八年级数学下册 19.4一元一次方程的根与系数的关系教案 沪科版

19.4一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。

2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。

体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

二、重点难点
发现并掌握一元二次方程根与系数的关系
三、教法与学法
（一）教法
1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。

2、采用“实践（练习）——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。

引导学生发现问题，师生共同解决问题。

3、分小组讨论交流，多渠道信息反馈。

4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。

（二）学法指导
1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。

2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。

3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。

四、设计理念
根据教材内容和《初中数学新课程标准》，注重过程数学，注重创新教学，注重问题意识，关注学生的学习兴趣和经验，让学生主动参与学习活动，主动探索并获取知识，教师是组织者、引导者、参与者。

五、设计意图
采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，探究分两步走
将探究根与系数关系分为初探、再探两个层次，即将二次项系数为1和非 1的一元二次方程分两次出现，这样处理基于如下的原因。

第一，使得每一个学生都能参与探究。

学生的认知能力总是有所差异的，如果将这两类方程同时加以研究的话，有一部分同学很难参与。

事实上，研究事物往往从简单到复杂。

当a=1 时，容易发现根与系数的关系，当 a ≠1时，猜想不正确，造成认知上的冲突，更能激发学生去完善第一次的猜想。

由实验——猜想——再实验——再猜想的过程，对于学生而言，既经历了一次探究性学习，又得到了一次能力培养。

使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。

设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。

六、教学过程:
一、复习导入
同学们，我们在前面学习了用求根公式法解一元二次方程。

你能说说一元二次方程的求根公式吗？
ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0，
则x=
a ac
b b
2
4 2-
±
-
它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？
好，这就是我们这节课研究的内容：一元二次方程根与系数的关系（板书）
二、探求新知
练一练
填空
从上面表格中观察以上方程，根与系数的关系，有什么规律？
这几个方程的两根之和都等于它们的一次项系数的相反数，两根之积都等于常数项。

师：那么是不是所有的一元二次方程都具有这样的规律吗？ 生：不一定， 师：为什么不一定呢？
生：因为这几个一元二次方程的二次项系数都是1。

如果二次项系数不为1时，可能不存在这样的关系。

师：回答得真好，同学们观察得非常仔细。

哪么这个规律应该怎样说呢？ 生：当二次项的系数为1时，x 2
+Px+q=0的两根如果是 则存在
师：那么对于一般的一元二次方程根与系数又会存在着怎样的关系呢？想知道吗？好，下面我们共同来探究一下
先完成下面的填空。

通过填表，你又有什么发现？把你的发现小组进行交流。

你能用语言文字概括你的发现吗？
q
P x x
x x =+-=+2
1
21
那么你能猜想一般的一元二次方程的根与系数存在什么样的关系呢？
一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 是常数且a=0 ）的两根为x1、x2，
则
a b
x x -=+21
a
c x x =21
师：你的猜想是正确的吗？举一些例子来验证一下吧！
师：再多的实验数据也只能增强结论的可靠性，为了说明它的正确性，还需要推理证明。

你会证明吗？
师：运用什么来验证呢？对！求根公式。

这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理。

三、训练感悟。

讲解例题（略）
x 1+x 2=-b+b 2-4ac 2a +
-b-b 2-4ac
2a
x 1
=-2b 2a
=-b a
x 1∙x 2=-b+b 2-4ac 2a ∙
-b-b 2-4ac 2a
=
(-b+b 2-4ac)(-b-b 2-4ac)
4a 2
=4ac 4a 2
=
b 2-(b 2-4ac)4a 2=
c a
x 2
042
≥-ac b
练一练（略）
四、总结提升
五、作业
六、板书设计。