度辽宁省五校上学期高三年级期末考试(理)

2007-2008学年度辽宁省五校上学期高三年级期末考试
数学试题（理科）
1．已知集合},12|{},04|{2
Z k k x x Q x x P ∈+==<-=，则=Q P （ ）
A ．}1,1{-
B ．]1,1[-
C ．}3,1,3,1{--
D ．}3,3{-
2．已知双曲线离心率为2，焦点是)4,0(-和)4,0(，则双曲线方程为
（ ）
A ．
112422=-y x B ．141222=-y x C ．112
42
2=-x y D ．14
122
2=-x y 3
．若
cos 2πsin 4αα=⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭cos sin αα+的值为
（ ）
A
．-
B ．12
-
C ．
12
D
4．已知)1,(),2,1(x ==，且b a 2+与b a -2平行，则x 等于 （ ）
A ．1
B ．2
C ．
31 D ．1
2
5．已知数列{n a }的前n 项和2
9n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =
（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
6．“2
1
=
m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的
（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
7．在下列命题中，真命题的是
（ ）
A ．若直线n m ,都平行于平面α，则n m //
B ．设βα--l 是直二面角，若直线l m ⊥，则β⊥m
C ．若直线n m ,在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且n m ⊥，则n 在α内或n 与α平行
D ．设n m ,是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α相交
8．圆0122
2=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是 （ ）
A ．21
)2()3(22=
-++y x
B ．21)2()3(22=
++-y x
C ．2)2()3(2
2
=-++y x
D ．2)2()3(2
2
=++-y x 9．当10≤<x 时，下列不等式正确的是
（ ）
A ．22
2
sin sin sin x x x x x x ≤
⎪⎭⎫ ⎝⎛< B ．2
22
sin sin sin x x x x x x ≤<⎪⎭⎫
⎝⎛
C ．2
2
2sin sin sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛<≤x x x x x x D ．x x x x x x sin sin sin 2
22
≤<⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 10．已知定义在R 上的函数)(x f 的图象关于点)0,43(-
对称，且满足)2
3
()(+-=x f x f ，1)1(=-f ，2)0(-=f ，则)2008()3()2()1(f f f f ++++ 的值为
（ ）
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
11．将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，
，，，若22≠a ，44≠a ，66≠a ，且642a a a <<，则不同的排列方法种数为
（ ）
A ．24
B ．30
C ．36
D ．48
12．已知12
121212111112111022122111121120120)1()1()1()1()(x C a x x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-+-= ，
其中数列)0(,,,,012210≠a a a a a 是公差不为0的等差数列，则对于任何实数x ，)(x p 是关于x 的（ ）次多项式.
（ ）
A ．12
B ．11
C ．1
D ．0
二、填空题：
13．2z x y =+中的x y ，满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≥-≥+-0030
52y x x y x ，则z 的最小值是 ．
14．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm ，
那么该棱柱的表面积为 cm 2． 15．2
2
sin 2sin lim
2
--→x x x x = ．
16．设集合}32
5
),3(|1|)3(|),{(≤≤-
++-+==y y y y x y x M ，若M b a ∈),(且对M
中的其它元素),(d c ，总有a c ≥，则=a ． 三、解答题：
17．（本大题满分12分）
如图，在矩形ABCD 中，E a BC AB ,22==为AB 中点，将B 点沿线段EC 折起至点P ，连结PD PC PA ,,，取PD 的中点F 。

（1）求证：//AF 平面PEC ；
（2）若平面⊥PEC 平面AECD ，求异面直线CD PE ,
所成的角；
（3）在条件（2）下，求F 点到平面PEC 的距离。

18．（本大题满分12分）
如图，某农场要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10000米2
，鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2米的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各多少米时，占地总面积最少？
19．（本大题满分12分）
设函数b x a ax x x f +-+-
=223
323
1)()10(<<a （1）求函数)(x f 的单调区间，并求函数)(x f 的极大值；
（2）当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|成立，求a 的取值范围. 20．（本大题满分12分）
已知)sin 3,cos 2(ααA ，)sin 3,cos 2(ββB ），)0,1(-C 是平面上三个不同的点，若存在λ，使得λ=，试求λ的取值范围. 21．（本大题满分12分）
平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A （1，0）、B （0，－2），点C 满足
,OB OA OC βα+=其中α、R ∈β且12=-βα.
（1）求点C 的轨迹方程；
（2）设点C 的轨迹与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 交于两点M 、N ，且以MN 为直径的
圆过原点，求证：
2
21
1b a +
为定值； （3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于2
3
，求椭圆实轴长的取值范围. 22．（本大题满分14分）
已知函数),2(1])1[(3)(13
1N n n x a a t x a x f n n n ∈≥+-+-=+-，在数列{}n a 中，
t a =1，22t a =，其中1,0≠>t t ，又t x =是函数)(x f 的一个极值点.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若221<<t ，)(1
22*∈+=N n a a b n n n ，求证：2321221111n
n
n b b b b --<++++ .。