人教A版高中数学必修四高一下学期期末考试试题 (8).docx

抚顺市协作校2015—2016下学期高一年级期末考试
数学试卷
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
2.第Ⅰ卷选项涂在答题卡上，第Ⅱ卷答在答题纸上．
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1.已知0tan sin <⋅θθ,那么角θ是 ( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
2.点)1,2,3(-M 关于yoz 面对称的点的坐标是 ( ) A.)1,2,3(- B.)1,2,3(-- C.)1,2,3(- D.)1,2,3(--
3.某小组有２名男生和２名女生,从中任选２名同学去参加演讲比赛，在下列选项中,互斥而不对立的两个事件是 ( ) A.“至少有1名女生”与“都是女生” B.“至少有1名女生”与“至多有1名女生” C.“恰有1名女生”与“恰有2名女生” D.“至少有1名男生”与“都是女生”
4.已知角βα,均为锐角,且10
10
3sin ,552cos ==βα,则βα-的值为 ( ) A.
3π B.4
π
C.4π-
D.44ππ-或
5.如图,在ABC ∆中,点D 是边BC 的中点,点G 在AD 上,且是ABC ∆的重心,则用向量AC AB ,表示BG 为 ( )
A.AC AB BG 3132+-
= B.AC AB BG 32
31+-= C.AC AB BG 3132-= D.AC AB BG 3
1
32+=
6.已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为 ( )
A.523.1ˆ+=x y
B.423.1ˆ+=x y
C.23.108.0ˆ+=x y
D.08.023.1ˆ+=x y
7.已知圆心)0,0)(,(<<b a b a 在直线12+=x y 上的圆,其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径,在y 轴上截得的弦长为52,则圆的方程为 ( ) A.25)5()3(2
2
=+++y x B. 9)3()2(2
2
=+++y x C.949)3
7()3
2(2
2
=
-+-y x D. 9
49)37()32(22=+++y x 8.甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示,21,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数,21,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差,则有 ( ) A.2121,s s x x <> B. 2121,s s x x <= C.2121,s s x x == D. 2121,s s x x ><
9.如图所示的程序框图,它的输出结果是
( )
A.-1
B.0
C.1
D.16
10.已知函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 的部分图象如图所示,下面结论正确的个数是 ( )
①函数)(x f 的最小正周期是π2
②函数)(x f 的图象可由函数x x g 2sin )(=的图象向左平移3
π
个单位长度得到 ③函数)(x f 的图象关于直线12
π
=x 对称
④函数)(x f 在区间⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡6,12ππ上是增函数 A.3 B.2 C.1 D.0
11.已知10),4,2(),1,(,<==∈AB AC k AB R k 若,则ABC ∆是钝角三角形的概率是
( )
A.
61 B.31 C.32 D.6
5 12.已知点P 是圆1)22(2
2=-+y x C ：上的一个动点,点Q 是直线0=-y x l ：上的一个动
点,O 为坐标原点,则向量OQ 在向量OP 上的射影的数量的最大值是 ( )
A.3
B.2
2
2+
C.32
D.1
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如图所示,现规定不低于70分为合格,则合格人数是 .
14.已知平面向量a 与b
满足4
,,2,1π=〉-+〈=-=+b a b a b a b a 且,则=-b a 5 .
15.若41)6sin(=+πx ，则=++-+-)3
2cos()3(sin )65sin(2π
ππx x x .
16.关于平面向量，有下列四个命题：
①若c a c b b a
=⋅=⋅则,.
②),,2(),1,1(x b a ==
若a b b a 24-+与平行，则2=x .
③非零向量b a 和满足b a b a -==，则b a a +与的夹角为0
60.
④点)1,4(),3,1(-B A ，与向量AB 同方向的单位向量为)5
4,53(-. 其中真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）“中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃,即“凑够一撮人就可以走了,和红绿灯无关.”出现这种现象是大家受法不责众的“从众”心理 影响,从而不顾及交通安全.某校对全校学生过马路方式进行调查,在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如下表所示：
(I)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n 人,已知“跟从别人闯红灯”的人中抽取45 人,求n 的值；
(II)在“带头闯红灯”的人中,将男生的200人编号为1,2，…，200；将女生的300人编号为201,202，…，500,用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动,若抽取的第一个人的编号为100,把抽取的4人看成一个总体,从这4人中任选取2人,求这两人均是女生的概率.
18.（本小题满分12分）设连续掷两次骰子得到的点数分别为n m 、,令平面向量
)3,1(),,(-==b n m a
.
(I)求使得事件“b a
⊥”发生的概率；
(II)求使得事件“b a
≤”发生的概率；
(III)求使得事件“直线x n
m
y =
与圆1)3(22=+-y x 相交”发生的概率. 19.（本小题满分12分）已知)sin ,(sin ),cos ,(sin x x b x x a == ,函数b a x f
⋅=)(.
(I)求)(x f 的对称轴方程；
(II)求使1)(≥x f 成立的x 的取值集合；
(III) 若对任意实数,3,6⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∈ππx 不等式2)(<-m x f 恒成立，求实数m 的取值范围. 20.（本小题满分12分）已知向量⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈-==2,0)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos πx x x b x x a 且 .
(I)求b a b a
+⋅及；
(II)若b a b a x f +-⋅=λ2)(的最小值是2
3
-,求实数λ的值.
跟从别人闯红灯 从不闯红灯 带头闯红灯 男生 800 450 200 女生 100 150 300
21．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中,圆42
2=+y x O ：与x 轴负半轴交于点A ,过点
A 的直线AN AM ,分别与圆O 交于N M ,两点.
(I)若2
1
,2-
==AN AM k k ,求AMN ∆的面积； (II)过点)5,33(-P 作圆O 的两条切线,切点分别为F 、E ,求PF PE ⋅.
22.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中,两点),(),,(222111y x P y x P 间的“L -距离”定义
为212121y y x x P P -+-=.现将边长为1的正三角形ABC 按如图所示的方式放置,其中顶点A 与坐标原点重合.记边AB 所在直线的斜率为k ,30≤
≤k .
求：当BC 取最大值时,边AB 所在直线的斜率的值.
抚顺市协作校2015—2016下学期高一年级期末考试
数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共60分）
1—5 BDCCA 6—10 DBBAC 11—12 DA 二、填空题（每题5分，共20分）
13． 600 14. 10
15.
16
33
16. ②④ 三、解答题（共70分，共6题） 17．（本小题满分10分） 解：（I ）
由题意得,
300
15010020045080010080045+++++=
+n
,100=∴n .…………2分 （II ）
由系统抽样得到的号码分别为100，225，350，475. …………4分 其中100号为男生，设为A ，而225，350，475都为女生，分别设为321,,B B B ， 从这4人中任选取2人所有的基本事件为
)(),(),(),(),(),(323121321B B B B B B AB AB AB ，共有6个. …………6分
这两人均是女生的基本事件为)(),(),(323121B B B B B B ，共有3个. …………8分 故所求事件的概率为2
1
63==P . …………10分 18．（本小题满分12分） 解：（I ）
由题意知,{
}{}6,5,4,3,2,1,6,5,4,3,2,1∈∈n m , 故),(n m 所有可能的取法有36种. …………3分
使得03=-⊥n m b a 即
,共有2种(3,1)、(6,2)
所以事件b a ⊥发生的概率为
18
1
362=. …………6分 （II ）
10,22≤+≤n m b a 即
,共有6种(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1) 所以事件b a ≤发生的概率为
6
1
366=. …………9分
（III ）
直线x n
m y =与圆1)3(2
2=+-y x 相交，即132
2
<+=
n
m m d
即2
2
8n m <，共有5种(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,6) 所以直线x n m y =
与圆1)3(22=+-y x 相交发生的概率为36
5
. …………12分 19．（本小题满分12分）
解：（I ）
x x x x x b a x f 2sin 2
1
22cos 1cos sin sin )(2+-=⋅+=⋅= …………1分
2
1
)42sin(22+-=πx …………2分 令Z k k x ∈+
=-
,2
4
2π
ππ
,解得Z k k x ∈+=
,8
32π
π. )(x f ∴的对称轴方程为Z k k x ∈+=
,8
32ππ. …………4分 （II ） 由1)(≥x f 得
121)42sin(22≥+-πx ,即2
2
)42sin(≥-πx …………5分 Z k k x k ∈+≤
-
≤+∴
,2434
224
ππ
π
ππ
. 故x 的取值集合为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≤
≤+Z k k x k x ,24
|ππ
ππ
. …………7分 （III ）
1254212,3,6πππ
ππ≤-≤∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈x x …………8分
又⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=2,
0sin π在x y 上是增函数, 12
5sin )42sin(12sin
π
ππ
≤-≤∴x …………9分 又4
2
6)4
6sin(125sin
+=+=π
ππ ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈∴3,6)(ππx x f 在时的最大值是4332142622)(max +=++⨯=x f …10分
2)(<-m x f 恒成立,2)(max ->∴x f m ,即4
5
3->
m …………11分 ),4
5
3(
+∞-∴的取值范围是实数m . …………12分
20.（本小题满分12分） 解：（I ）
x x
x x x b a 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos =⋅-⋅=⋅ . …………2分
22)2
sin 23(sin )2cos 23(cos x
x x x b a -++=+
x x x cos 2cos 22cos 222==+=
…………4分
x b a x x cos 20cos 2,0=+∴≥∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈ π. …………5分
（II ）
22221)(cos 21cos 4cos 2cos 42cos )(λλλλ---=--=-=x x x x x x f
1cos 02,0≤≤∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈x x π …………7分
①若0<λ，当且仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值-1，与已知矛盾； ②若10≤≤λ，当且仅当λ=x cos 时，)(x f 取得最小值2
21λ--， 由23212
-
=--λ 解得21=λ或2
1
-=λ（舍去）； ③若1>λ，当且仅当1cos =x 时，)(x f 取得最小值λ41-， 由2341-
=-λ 解得85
=λ（舍去）； …………11分 综上所述，2
1
=λ. …………12分
21.（本小题满分12分） 解：（I ）
,
2
1
,2),0,2(-==-AN AM k k A
12
1
,42--=+=∴x y AN x y AM 的方程为直线的方程为直线，
5
5
4516425
4=
-
==
∴AM d AM O ，从而的距离到直线圆心.…………2分 5
5
821=
=∴⊥∴-=⋅d AN AN AM k k AN AM …………4分 5
165585542121=⨯⨯=⋅=
∴∆AN AM S AMN . …………6分 (II)
132)5()33(22=-+=PO
344)132(222=-=-=
OE PO PE
13
3213
234cos =
=
∠∴OPE …………8分
又13
11
1)13
32(
21cos 22cos cos 22=
-=-∠=∠=∠OPE OPE FPE ………10分 13
528
1311)34(cos 2=
⨯
=∠⋅=⋅∴FPE PF PE PF PE . …………12分 22．（本小题满分12分）
解：设边AB 所在直线的倾斜角为θ，则⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈3,0πθ
))3
sin(),3
(cos(),sin ,(cos π
θπ
θθθ+
+∴C B …………2分
)3
sin(sin )3
cos(cos π
θθπ
θθ+
-++
-=∴BC
θθθθcos 2
3
sin 21sin 23cos 21-++=
)6
cos()6
sin(π
θπ
θ+
++
= …………6分
⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,663,0πππθπθ
)12
5sin(2)6
cos()6
sin(π
θπ
θπ
θ+
=+
++
=∴BC …………8分
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,1251253,0πππθπθ 2BC 12
,2125取得最大值时，即当πθππθ==+∴， …………10分 此时12
tan 112tan 26tan ,12tan tan 2ππππθ-=== k （或由)64tan(12
tan πππ-=求k ） （舍去）或解得3232,1233
2--=-=-=∴k k k k
32-=∴k .
…………12分。