2018年中考数学专题复习卷：二次函数(含解析)

二次函数
一、选择题
1.若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值必为（）
A. 1或－
1 B. 1
C. －
1 D. 0
2.对于抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）
A. 第一象限
B. 第二象
限 C. 第三象
限 D. 第四象限
3.把抛物线y＝- 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）
A. y＝-(x-1)2-3
B. y＝-(x＋
1)2-3 C. y＝-(x-1)2＋
3 D. y＝-(x＋1)2＋3
4.已知抛物线（，，为常数，）经过点. ，，其对称轴
在轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点；②方程有两个不相等的实数根；
③.，正确结论的个数为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（）
A. -1
B. 2
C. 0或
2 D. -1或2
6.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（）
A. B. C. D.
7.已知二次函数( 为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值
的最大值为-1,则的值为( )
A. 3或6
B. 1或
6 C. 1或
3 D. 4或6
8.已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（）
A．4 B．6 C．8 D．10
9.有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）
A. 2.76米
B. 6.76米
C. 6
米 D. 7米
10.已知抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是（）
A. t＞-5
B. -5＜t＜
3 C. 3＜
t≤4 D. -5＜t≤4
11.如图，已知二次函数图象与x轴交于A，B两点，对称轴为直线x=2，下列结论：①abc>0；②4a+b=0；③若点A坐标为(−1，0)，则线段AB=5；④若点M(x1， y1)、N(x2， y2)
在该函数图象上，且满足0<x1<1，2<x2<3，则y1<y2其中正确结论的序号为（）
A. ①，②
B. ②，
③ C. ③，
④ D. ②，④
12.如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以
以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别
从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象
大致是（）
A. B. C.
D.
二、填空题
13.抛物线y=2(x+2) +4的顶点坐标为________.
14.将二次函数的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是________．
15.已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的
值是________．
16.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若p、q(P是关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根且a则请用“<”来表示a、b、P、q的大小是________
17.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程
的解是________．
18.已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m ＞0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为________．
19.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为________cm．
20.如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），
过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，
则与之间的函数关系式为________．
三、解答题
21.已知：二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式．
22.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件．
（Ⅰ）求P与x的函数关系式；
（Ⅱ）若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；
（Ⅲ）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
23.如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）（x-9）经过A，B两点，四边形OABC矩形，已知点A坐标为（0，6）。

（1）求抛物线解析式；
（2）点E在线段AC上移动（不与C重合），过点E作EF⊥BE，交x轴于点F．请判断的值是否变化；若不变，求出它的值；若变化，请说明理由。

（3）在（2）的条件下，若E在直线AC上移动，当点E关于直线BF的对称点E在抛物线对称轴上时，请求出BE的长度。

24.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，以OA为直径的半圆，圆心为B，半径为1．过y轴上点C（0，2）作直线CD与⊙B相切于点E，交x轴于点D．二次函数y=ax2－2ax+c的图象过点C 和D交x轴另一点为F点．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）连接OE，如图2，求sin∠AOE的值；
（3）如图3，若直线CD与抛物线对称轴交于点Q，M是线段OC上一动点，过M作MN//CD交x轴于N，连接QM，QN，设CM=t，△QMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．S是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
答案解析
一、选择题
1.【答案】C
【解析】：∵二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点
∴a2－1=0且a-1≠0
解之：a=±1，a≠1
∴a=-1
故答案为：C【分析】根据二次函数的定义及二次函数的图像经过原点，得出a2－1=0且a-1≠0，即可求出a的值。

2.【答案】C
【解析】由题意得：a+(2a-1)+a-3>0，解得：a>1，
∴2a-1>0，
∴<0，，
∴抛物线的顶点在第三象限，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线y＝ax2＋(2a－1)x＋a－3，当x＝1时，y＞0，得出关于a不等式，求解得出a的取值范围，然后根据抛物线的顶点坐标公式判断出抛物线顶点横纵坐标的正负，即可得出答案。

3.【答案】D
【解析】：∵抛物线y＝- x 2 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝-(x＋1)2＋3
故答案为：D
【分析】根据二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（x±n）2±m。

根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。

4.【答案】C
【解析】抛物线（，，为常数，）经过点，其对称轴在轴
右侧，故抛物线不能经过点，因此①错误；
抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右
侧，可知抛物线开口向下，与直线y=2有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
∵对称轴在轴右侧，
∴>0
∵a<0
∴b>0
∵经过点，
∴a-b+c=0
∵经过点，
∴c=3
∴a-b=-3
∴b=a+3，a=b-3
∴-3<a<0，0<b<3
∴-3<a+b<3.故③正确.
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的对称性由抛物线 y = a x 2 + b x + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）经过点 ( − 1 , 0 ) ，其对称轴在 y 轴右侧，故抛物线不能经过点 ( 1 , 0 ) ；根据抛物线与坐标轴的交点，及对称轴的位置在y轴的右边得出抛物线开口向下，与直线y=2有两个交点，因此方程 a x 2 + b x + c = 2 有两个不相等的实数根；由对称轴在y轴的右侧，及开口向下得出b>0，当x=-1时，a-b+c=0，由抛物线与y轴的交点得出c=3，从而得出b=a+3，a=b-3，故-3<a<0，0<b<3，根据不等式的性质得出-3<a+b<3.
5.【答案】D
【解析】当y=1时，有x2-2x+1=1，
解得：x1=0，x2=2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，
∴a=2或a=-1，
故答案为：D
【分析】把y=1代入抛物线的解析式得出对应的自变量的值，又当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，从而得出a=2或a+1=0，求解得出a的值。

6.【答案】C
【解析】：由二次函数开口向上可得：a＞0，对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则b＞0，
故反比例函数y= 图象分布在第一、三象限，
一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图像及性质，确定出a、b的取值范围，再根据反比例和一次函数的图像和性质，得出它们所经过的象限，即可得出正确选项。

7.【答案】B
【解析】如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故答案为：B．
【分析】根据当h＜2时，有-（2-h）2=-1，可求出h的值，再根据h的取值范围即y的最值，可得出符合题意的h的值；当h＞5时，有-（5-h）2=-1，解方程求出h的值，综上所述，可求得h的值。

8.【答案】A．
【解析】试题分析：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线
段y=0（1≤x≤3）有交点，∴，解得6≤c≤14，故答案为：A．【分析】根据图像过点
A可列出关于b，c的二元一次方程，根据对称轴与线段BC即与x轴交点的范围可列出关于b的不等式组，两者结合起来即可求得c的取值范围.
9.【答案】B
【解析】设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，代入解析式可得﹣4=a×102⇒a=﹣
故此抛物线的解析式为y=﹣x2．
因为桥下水面宽度不得小于18米
所以令x=9时
可得y=- =﹣3.24米
此时水深6+4﹣3.24=6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．
故答案为：B．
【分析】先根据建立的直角坐标系求得拱形桥抛物线的解析式，再求得桥下水面宽度为18米时，水位距拱顶的距离，从而求得正好通过时桥下的水深，即为所求答案.
10.【答案】D
【解析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=-5，
由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1<x<5的范围内有解，
直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴-5<t≤4．
故答案为：D【分析】根据题意可知，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，分别求出x=1、5时对应的函数值，利用图像法即可解决问题。

11.【答案】D
【解析】：∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵对称轴，∴b=－4a＞0．∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；
由①得：b=－4a，∴4a+b=0，故②正确；
若点A坐标为（−1，0），因为对称轴为x=2，∴B（5，0），∴AB=5+1=6．故③错误；
∵a＜0，∴横坐标到对称轴的距离越大，函数值越小．∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，∴，∴y1＜y2，故④正确．
故答案为：D．
【分析】（1）根据抛物线开口向下可得a＜0，对称轴在y轴的右侧，所以a、b异号，即b＞0，而抛物线与y轴交点在y轴正半轴，所以c＞0，所以abc＜0
（2）由图知对称轴x=2=-,整理得4a+b=0；
（3）因为A、B两点关于对称轴x=2对称，所以当点A坐标为（−1，0）时则B（5，0），所以AB=5+1=6；（4）由（1）知a＜0，所以横坐标到对称轴的距离越大，函数值越小．已知0<x1<1，2<x2<3，所以| x 1 − 2 | > | x 2 − 2 | ，即可得y1＜y2。

12.【答案】C
【解析】：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，
则△PBQ的面积S= PB•BQ= （3-t）×2t=-t2+3t，
故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．
故答案为：C．
【分析】由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，根据三角形的面积公式得出S与t的函数关系式，根据所得函数的类型即可作出判断。

二、填空题
13.【答案】（-2,4）
【解析】：抛物线y=2(x+2)+4的顶点坐标为：（-2,4）故答案为：（-2,4）
【分析】此抛物线的解析式为顶点式，可直接写出其顶点坐标。

14.【答案】
【解析】：∵二次函数的图像向上平移3个单位长度，∴+3=x2+2.
故答案为：.
【分析】根据平移的性质：上+下-，由此即可得出答案.
15.【答案】
【解析】：y=x2−2mx=(x−m)2−m2，
①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，
解得：m=−；
②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，
解得：m=<2(舍)；
③若−1⩽m⩽2,当x=m时,y=−m2=−2，
解得：m=或m=−<−1(舍)，
∴m的值为−或，
【分析】将二次函数化为顶点式，然后分①若m<−1，②若m>2，③若−1⩽m⩽2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质即可求解。

16.【答案】p<a<b<q
【解析】如下图，
关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根p、q(P<q)是二次函数y=-(x-a)(x-b)与直线y=-2的两个交点的横坐标，
∴由图可得p<a<b<q.
故答案为：p<a<b<q.
【分析】根据二次函数的图像和性质可得，若p、q是关于x的方程2-(x-a)(x-b)=0的两根，则相对应的二次函数y=2-(x-a)(x-b)与x轴有两个公共点，且已知a<0,根据条件可画出简易图像，然后从图像中比较大小即可。

17.【答案】，
【解析】：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1．
所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1
故答案为x1=-2，x2=1．
【分析】方程 a x 2 = b x + c 的解就是抛物线y=ax2与直线y=bx+c交点横坐标。

18.【答案】2
【解析】：如图，
∵B，C是线段AD的三等分点，
∴AC=BC=BD，
由题意得：AC=BD=m，
当y=0时，x2+2x﹣3=0，
（x﹣1）（x+3）=0，
x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=3+1=4，
∴AC=BC=2，
∴m=2，
故答案为：2．
【分析】根据B，C是线段AD的三等分点，得出AC=BC=BD，根据平移的性质得出AC=BD=m，由抛物线与坐标轴交点的坐标特点得出A,B两点的坐标，从而得出AB的长。

进而得出m的值。

19.【答案】24-8
【解析】如图，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，
由题意可得，AQ=12，PQ=MD=6，
∴AP=6，AG=36，
∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，
∴BQ=12−8=4，
∵BQ∥CG
∴BQ：CG=AQ：AG,即4：CG=12：36，
∴CG=12，OC=12+8=20，
∴C(20,0)，
∵水流所在抛物线经过点D(0,24)和B(12,24)，
∴设抛物线为y=ax2+bx+24，
把C(20,0),B(12,24)代入抛物线得
解之：
∴y=-x2+x+24
∵点E的纵坐标为10.2，
∴当y=10.2时,则10.2=−x2+x+24，
解之：x1=6+8，x2=6−82√(舍去)，
∴点E的横坐标为6+8，
又∵ON=30，
∴EH=30−(6+8)=24−8.
故答案为：24−8.
【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据平行线分线段成比例（BQ∥CG），求得点C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，求出抛物线的解析式，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标，根据ON的长，可求出EH的长。

20.【答案】
【解析】：∵DE⊥BC，垂足为E，
∴tan∠C= = ，CD=x，
∴DE= ，CE= ，
则BE=10－，
∴S= S△BED= （10－）•
化简得：．
故答案为： s．
【分析】根据锐角三角函数的定义，可得出,因此设CD=x，，可表示出DE、CE的长，就可求出BE的长，再利用三角形的面积公式，可得出s与x的函数解析式。

三、解答题
21.【答案】：由图象可知：抛物线的对称轴为x=1，设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+k
∵抛物线经过点（﹣1，0）和（0，﹣3）
∴解得，
∴抛物线的表达式为：y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3
【解析】【分析】设顶点式y=a（x﹣1）2+k，然后把图象上的两点坐标代入得到a与k的方程组，再解方程组即可．
22.【答案】解：（Ⅰ）设P=kx+b，
根据题意，得：，
解得：，
则P=﹣x+120；
（Ⅱ）y=（x﹣60）（﹣x+120）=﹣x2+180x﹣7200=﹣（x﹣90）2+900；
（Ⅲ）∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，
∴60≤x≤（1+50%）×60，即60≤x≤90，
又当x≤90时，y随x的增大而增大，
∴当x=90时，y取得最大值，最大值为900，
答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元．
【解析】【分析】（Ⅰ）抓住已知条件：销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件，利用待定系数法求出P与x的函数关系式即可。

（Ⅱ）根据商场获得利润y=每一件的利润×销售量P，可建立y与x的函数解析式。

（Ⅲ）将（Ⅱ）的二次函数解析式配方成顶点式，再根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，求出自变量x的取值范围，利用二次函数的性质，即可求解。

23.【答案】（1）将A（0，6）代入y=a（x+1）（x-9），得：
∴抛物线解析式为
（2）的值不变
如图10，过点E作DG⊥AB交AB于点D，交x轴于点G
∵四边形OABC为矩形，∴DG⊥OC，BD=GC
由BE⊥EF，易证△BDE∽△EGF，得：，即
由A（0，6），抛物线对称轴为直线，得B（8，6），即OC=6.
易知，
∴
（3）如图11，过点E′作PQ∥x，FP⊥PQ，CQ⊥PQ
易证△FPE′∽△BQE′
可知QE′=4，
∴FP=3
则CQ=3，BQ=9
∴BE=BE′=
【解析】【分析】（1）将A点的坐标代入y=a（x+1）（x-9），即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）如图10，过点E作DG⊥AB交AB于点D，交x轴于点G，根据矩形的性质由DG⊥AB得出DG⊥OC，BD=GC，然后证出△BDE∽△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出 BE∶EF = BD ∶EG ，即 BE ∶EF =GC∶EG,根据A点的坐标及对称轴得出B点的坐标，从而得出AB的长度，根据矩形的性质得出OC的长，根据锐角三角函数的关系得出GC∶ EG =CO∶AO = 8∶ 6 = 4 ∶3 ，从而得出答案；
（3）过点E′作PQ∥x，FP⊥PQ，CQ⊥PQ，易证△FPE′∽△BQE′可知QE′=4，根据相似三角形对应边成比例得出FP=3，根据矩形的性质及B点的坐标得出CQ=3，BQ=9，根据勾股定理得出BE′，根据对称性得出BE=BE′从而得出结论。

24.【答案】（1）证明：连接BE
∵CD与⊙B相切于点E
∴BE⊥CD
设点D的坐标为（x， 0），则BD=x－1
在△OCD和△EBD中，
∴△OCD∽△EBD
∴
即
∴CD=2x－2
在Rt△OCD中，
OC2+OD2=CD2
即22+x2=（2x－2）2
解得x1= ，x2=0（舍去）
即点D的坐标为（，0）
把C（0，2），D（，0）代入y=ax2－2ax+c中得:
函数解析式为：y= x2+ x+2（2）解：连接BE，CB，CB交OE于H
∵CD与⊙O相切于E，CO⊥OB于O，BO为⊙O半径
∴CO与⊙O相切于O
∴BC⊥OE于点H
∴∠OCH+∠COH=∠BOH+∠COH=90°，
∴∠BOH=∠COH
即∠AOE=∠OCB∴sin∠AOE= sin∠OCB=
在Rt△OCB中，∵OB=1，OC=2 由勾股定理得=
∴（3）存在，理由如下：
连接DM，据题意有CM=t，OC=2，OD= ，则OM=2-t
∵MN//CD∴∠ONM=∠ODC且S△QMN=S△DMN
∴tan∠ONM=tan∠ODC
∴∴ON= ∴
∵S=S△QMN=S△DMN= ∴S=
∵点M在OC上运动∴
∵S与t成二次函数关系，且< 0
∴当t=1时，S有最大值， [MISSING IMAGE: , ]
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得出BE⊥CD，设点D的坐标为（x， 0），则BD=x－1，然后证出△OCD∽△EBD，根据相似三角形对应边成比例得出OC∶EB=CD∶BD,即2∶1=CD∶x-1,从而得出
CD=2x－2 ，在Rt△OCD中，根据勾股定理列出关于x的方程，求解得出x的值，得出D点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）连接BE，CB，CB交OE于H，根据切线的判定定理判断出CO与⊙O相切于O，根据切线长定理得出BC⊥OE于点H，根据同角的余角相等得出∠BOH=∠COH，即∠AOE=∠OCB，根据等角的同名三角函数值相等得出sin∠AOE= sin∠OCB= O B ∶C B ，在Rt△OCB中，由勾股定理得出BC的长度，从而得出答案；
（3）连接DM，据题意有CM=t，OC=2，OD= ，则OM=2-t；根据二直线平行同位角相等得出∠ONM=∠ODC，同时两平行线间的距离相等，根据同底等高得出S△QMN=S△DMN，再根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠ONM=tan∠ODC，根据三角函数的定义，从而列出方程，表示出ON的长度，进而表示出
ND，根据S=S△QMN=S△DMN= N D · O M，从而得出s与t之间的函数关系式；根据点M在OC上运动故
0 < t < 2 ，S与t成二次函数关系中二次项的系数−< 0，从而得出答案当t=1时，S有最大值，
S 最大值 = 。