画图象时，一般先画第一象限内图象，再结合函数性质补全图象，幂函数图象与幂指数间有如下规律：
1．指数大于1，在第一象限图象，类似于y＝x2图象；
2．指数等于1，在第一象限为上升射线；
3．指数大于0小于1，在第一象限图象，类似于y图象；
4．指数等于0，在第一象限为水平射线；
5．指数小于0，在第一象限类似于y＝x－1图象．
【典型例题3】如图是幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内图象，那么( )
A．n<0，m>1 B．n<0<m<1 C．m>n>1 D．n>m>1
解析：由幂函数图象及性质可知，在第一象限内，假设幂指数大于零，那么函数为增函数；假设幂指数小于零，那么函数为减函数，故m>0，ny＝x m图象与直线y＝x比拟，得0<m<1.
答案：B
探究四幂函数性质综合应用
对于与幂函数有关综合性问题，一般涉及奇偶性与单调性问题，解决此类问题可分两步走：一是利用单调性来弄清指数正负，二是利用奇偶性来确定幂函数图象．【典型例题4】幂函数f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)解析式．
思路分析：先利用f(x)在(0，＋∞)上为减函数求出m范围，再用代入检验方法来验证是否为偶函数．
解：∵f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)是偶函数，
∴m2－m－2为偶数．
又∵f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，
∴m2－m－2<0，即－1<m<2.
∵m∈Z，∴m＝0或m＝1.
当m＝0时，m2－m－2＝－2，－2为偶数，
当m＝1时，m2－m－2＝－2，－2为偶数．
∴f(x)解析式为f(x)＝x－2.
点评此题要先充分利用函数为减函数性质，这正是此问题切入点，如果先选用偶函数这一性质，将不能准确快速地得出m值．
探究五易错辨析
易错点因把函数看成定义域上减函数而致误
【典型例题5】假设()1 3
1
a-+<
1
3
(32)a-
-，试求a取值范围．
错解：∵函数y＝
1
3
x-是减函数，
∴a＋1>3－2a.∴a>2
3
，
即a取值范围是.
错因分析：误认为y＝
1
3
x-是R上减函数，实质是y＝
1
3
x-在(－∞，0)和(0，＋∞)内
均是减函数，而没有整体定义域上为减函数性质．
正解：对于()1 3
1
a-+<
1
3
(32)a-
-，可分三种情况讨论．
①a＋1和3－2a都在(－∞，0)内，此时方程组无解；
②a＋1和3－2a都在(0，＋∞)内，解得2
3
<a<
3
2
；
③假设a＋1和3－2a不在同一单调区间内，那么有解得a<－1.
综上可知，a取值范围为∪(－∞，－1)．
点评通过此题，我们必须牢记常见幂函数主要性质和图象，并且还说明了函数单调性是针对某一确定区间而言，不能随便取并集．。