最新2020年全国高考三轮复习信息卷 文科数学(附答案+详细解析)
高考文科数学(3卷)：答案详细解析(最新,word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（III 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（集合）已知集合{}1235711=，，，，，A ，{}315|=<<B x x ，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】∵{5,7,11}=A B ，∴A ∩B 中元素的个数为3. 【答案】B2．（复数）若)(11+=-z i i ，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【解析】∵)(11+=-z i i ，∴1212--===-+i iz i i ，∴=z i . 【答案】D3．（概率统计）设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10【解析】原数据的方差20.01=s ，由方差的性质可知，新数据的方差为21001000.011=⨯=s .【答案】C4．（函数）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()1--=+t I K t e ，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95=I t K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【解析】**0.23(53)()0.951--==+t K I t K e，化简得*0.23(53)19-=te ，两边取对数得，*0.23(53)In19-=t ，解得*In1935353660.230.23=+=+≈t . 【答案】C5．（三角函数）已知πsin sin 13θθ++=（），则πsin =6θ+（） A ．12B ．33C ．23D ．22【解析】∵π13sin sin cos 322θθθ+=+（）， ∴π3331sin sin sin 3cos 1322θθθθθθ⎫++==+=+=⎪⎪⎭（）， 31πcos sin 26θθθ+=+（）， π316θ+=（），故π3sin 63θ+==（）.【答案】B6．（解析几何）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若1⋅=AC BC ，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【解析】以AB 所在直线为x 轴，中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,0)-A a ，(,0)B a ，(,)C x y ，则(,)=+AC x a y ，(,)=-BC x a y ，2221⋅=-+=AC BC x a y ，即2221+=+x y a ，故点C 的轨迹为圆.【答案】A7．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220=>y px p 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)【解析】解法一：如图A7所示，由题意可知，(2,2)D p ，(2,2)-E p ，(2,2)=OD p ，(2,2)=-OE p ，⊥OD ⊥OE ，⊥⊥OD OE ， 即22220⨯-=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2. 解法二：4=DE p 44==+OD OE p⊥OD ⊥OE ，⊥222+=OD OE DE ，即2(44)16+=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2.图A7【答案】B8．（解析几何）点(0)1-，到直线()1=+y k x 距离的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】解法一：点(0)1-，到直线()1=+y k x 的距离211+=+k d k ，则有222222(1)122=12111+++==+≤+++k k k kd k k k ，故2≤d . 解法二：已知点()01-，A ，直线()1=+yk x 过定点()10-，B ，由几何性质可知，当直线()1=+y k x 垂直直线AB 时，点()01-，A 到直线()1=+y k x 距离最大，最大值为线段AB 的长度，即max 2=d 【答案】B9．（立体几何）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．642+B ．442+C ．623+D ．423+【解析】由三视图可知，该几何体为一个四面体，如图A8所示. 其表面积(2332226234=⨯+⨯=+S图A9【答案】C10．（函数）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】∵233332log 3=log 93==c ，33log 2log 8==a a <c .∵233552log 5log 253===c 355log 3log 27==b c <b .故a <c <b.【答案】A11．（三角函数）在ABC ∆中，2cos 3C =，4=AC ，3=BC ，则tan B = A 5B ．25C ．45D ．85【解析】解法一：由余弦定理得，2222cos 9=+-⋅⋅=AB AC BC AC BC C ，即3=AB ，∴22299161cos 22339+-+-===⋅⨯⨯AB BC AC B AB BC ， ∵(0,π)∈B ，∴245sin 1cos =-=B B ，sin tan 45cos ==BB B. 解法二：3=AB ，所以△ABC 是以B 为顶角的等腰三角形.过B 作BD ⊥AC ，易得tan 25=B 22tan2tan 451tan 2==-BB B . 【答案】C12．（三角函数）已知函数1()sin sin f x x x=+，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线π=x 对称D ．f (x )的图像关于直线π2=x 对称 【解析】A ：1sin 1(sin 0)-≤≤≠x x ，当1sin 0-≤<x ，()0<f x ，故A 错误.B ：1()sin ()sin -=--=-f x x f x x，f (x )为奇函数，故B 错误. C ：1(2π)sin ()()sin -=--=-≠f x x f x f x x，故C 错误.D ：11(π)sin(π)sin ()sin(π)sin -=-+=+=-f x x x f x x x，故D 正确.【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国卷3文科数学试题及参考答案
绝密★启用前试题类型：新课标in 2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦下净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = {xlx-l>0}, B = {0, 1, 2},则AC|B = ( )A. {0}B. {1}C. {1, 2}D. {0, 1, 2}【答案】c【解析】A:x>l , W{1, 2}【考点】交集2- (1 + /)(2-/)=()A. -3-iB. -3 + /C. 3-iD. 3 + j【答案】D【解析】(l + 0(2-f) = 2+r-i2=3 + <【考点】复数的运算3•中国古建筑借助樺卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做樺头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是樺头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )俯视方向【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面,而B答案能看见小长方体的上面和左面，C答案至少能看见小长方体的左面和前面,D答案本身就不对”外围轮廊不可能有缺失【考点】三视图4.若sina = |»则cosZz = ( )A. |B. 1C. -1D.9 9 9 9【答案】B7【解析】cos 2a = 1 -2sin‘ a =-【考点】余弦的二倍角公式5•某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金也用非现金支付的槪率为0.15,则不用现金支付的概率为( )A. 0・3 B・ 04 C・ 06 D. 0・7【答案】B【解析】1一0・45-0・15 = 0・4【考点】互斥事件的概率6•函数f (x)= tan\的最小正周期为()l + tan~x【答案】C【考点】切化弦、二倍角、三角函数周期7.下列函数中，其图像与函数v = lnx的图像关于直线x = l对称的是A. y = ln(l-A-)B. y = ln(2-x)C. y = ln(l+ x)D. y = ln(2 + x)【答案】B【解析】采用特殊值法，在取一点A(3, ln3),则A点关于直线x = l的对称点为川(7 ln3)应该在所求函数上，排除A , C , D【考点】函数关于直线对称8.直线x + y + 2 = 0分别与x轴、V轴交于点A, B两点，点在圆(A-2)2+/=2±,则WP而积的取值范围是( )A. [2, 6]B. [4, 8]C. [x/2, 3血]D.3血]【答案】A【解析】人(一2, 0), B(0, -2) , :.\AB\ = 2y/2 ,可设P(2 +血cos*. >/2sin^),贝！JB.壬C. ”D. 2龙T = ^- = 7T(走义域并没有影响到周期)S'lBP = 2 1^1' dP-AB =匝dp_AR e[2, 6]【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数)9・y = F + 2的图像大致为（）【答案】D【考点】函数图像辨识（按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势.单调性（导数）的顺序来考虑）2 210.已知双曲线的c ：二一・ = l （d>0, b>0）的离心率为返，则点（4, 0）到C 的渐近线的距离为A ・B ・2C ・上返D ・2>/22【答案】D【解析】e = ~ = + —r = >/2=> a = h••渐近线为— y = 0【解析】 /(1) = 2 ■排除 A 、B; y = Mx 3+2x = 2x(l-2x 2)，故函数在 0,【考点】双曲线的离心率、渐近线之间的互相转化11A4BC 的内角4 S C 的对边分别为亿/人c.若AABC 的而积为川+[_广，则4 C =() A.【答案】C【解析】S MBC =穆 d"sin C ="一 十[一—,而 cosC= “_；：力一"一【考点】三角形面积公式、余弦定理12.设A, B 、C, D 是同一个半径为4的球的球而上四点，AA3C 为等边三角形且英而积为 9x/3,则三棱锥D-ABC 的体积最大值为( ) A. 12>/3 B. 18^3 C. 24书D. 54炉【答案】B【解析】如图,0为球心,F 为等边A43C 的重心， 易知OF 丄底面ABC ，当。
高考文科数学(3卷)：答案详细解析(最新)
即 2 2 2 p 2 p 0 ，解得 p 1，∴C 的焦点坐标为 ( 1 , 0) . 2
解法二： DE 4 p ， OD OE 4 4 p ，
∵OD⊥OE，∴ OD 2 OE 2 DE 2 ，即 2(4 4 p) 16 p ，解得 p 1，
∴C 的焦点坐标为 ( 1 , 0) . 2
B： f (x) sin x 1 f (x) ，f(x)为奇函数，故 B 错误. sin x
C： f (2π x) sin x 1 f (x) f (x) ，故 C 错误. sin x
D： f (π x) sin(π x) 1 sin x 1 f (x) ，故 D 正确.
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组
区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的
空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的
2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的
f
(x)
ex xa
．若
f
(1)
e 4
，则
a=_________．
【解析】
f (x)
ex (x a) ex (x a)2
(x a 1)ex (x a)2
，∴
f (1)
ae (1 a)2
e 4
，
即
a (1 a)2
1 4 ，解得 a
1.
【答案】1
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2020 年高考理科数学（全国 3 卷）答案详解及试题
全国卷Ⅲ2020届高三高考压轴卷数学试题(文科)(含解析)
又 a2 = 3 ，所以 an = a2qn−2 = 3 3n−2 = 3n−1
所以 bn = log3 an = log3 3n−1 = n − 1
所以T9 = b1 + b2 +
+ b9
=
9(b1 + b9 )
2
=
9(1−1+ 9 −1)
2
=
36
故选：A
9、【答案】D
【解析】由 f (x) = a ln x + bx2 可得： f (x) = a + 2bx ， x
18.（12 分）
已知数列 an
满足
1 2a1 −
5
+
2 2a2 −
5
+
3 2a3 −
5
+
（1）求数列an 的通项公式；
+ n =n 2an − 5 3
（2）设数列
an
1 an+1
的前
n
项和为
Tn
,求
Tn
.
19 ．(12 分) 将棱长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 截去三棱锥 D1 − ACD 后得到如图所示几何体，
23.已知函数 f (x) = x − 2 ． （1）解不等式： f (x) 4 − f (x +1) （2）若函数 g(x) = x − 3, (x 4) 与函数 y = m − f (x) − 2 f (x − 2) 的图象恒有公共点，求 实数 m 的取值范围．
5 / 16
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
标值进行统计分析，得到表格如表：
质量指标值
等级
频数
2020年高考全国卷三文科数学及答案解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合 A = 1,2,3,5,7,11， B = x | 3 x 15，则 A B 中元素的个数为
（）
A. 2
B. 3
C. 4
A. 5
B. 2 5
C. 4 5
D.8 5
12.（5 分）已知函数 f (x) = sin x + 1 ，则 sin x
A. f (x) 的最小值为 2
B. f (x) 的图像关于 y 轴对称
C. f (x) 的图像关于直线 x = 对称
D. f (x) 的图像关于直线 x = 对称 2
二、 空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
（2）点C1 在平面 AEF 内. 20.（12 分）
已知函数 f (x) = x3 − kx + k 2
（1）讨论 f (x) 的单调性
2）若 f (x) 有三个零点，求 k 的取值范围.
21.（12 分）
已知椭圆
C
：x2 25
+
y2 m2
= 1(0 m 5
的离心率为
15 ，A，B 分别为
13．（5 分）若 x ， y 满足约束条件 2x − y 0，则 z = 3x + 2 y 的最大值为
.
x 1，
2
14．（5
分）设双曲线 C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的一条渐近线为
y
=
2x ，则C 的离心
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3文科数学试题解析(word版)
C.
D.
，
，
即
，
时，标志着已初步遏 ，
得
，
即
，
得
．
故选：B．
6.在平面内， ， 是两个定点， 是动点，若
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
【答案】A
【解析】在平面内， ， 是两个定点， 是动点，
不妨设
，
，设
，
因为
，
，则点 的轨迹为( ) D. 直线
所以
，
解得
，
所以点 的轨迹为圆．
故选：A．
7.设 为坐标原点，直线 与抛物线 ：
则
．
故选：C．
12.已知函数
，则( )
A.
的最小值为
B.
的图象关于 轴对称
C.
的图象关于直线 对称
D.
的图象关于直线
对称
【答案】D 【解析】由
可得函数的定义域为
，故定义域关于原点对称；
设
，则
，
，由双勾函数的图象和性质得，
或
，故 A 错误；
又有
，故
义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故 B 错误；
所以
平面
，
而
平面
，
． 是长方体，
所以
，
因为
是长方体，且
，
所以
是正方形，
所以
，
又
．
所以 平面
，
又因为点 ， 分别在棱 ， 上，
所以
平面
，
所以
．
（2）点 在平面 内．
【答案】见解析
【解析】取 上靠近 的三等分点 ，连接 ， ， ．
2020年全国卷三文科数学高考试题(详细解析版)
1．已知集合 A 1，2，3，5，7，11 ， B x | 3 x 15 ，则 A∩B 中元素的个数为
A．2 C．4 答案：B
B．3 D．5
解析：由交集的定义可知 A∩B={5，7，11} ，故选 B
2．若 z (1 i) 1 i ，则 z=
A．1–i
B．1+i
C．–i
D．i
答案：C
解析：因为 z (1 i) 1 i ，所以 z 1 i (1 i)2 2i i ，故选 C 1 i (1 i)(1 i) 2
3．设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，…，10xn 的方差为
B．f(x)的图像关于 y 轴对称 D．f(x)的图像关于直线 x 对称
2
解析：对于A，因为当 sin x 0 时， f (x) 0 ，故A错误.
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对于B，因为函数
f
(x)
的定义域为 {x
|
x
kπ, k
Z} ，又因为
f
(x)
sin(x)
1 sin( x)
f
(x)
，
故函数是奇函数，故B错误;
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷三文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2020年全国III卷文科数学高考试题及解析
2020年普通高等学校招生全国Ⅲ卷统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5解析：这是求A 和B 两个集合的交集，A 集合中的元素在（3，15）中的有5、7和11三个，所以正确答案为B，特别注意B 的不等式不包含等号，也即A 中的3不能包含进去。
点评：集合一般比较简单2.若)1z i i +=-，则z =（）A.1i- B.1i + C.i - D.i 解析：1(1)(1)21(1)(1)2i i i i z i i i i ----====-++-所以z=i点评：这个是一个复数的化简，共轭复数的概念，还是基题，送分题。
3．设一组样本数据12,,...,n x x x 的方差为0.01，则数据12n 10,10,...,10x x x 的方差为A．0.01B．0.1C．1D．10解析：设第一组数的平均值为x 则222121()()...()0.01n S x x x x x x =-+-++-=则10x1,10x2,....10xn 的平均值为10x22212222222(1010)(1010)...(1010)10(110()....10011n S x x x x x x x x x x S =-+-++-==-+-+=点评：考查统计方差的概念，特别要清楚，方差是不用开方的，而标准差是要开方的，4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（）（其中In19≈3）A.60B.63C.66D.69解析：代入解方程即可以0.23(53)()0.951t KI t Ke --==+0.23(53)1110.9519t e ---==两边同取以19为底的对数ln190.23(53)t -=--解得t=66点评：本题结合时事，实际是取对数的形式，解指数方程，要求对对数和指数之间的转换非常熟练。
2020年全国高考三轮复习信息卷 文科数学(附答案+全解全析)01
2020年全国高考三轮复习信息卷数学（文）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}0,2,4A =,{}2,0,2B =-, 则A B =U ( )A ．{}0,2B ．{}2,4-C ．[]0,2D ．{}2,0,2,4-2．已知a R ∈，i 是虚数单位，若z ai =，4z z ⋅=，则a 为（ ）A ．1或 1-B ．1C ．1-D ．不存在的实数 3．在等差数列{}n a 中，若35791155a a a a a ++++=，33S =，则5a 等于（ ） A ．9 B ．7 C ．6 D ．54．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A ．2B ．3C ．4D ．66．下列关于向量a r ，b r 的叙述中，错误的是（ ）A ．若220a b +=r r ，则0a b r r r ==B ．若k ∈R ，0ka =r ，所以0k =或0a =r rC ．若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r rD ．若a r ，b r 都是单位向量，则1a b ⋅≤r r恒成立7．已知{}n F 是斐波那契数列，则121F F ==，12n n n F F F --=+（*n N ∈且3n ≥），下图程序框图表示输出斐波那契数列的前n 项的算法，则n =（ ）A ．10B ．18C ．20D ．22 8．已知点A(0,0),B(2,0).若椭圆W: x 22+y 2m =1上存在点C ,使得△ABC 为等边三角形,则椭圆W 的离心率是（ ）A ．12B ．√22C ．√63D ．√329．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴； ②点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ）。
2020年全国卷三文科数学高考试题(word版+详细解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷三文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1235711，，，，，A =，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B解析：由交集的定义可知A ∩B ={5711}，，，故选B 2．若)(1i 1i z +=-，则z =A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i答案：C解析：因为)(1i 1i z +=-，所以21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2z ---====-++-，故选C 3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10答案：C解析：数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差等于数据x 1，x 2，…，x n 的方差210，即0.011001⨯=，故选C4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t KI t --+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C解析：由0.23(53)()=1e t KI t --+可得ln 1()530.23K I t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-，所以若*()0.95I t K =时，*ln 1ln190.955353660.230.23K K t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=+≈-，故选C. 5．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12 BC ．23 D答案：B解析：因为πsin sin =3θθ++（）1，所以13sin sin sin 1226πθθθθθθ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，所以πsin 6（+θ，故选B 6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线答案：A解析：取线段AB 的中点O ，则AC OC OA =-，BC OC OB OC OA =-=+，因为=1AC BC ⋅，所以221OC OA -=，所以22||||1OC OA =+，即|||OC OA =C的轨迹为以线段AB 中点为A。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国III卷文科) 数学试题及答案(学生版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国III 卷文科）数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。
本试卷满分150分。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52.若，则z =（ ）A. 1–iB. 1+iC. –iD. i3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（ ）A. 0.01B. 0.1C. 1D. 104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊病例数．当I ()=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）A. 60B. 63C. 66D. 695.已知，则（ ）A.C.D.6.在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若，则点C 的轨迹为（ ）A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线7.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ）A. （，0） B. （，0） C. （1，0） D. （2，0）{}1235711A =，，，，，{}315|B x x =<<()11+=-z i i 0.23(53)()=1et I K t --+*t *t πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭12232=1AC BC ⋅14128.点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）A. 1B.C.D. 29.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. 6+4B. 4+4C. 6+2D. 4+210.设a =log 32，b =log 53，c =，则（ ） A. a<c<b B. a<b<c C. b<c<a D. c<a<b 11.在△ABC 中，cos C =，AC =4，BC =3，则tan B =（ ） A.B. 2C. 4D. 812.已知函数f (x )=sin x +，则（ ） A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图像关于y 轴对称C. f(x)的图像关于直线对称D. f(x)的图像关于直线对称二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.若x ，y 满足约束条件 ，则z =3x +2y 的最大值为_________．14.设双曲线C ： (a >0，b >0)的一条渐近线为y =x ，则C 的离心率为_________．15.设函数．若，则a =_________．16.已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.) （一）必考题：共60分.17.设等比数列{a n }满足，． （1）求{a n }的通项公式；()1y k x =+232233232355551sin xx π=2x π=0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，22221x y a b -=2e ()xf x x a =+(1)4e f '=124a a +=318a a -=（2）记为数列{log 3a n }的前n 项和．若，求m ．18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：，n S 13m m m S S S +++=2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k 3.8416.63510.82819.如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内．20.已知函数． （1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．1111ABCD A B C D -E F 1DD 1BB 12DE ED =12BF FB =AB BC =EF AC ⊥1C AEF 32()f x x kx k =-+()f x ()f x k21.已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）求的方程；（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求||：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.222:1(05)25x y C m m +=<<4A B C C P C Q 6x =||||BP BQ =BP BQ ⊥APQ 2222x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，AB[选修4-5：不等式选讲]23.设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国III 卷文科）数学试题参考答案1-5.BDCCB 6-10ABBCA 11-12.CD 13.715.116.17.（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以；（2）令， 所以， 根据，可得， 整理得，因为，所以18.（1）由频数分布表可知，该市一天空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为； （2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为（3）列联表如下：3{}n a q 1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩113a q =⎧⎨=⎩13-=n n a 313log log 31n n n b a n -===-(01)(1)22n n n n n S +--==13m m m S S S +++=(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=2560m m --=0m >6m =的1216250.43100++=2510120.27100++=36780.21100++=47200.09100++=100203003550045350100⨯+⨯+⨯=22⨯空气质量好，因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 19.（1）因为长方体,所以平面, 因为长方体,所以四边形为正方形 因为平面,因此平面,因为平面,所以；（2）在上取点使得,连, 因为,所以所以四边形为平行四边形，因为所以四边形为平行四边形， 因此在平面内20. （1）由题，，当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 令，得或，所以在上单调递减，在 ，上单调递增. （2）由（1）知，有三个零点，则，且228()21003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯95%1111ABCD A B C D -1BB ⊥ABCD ∴1AC BB ⊥1111,ABCD A B C D AB BC -=ABCD AC BD ∴⊥11,BB BD B BB BD =⊂、11BB D D AC ⊥11BB D D EF ⊂11BB D D AC EF ⊥1CC M 12CM MC =,DM MF 111112,//,=D E ED DD CC DD CC =11,//,ED MC ED MC =1DMC E 1//DM EC ∴//,=,MF DA MF DA MFAD 1//,//DM AF EC AF ∴∴1C AEF '2()3f x x k =-0k ≤'()0f x ≥()f x (,)-∞+∞0k >'()0f x =3k x =±'()0f x <33kkx -<<'()0f x >3kx <-3k x >()f x (,)33k k-(,)3k -∞-(,)3k+∞()f x 0k >()03()03kf kf ⎧->⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即，解得， 当时，，且， 所以在上有唯一一个零点，同理，， 所以在上有唯一一个零点，又在上有唯一一个零点，所以有三个零点， 综上可知的取值范围为. 21.（1），，根据离心率， 解得或(舍)， 的方程为：，即； （2）点在上，点在直线上，且，，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为根据题意画出图形，如图2220332033kk kk k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩4027k <<4027k <<3kk >2()0f k k =>()f x (,)3kk 13kk --<-32(1)(1)0f k k k --=--+<()f x (1,)3kk ---()f x (,)33k k-()f x k 4(0,)27222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =b m =22154115c b m e a a ⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭54m =54m =-∴C 22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=221612525x y +=P C Q 6x =||||BP BQ =BP BQ ⊥P x M 6x =x N，，，又，，，根据三角形全等条件“”， 可得：，， ，，设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，解得：或，点为或，①当点为时， 故，， ，可得：点为， 画出图象，如图,，可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：， 根据两点间距离公式可得：，||||BP BQ =BP BQ ⊥90PMB QNB ∠=∠=︒90PBM QBN ∠+∠=︒90BQN QBN ∠+∠=︒∴PBM BQN ∠=∠AAS PMB BNQ ≅△△221612525x y +=∴(5,0)B ∴651PM BN ==-=P (,)P P x y P 1P y =221612525x y +=21612525P x +=3P x =3P x =-∴P (3,1)(3,1)-P (3,1)532MB =-=PMB BNQ ≅△△∴||||2MB NQ ==Q (6,2)(5,0)A -(6,2)Q AQ 211100x y -+=P AQ 22231111055125211d ⨯-⨯+===+()()22652055AQ =++-=面积为：；②当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：，综上所述，面积为：.22.（1）令，则，解得或（舍），则，即. 令，则，解得或（舍），则，即.；（2）由（1）可知，则直线的方程为，即.由可得，直线的极坐标方程为.23.（1），.均不为，则，；（2）不妨设，∴APQ15555252⨯⨯=P(3,1)-5+38MB==PMB BNQ≅△△∴||||8MB NQ==Q(6,8)(5,0)A-,(6,8)Q AQ811400x y-+=P AQ()2283111405185185811d⨯--⨯+===+()()226580185AQ=++-=∴APQ1518522185⨯⨯=APQ520x=220t t+-=2t=-1t=26412y=++=(0,12)A 0y=2320t t-+=2t=1t=2244x=--=-(4,0)B-22(04)(120)410AB∴=++-=12030(4)ABk-==--AB3(4)y x=+3120x y-+=cos,sinx yρθρθ==AB3cos sin120ρθρθ-+=2222()2220a b c a b c ab ac bc++=+++++=()22212ab bc ca a b c∴++=-++,,a b c02220a b c++>()22212ab bc ca a b c∴++=-++<max{,,}a b c a=由可知，，，. 当且仅当时，取等号，，即.0,1a b c abc ++==0,0,0a b c ><<1,a b c a bc =--=()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=b c =a ∴≥3max{,,}4a b c。
2020 年普通高等学校招生全国统一考试(三卷)文科数学
B． a b c
C． b c a
11．在 ABC 中， cos C 2 ， AC 4, BC 3 ，则 tan B （ 3
D． c a b
）
A． 5
B． 2 5
C． 4 5
D． 8 5
12．设函数 f (x) sin x 1 ，则（
）
sin x
A． f (x) 的最小值为 2
锻炼人次 空气质量等级
[0,200]
(200,400]
(400,600]
1（优）
2
2（良）
5
3（轻度污染）
6
4（中度污染）
7
16
25
10
12
19．（12 分）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E，F 分别在棱 DD1, BB1 上，且 2DE ED1, BF 2FB1 .
证明:
）
3
6
D．69
A． 1 2
B． 3 2
C． 2 3
D． 2 2
6．在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点。若 AC BC 1，则点 C 的轨迹为（ ）
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.直线
7．设 O 为坐标原点，直线 x =2 与抛物线 C : y2 =2 px( p >0) 交于 D，E 两点，若 OD ⊥OE ，则 C 的焦点
附：K 2
n(ad bc)2
，
(a b)(c d )(a c)(b d )
P(K 2 k) k
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
18．（12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理 数据得到下表（单位：天）：