高中数学8.3双曲线及其标准方程教案新课标人教A版必修2

8．3双曲线及其标准方程
一、知识点
1、双曲线的定义
2、双曲线标准方程的推导
3、根据条件确定双曲线的标准方程
二、能力点
1、掌握双曲线的定义
2、理解双曲线标准方程的推导
3、能根据条件确定双曲线的标准方程
4、进一步掌握求曲线方程的方法，提高运用坐标法的自学性以及解决几何问题的能力。

三、德育渗透点
注意发挥类比的作用，与椭圆进行对照，着重对比椭圆与双曲线的相同点与不同点，理解并掌握它们之间的区别与联系。

四、学法指导
通过动手画双曲线的过程，揭示双曲线上的点所要满足的条件，掌握双曲线的本质特性，得出双曲线的定义，双曲线的定义十分重要，应深入理解。

双曲线的定义{M|||MF1|－|MF2||=2a,2a<|F1F2|}与椭圆类似，应类比找出共同点与不同点，权注意条件“2a<|F1F2|”，“如果2a＝F1F2|，则动点动点M的轨迹是以F1、F2为端点的射线”；“如果2a＞|F1F2|，则动点动点M的轨迹不存在“。

推导双曲线方程时，引入b(令b2＝c2－a2)目的是使方程形式简单，追求对称美，便于记忆。

椭圆与双曲线的标准方程的推导思路是一致的，注意类比。

五、重点与难点
重点：双曲线的定义及标准方程
难点：双曲线标准方程的推导
六、课时安排2课时
课题：8.3双曲线及其标准方程（一）
教学目标
1.掌握双曲线定义、标准方程及其求法；
2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系；
3.认识双曲线的变化规律.
教学重点双曲线的定义及标准方程
教学难点 双曲线标准方程的推导
教学过程
1、设置情境
我们已经知道，与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆，那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？
（用双曲线演示模板画出双曲线）下面我们给出双曲线的定义，并研究双曲线的方程.
2、探索研究
双曲线的定义：
（1）
绘图演示 （2）
分析原理 （3） 归纳定义（注意与椭圆比较）
我们把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线. 说明①常数小于21F F ；
②这两个定点叫做双曲线的焦点；
③这两焦点的距离叫双曲线的焦距.
双曲线的标准方程：
（1）双曲线的标准方程的推导
推导过程：参见课本p.105
如图8—12，建立直角坐标系xOy ，使
x 轴经过点F 1、F 2，并且点O 与线段F 1F 2
的中点重合.
设M （x ,y ）是双曲线上任意一点，双
曲线的焦距为2c (c >0)，那么，焦点F 1、
F 2的坐标分别是(－c ,0)、(c ,0).又设M
与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a . 由定义可知，双曲线就是集合
.2)()(2222a y c x y c x ±=+--++∴ ① 将方程①化简得(c 2－a 2)x 2－a 2y 2=a 2(c 2－a 2
).
由双曲线的定义可知，2c >2a ，即c >a ，所以c 2－a 2>0，令c 2－a 2=b 2，其中b >0，代入上式得
122
22=-b y a x (a >0,b >0). （2）双曲线的标准方程的形式
形式一：12222=-b
y a x （a >0,b >0） 说明：此方程表示焦点在x 轴上的双曲线.焦点是
F 1(－c ,0)、F 2(c ,0)，这里c 2=a 2+b 2. 形式二：12222=-b
x a y （a >0,b >0） 说明：此方程表示焦点在y 轴上的双曲线，焦点是F 1(0，－c )、F 2(0， c )，这里c 2=a 2+b 2.
3、反思应用
例1求适合下列条件的双曲线的标准方程
（1）
a=4, c=5, 焦点在x 轴上； （2）
焦点为（-5，0），（5，0），且b =3 （3）
a=4, 经过点)3/104,1(A ； （4） 焦点在y 轴上，且过点)5,4/9(),24,3(-
分析 根据已知条件求出双曲线的标准方程中的a, b 即可，注意标准方程的形式
例2（课本例） 已知双曲线两个焦点的坐标为F 1（－5，0）、F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：12222=-b
y a x (a >0,b >0). ∵2a =6,2c =10,
∴a =3,c =5.
∴b 2=52－32=16
所以所求双曲线的标准方程为
说明：例1、2目的在于让学生熟悉双曲线的定义与标准方程的形式.
例3、证明椭圆x 2/25＋y 2/19＝1与双曲线
x 2－15y 2
＝15的焦点相同。

分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可
例4、已知方程12322=-+-k k y x 表示焦点在y
轴上的双曲线，求k 的取值范围
随堂练习(课本P 107 2, 4)
⑴已知方程1122
2=+-+m y m x 表示双曲线，则实数m 的
取值范围是＿＿＿＿＿。

⑵求适合下列条件的双曲线的标准方程
①a=4,b=3，焦点在x 轴上；
②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)
③焦点在x 轴上，经过点)2,3
15(),3,2(--
4、归纳总结
数学思想方法：数形结合，待定系数法，分类讨论掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程.
5、课后作业
习题8.3 1、2、3
课题：8.3 双曲线及其标准方程（二）
教学目标
1.进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是用定义法和待定系数法；
2.了解双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用.
教学重点双曲线的定义及其标准方程
教学难点双曲线定义及其标准方程知识在实际中的应用
教学过程
1、复习回顾
（1）双曲线定义
（2）两种形式的标准方程
⑶根据下列条件，求双曲线的标准方程
①过点P(3,15/4),Q(－16/3,5)，且焦点在坐标轴上； ②,6=c 经过点(－5,2)，且焦点在x 轴上；
③与双曲线x 2/16－y 2
/4＝1有相同的焦点，且经过点)2,23(。

分析：①设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则 ⎩⎨⎧=+=+12525612259n m n m 解得⎩⎨⎧=-=9/116/1n m ∴所求方程为－x 2/16＋y 2
/9＝1
小结：“巧设”方程为“为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)”避免分两种情况进行讨论。

②∵,6=c 且焦点在x 轴上，∴设标准方程为x 2/m －y 2/(6－m)＝1（0＜m ＜6）
∵双曲线经过(－5,2)，∴25/m －4/(m －6)＝1，解得m ＝5或m ＝30（舍去）
∴所求方程为x 2/5－y 2＝1
③∵与双曲线x 2/16－y 2/4＝1有相同的焦点， ∴设所求双曲线的标准方程为
)160(14162
2<<=+--λλ
λy x ∵双曲线经过点)2,23(，1441618=+--∴
λ
λ，解得λ＝4或λ＝－1(舍去) ∴所求方程为x 2/12－y 2
/8＝1
小结：注意到了与双曲线 x 2/16－y 2/4＝1共焦点的双曲线系方程为)160(14162
2<<=+--λλλy x 后，便有了上述巧妙的设法。

⑷已知双曲线x 2/a 2－y 2/b 2
＝1（a>0,b>0）, 求过它的焦点且垂直于x 轴的弦长
分析：设双曲线的一个焦点为F （c,0），过F 且垂直于x 轴的弦为AB ，要求AB 的长，
只需确定弦的一个端点A 或B 的纵坐标即可
|AB|＝2a 2/c
变：双曲线x 2/4－y 2/12＝1上的点P 到左焦点的距离为6，这样的点有＿个。

⑸①一动圆P 过定点M （－4，0），且与已知圆N ：(x －4)2＋y 2＝16相切，求动圆圆心P 的轨迹。

分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若
能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来
内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PC|＝|PM|－4，外切时，有|PC|＝|PM|＋4，故点P的轨迹是双曲线x2/4－y2/12＝1。

②已知动圆P与定圆C1：(x＋5)2＋y2＝49,C2：(x－
5)2＋y2＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程
分析：外切有|PC1|＝7＋r, |PC2|＝1＋r，∴|PC1|－|PC2|＝6，
内切有|PC1|＝r－7, |PC2|＝r －1，∴|PC2|－|PC1|＝6
故点P的轨迹是双曲线x2/9－y2/16＝1
2、探索研究：
例（课本）一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？
（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.
解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间
差，可知A 、B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A 、B 为焦点的双曲线上.
因为爆炸点离A 处比离B 处更远，所以爆炸点应在靠近B 处的一支上.
（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy ，使A 、B 两点在x 轴上，并且点O 与线段AB 的中点重合. 设爆炸点P 的坐标为（x ,y ），则
,6802340=⨯=-PB PA 即2a =680,a =340. 又,800=AB ∴2c =800,c =400, b 2=c 2－a 2
=44400. ∵,0680>=-PB PA ∴x >0.
所求双曲线的方程为：
1444001156002
2=-y x (x >0). 说明：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？
如果再增设一个观测点C ，利用B 、C （或A 、C ）两
处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
如果A、B两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？
AB的中垂线。

4、归纳总结
数学思想方法：数形结合，待定系数法，分类讨论掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程.
5、课后作业习题8.3 4,5,6.。