高等代数7-7不变子空间

设
(
2
)
a12 1
a22
2
ak 2 k
( k ) a1k1 a2k 2 akk k
从而， (1,2, , n )
(1, 2 ,
a11 a12
a11
a11
,
n
)
ak1 0
ak 2 0
0 0
a1k a1,k1 a2k a2,k1
akk ak ,k1 0 ak1,k1
0 an,k1
又 fi ( ),( i )ri 1.
∴ 有多项式 u( ),v( ) ，使
u( ) fi ( ) v( )( i )ri 1
从而 u( ) fi ( ) v( )( i E)ri E
i E(i ) u( ) fi ( ) v( )( i E)ri (i ) u( ) fi ( )(i ) v( ) ( i E)ri (i )
( i E )ri (i ) ( i E )ri ( ) 0
从而有 ( i E )ri (i ) 0, i 1, 2, , s. 即 i Vi , 1 2 s V1 V2 Vs 又 1 2 s 0,
由 2 ，V1 V2 Vs 是直和，它的零向量分解式
唯一. i 0, i 1,2, , s.
11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns
为V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1
A2
.
As
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
证：令 1 1 2 , 2 1 3
由 (1,2,3 ) (1,2,3 )A
1 1
(1 , 2 )
(1,2,3 )
1 0
0 1
.
有
1 1
(1,2)
(1
,
2
,
3
)
1 0
0 1
1 1
(1,2,3 )A
1 0
0 1
1 2 2 1 1
1
,
2
,
3
2 2
1 2
2 1
1 0
0 1
V W1 W2 Ws .
2 . 证明 V1 V2 Vs 是直和.
即证，若 1 2 s 0
(3)
其中 i Vi （也即，( i E )ri (i ) 0 ），
则 i 0, i 1,2, , s.
( j )rj fi ( ), i j ∴ 存在 h( ), 使 fi ( ) h( )( j )rj .
u1( ) f1( ) u2( ) f2( ) us( ) fs( )( )
u1( ) f1( )( ) u2( ) f2( )( ) us( ) fs( )( )
f1( ) u1( )( ) f2( )u2( )( ) fs( ) us( )( )
这里 fi ( ) ui ( )( ) fi ( )V Wi , i 1,2, , s.
V W1 W2 Ws . 由此即得：
V的线性变换 在某组基下的矩阵为准对角形 V可分解为一些 的不变子空间的直和.
四、线性空间的直和分解
定理12：设 为线性空间V的线性变换， f ( ) 是
是 的特征多项式. 若 f ( ) 具有分解式： f ( ) ( 1 )r1 ( 2 )r2 ( s )rs
再设 Vi ( i E)ri ( ) 0, V
则Vi 都是 的不变 子空间；且V具有直和分解：
V V1 V2 Vs .
证：令
fi
( )
f () ( i )ri
( 1 )r1
(
)ri1 i 1
(
)ri1 i 1
( s )rs ,
Wi fi ( )V , 则Wi 是 fi ( ) 的值域， Wi是 的不变子空间.
事实上，若 W L k k P, 0.
则 为 L 的一组基. 因为W为 －子空间， ( )W , 即必存在 P, 使 .
是 的特征向量.
二、 在不变子空间W引起的线性变换
定义：
设 是线性空间V的线性变换，W是V的一个 的 不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换，称作 在不变子空间W上引起的线性变换，或称作 在
证： (V ) ( ) V.
对 (V ), 存在 V , 使 ( ),
于是有，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (V )
(V ) 为 的不变子空间.
其次，由 1 0 V , 0 ,
对 1 0, 有 0.
于是 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0. ( ) 1 0. 故 1 0 为 的不变子空间.
于是 fi ( ) h( )( j E)rj .
fi ( )( j ) h( )( j E)rj ( j )
h ( jE)rj ( j ) h 0 0, j i.
用 fi ( ) 作用（3）的两端，得 fi ( )(1 2 s )
fi ( )(1) fi ( )(2 ) fi ( )(s ) fi ( )(i ) 0
3、一些重要不变子空间
1）线性变换 的值域 (V )与核 1 0都是 的
不变子空间.
证： (V ) ( ) V V ,
V , 有 ( ) (V ).
故 (V ) 为 的不变子空间.
又任取 1 0 , 有 ( ) 0 1(0).
1(0)也为 的不变子空间.
2）若 , 则 (V ) 与 1(0) 都是 －子空间.
不变子空间W上的限制 . 记作 W .
注：
① 当 W时， W ( ) ( ). 当 W时， W ( ) 无意义.
② W W W .
③ 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零 变换，即 10 0 ;
在特征子空间 V0上引起的线性变换是数乘变换， 即有 V0 oE.
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
1、设 是 n 维线性空间V的线性变换，W是V 的
－子空间，1,2, ,k为W的一组基，把它扩允为 V的一组基： 1,2 , , k , k1, n .
若 W
在基 1,2,
, k下的矩阵为 A1 Pkk，则
在基 1,2, , n下的矩阵具有下列形状:
A1 0
A2 A3
.
反之，若 1,2,
,n 1,2,
又 ( i E )ri Wi ( i E )ri fi ( )V
( i E)ri fi ( ) V f V
( i E )ri Wi 0.
（2）
Hale Waihona Puke 下证 V V1 V2 Vs . 分三步：
1 . 证明 V W1 W2 Ws .
2 . 证明f1(V1),fV2(2), fVs(s是)直和1 .
1 1
1
,
2
,
3
1 0
01 .
即 (1) 1 2 1 (2 ) 1 3 2
(1), (2 ) W . 故W为 的不变子空间.
注：
f ( ) f ( ) 的多项式 f ( ) 的值域与核都是 的不变子空间.
这里 f ( x)为 P[x]中任一多项式.
3）任何子空间都是数乘变换 的不变子空间.
4） 线性 变W换,的特 征k子空W间 V0 是 的不变子空间.
5）由
的V特o征, 向有量 生 成 的o子 空V间o是.
《高等代数》
§7.7 不变子空间
一、不变子空间的概念 二、线性变换在不变子空间上的限制 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 四、线性空间的直和分解
一、不变子空间
1、定义
设 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的
的子空间，若 W ,有 ( ) W 即 (W ) W
则称W是 的不变子空间，简称为 －子空间.
的不变子空间.
证：设 1,2, ,s 是 的分别属于特征值
1,2, ,s 的特征向量. 任取 L(1,2, ,s ),
设 k11 k22 kss , 则
( ) k111 k222 ksss L(1,2, ,s )
L(1,2, ,s ) 为 的不变子空间.
注：
特别地，由 的一个特征向量生成的子空间是一 个一维 －子空间. 反过来，一个一维 －子空间 必可看成是 的一个特征向量生成的子空间.
,
n
A1 0
A2 A3
,
A1 Pkk . 则由1, 2 , , k 生成的子空间必为 的
不变子空间.
事实上，因为W是V的不变子空间.
(1), (2 ), , (k ) W . 即， (1), (2 ), , (k ) 均可被 1,2, , k
线性表出.
(1 ) a111 a21 2 ak1 k
注：
V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一
个变换 来说，都是 －子空间.
2、不变子空间的简单性质
1）两个 －子空间的交与和仍是 －子空间. 2）设 W L(1,2, s ), 则W是 －子空间
(1), (2 ), , (s ) W .
证：" " 显然成立.
" " 任取 W , 设 k11 k22 kss , 则 ( ) k1 (1) k2 (2 ) ks (s ). 由于 (1), (2 ), , (s ) W , ( )W . 故W为 的不变子空间.
u( )(0) v( )(0) 0, i 1,2, , s.
所以 V1 V2 Vs 是直和.
3 . 证明: Wi Vi ( i E)ri ( ) 0, V
首先由(2)，有
Wi
( i E )ri
1
(0)
即 Wi Vi .
( i E )ri Wi 0.
其次，任取 Vi , 设
1 2 s , i Wi . 即 1 2 (i ) s 0 令 j j , ( j i); i i .
由（2）, 有 ( i E )ri (i ) 0, i 1, 2, , s. 又 ( i E )ri (i ) ( i E )ri (i )
(1, 2,
,
n
)
A1 0
A2 A3
.
a1n
a2n
akn akn
ann
2、设 是n 维线性空间V的线性变换，Wi 都是
的不变子空间，而 i1, i2 , , ini是Wi 的一组基，且 Wi 在这组基下的矩阵为 Ai , Ai P nini , i 1, 2, , s.
若 V W1 W2 Ws，则
于是 i Wi . 即有 Vi Wi .
故 Wi Vi ( i E)ri ( ) 0, V .
综合 1 ,2 ,3 ，即有
Vi 是 的不变子空间，且
V V1 V2 Vs .
练习： 设3维线性空间V的线性变换 在基1,2,3
1 2 2
下的矩阵为
A
2 2
1 2
2 1
.
证明：W L(1 2,1 3 )是 的不变子空间.
3. ∴
证存明在多Vi 项 W式i
, i
u1(
1, 2,
), u2 (
, s. ),
,us( ),
使
u1( ) f ( )1 u2( ) f2( ) us( ) fs( ) 1
于是 u1( ) f1( ) u2( ) f2( ) us( ) fs( ) E
∴ 对 V , 有
E( )