2017高考数学一轮复习课件：第2章 函数的概念与性质、基本初等函数 第10讲
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第二十五页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
y＝xn(n>0) __增__函_数_____
增长速度
_越__来_越__快___ _
_越__来_越__慢____
相对平稳
图象的 变化
随x值增大， 图象与
____y轴_____ _接近平行
随x值增大,图象 与___x轴_______
接近平行
随n值变化而 不同
第三页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
1．辨明两个易误点 (1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的 定义域． (2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结 果对实际问题的合理性．
第二章 函数的概念与性质、基本初等函数
第10讲 函数模型及其应用
第一页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
1．几种常见的函数模型
函数模型
函x＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 对数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数， a>0且a≠1，b≠0)
第二十四页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
解: (1)证明：生产 a 千克该产品，所用的时间是ax小时，所获
得的利润为 1005x＋1－3x·ax. 所以，生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a5＋1x－x32元．
(2)生产 900 千克该产品，所用的时间是9x00小时，
获得的利润为 90 0005＋1x－x32，1≤x≤10.
平均每天支付的总费用为 y2，
则
y2
＝
1 x
(3x2
－
3x
＋
300)
＋
200×1.8×0.85
＝
300 x
＋
3x
＋
303(x≥25)．
令 f(x)＝3x00＋3x(x≥25)，
因为 f′(x)＝－3x020＋3，
所以当 x≥25 时，f′(x)>0，
即函数 f(x)与 y2 在 x≥25 时是增函数． 所以当 x＝25 时，y2 取得最小值，最小值为 390. 因为 390<417，所以该厂应考虑利用此优惠条件．
第十七页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
解: (1)选 C.当 x∈[0，4]时，设 y＝k1x，把(4，320)代入，得
k1＝80，所以 y＝80x.
当 x∈[4，20]时，设 y＝k2x＋b.把(4，320)，(20，0)代入得
4k2＋b＝320，解得k2＝－20，
20k2＋b＝0，
b＝400.
第十三页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
综上可知，s 随 t 变化的规律是
32t2，t∈[0，10]， s＝ 30t－150，t∈（10，20]，
－t2＋70t－550，t∈（20，35].
(3)当 t∈[0，10]时，smax＝32×102＝150<650， 当 t∈(10，20]时，smax＝30×20－150＝450<650， 当 t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得 t＝30 或 t＝ 40(舍去)， 即在台风发生 30 小时后将侵袭到 N 城．
第二十页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
解: (1)设该厂 x(x∈N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费
用最少，平均每天支付的总费用为 y1. 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝
6(元)，
所以 x 天饲料的保管费与其他费用共是
6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．
第九页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一 个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋ 20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企业 一个月应生产该商品数量为___1_8____万件． 解析: 利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时， L(x)有最大值．
从而有
y1
＝
1 x
(3x2
－
3x
＋
300)
＋
200×1.8
＝
300 x
＋
3x
＋
357≥417，当且仅当30x0＝3x，即 x＝10 时，y1 有最小值．
故该厂 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最
少．
第二十一页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
(2)设该厂利用此优惠条件，每隔 x 天(x≥25)购买一次饲料，
第十一页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
(2016·杭州七校联考)据气象中心 观察和预测：发生于沿海 M 地的台风一直 向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时 间 t(h)的函数图象如图所示，过线段 OC 上 一点 T(t，0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的 面积即 t(h)内台风所经过的路程 s(km)． (1)当 t＝4 时，求 s 的值； (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km，试判断这 场台风是否会侵袭到 N 城，如果会，在台风发生后多长时间 它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由．
x－700，x∈N*，x>100.
②设每张门票价格提高为 m 元，根据题意，得 m×20－50 20
－500≥0，所以 m≥25＋5 5≈36.2，故每张门票最少要 37
元．
第十九页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
考点二 函数 y＝x＋ax(a>0)模型 (2016·宁波质检)某养殖厂需定期购买饲料，已知该 厂每天需要饲料 200 千克，每千克饲料的价格为 1.8 元，饲料 的保管费与其他费用平均每千克每天 0.03 元，购买饲料每次 支付运费 300 元． (1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用 最少； (2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于 5 吨时， 其价格可享受八五折优惠(即为原价的 85%)．问：该厂是否 应考虑利用此优惠条件？请说明理由．
第四页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
2．解决实际应用问题的四大步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：
所以 y＝400－20x.
所以 y＝f(x)＝8400x0，－02≤0x，x≤44<，x≤20.
由 y≥240，得080≤x≥x≤244，0 或44<00x－≤2200x，≥240.
解得 3≤x≤4 或 4<x≤8，所以 3≤x≤8.
故第二次服药最迟应在当日下午 4：00，故选 C.
第十八页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
C．下午 4：00
D．下午 6：00
第十六页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
(2)(2016·郑州模拟)设某旅游景点每天的固定成本为 500 元， 门票每张为 30 元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算 术平方根成正比．一天购票人数为 25 时，该旅游景点收支平 衡；一天购票人数超过 100 时，该旅游景点须另交保险费 200 元．设每天的购票人数为 x，盈利额为 y 元． ①求 y 与 x 之间的函数关系； ②该旅游景点希望在人数达到 20 人时就不出现亏损，若用提 高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元(取整数)？(参 考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 5≈2.24)
第二十二页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
(1)解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然 后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋ax”型 函数模型. (2)对于 y＝x＋ax(a>0，x>0)类型的函数最值问题，要特别注意 定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满 足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数 的单调性．
第十四页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
把实际问题数学模型化一定要过好三关 (1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实 际背景，为解题找出突破口； (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用 数学式子表达数学关系； (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行 检索，从而认定或构建相应的数学模型.
第十五页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
1.(1)某种新药服用 x 小时后
血液中的残留量为 y 毫克，如图所示为函
数 y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于 240 毫克时，
治疗有效．设某人上午 8：00 第一次服药，为保证疗效，则
第二次服药最迟的时间应在( C )
A．上午 10：00
B．中午 12：00
年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总
值的年平均增长率为( D ) p＋q
A. 2
（p＋1）（q＋1）－1
B.
2
C. pq
D. （p＋1）（q＋1）－1
解析:设年平均增长率为 x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，所以 x
＝ （1＋p）（1＋q）－1.
第七页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0， n≠0)
第二页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
2.三种函数模型性质比较
在(0,＋∞) 上的单
调性
y＝ax(a>1) _增__函_数_____
_
y＝logax(a>1) _增__函__数_____
第五页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
1．(必修 1 P107 习题 3.2A 组 T3 改编)一根蜡烛长 20 cm，点 燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为图中的( B )
第六页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
2．(2014·高考湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一
3.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积
不小于 300 m2 的内接矩形花园(阴影部分)，则其边
长 x(单位：m)的取值范围是( C )
A．[15，20]
B．[12，25]
C．[10，30]
D．[20，30]
第八页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
解析:设矩形的另一边长为 y m， 则由三角形相似知，4x0＝404－0 y， 所以 y＝40－x. 因为 xy≥300，所以 x(40－x)≥300， 所以 x2－40x＋300≤0， 所以 10≤x≤30.
第二十三页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
2.(2016·温州八校联考)甲厂以 x 千克/小时的速度 匀速生产某种产品(生产条件为 1≤x≤10)，每小时可获得的
利润是 1005x＋1－3x元． (1)求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a5＋1x－x32
元； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该 选取何种生产速度？并求此最大利润．
第十页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
考点一 一次函数与二次函数模型(高频考点) 高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数 等知识交汇，以解答题为主要形式出现． 高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题 角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．
第十二页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
解: (1)由图象可知，直线 OA 的方程是 v＝3t，直线 BC 的方 程是 v＝－2t＋70. 当 t＝4 时，v＝12，所以 s＝12×4×12＝24. (2)当 0≤t≤10 时，s＝12×t×3t＝32t2； 当 10<t≤20 时，s＝12×10×30＋(t－10)×30＝30t－150； 当 20<t≤35 时，s＝150＋300＋12×(t－20)×(－2t＋70＋30) ＝－t2＋70t－550.
(2)①根据题意，当购票人数不多于 100 时，可设 y 与 x 之间
的函数关系为 y＝30x－500－k x(k 为常数，k∈R 且 k≠0)，
因为人数为 25 时，该旅游景点收支平衡，所以 30×25－500
－k 25＝0，解得 k＝50.
30x－50 x－500，x∈N*，x≤100，
所以 y＝ 30x－50
y＝xn(n>0) __增__函_数_____
增长速度
_越__来_越__快___ _
_越__来_越__慢____
相对平稳
图象的 变化
随x值增大， 图象与
____y轴_____ _接近平行
随x值增大,图象 与___x轴_______
接近平行
随n值变化而 不同
第三页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
1．辨明两个易误点 (1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的 定义域． (2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结 果对实际问题的合理性．
第二章 函数的概念与性质、基本初等函数
第10讲 函数模型及其应用
第一页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
1．几种常见的函数模型
函数模型
函x＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 对数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数， a>0且a≠1，b≠0)
第二十四页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
解: (1)证明：生产 a 千克该产品，所用的时间是ax小时，所获
得的利润为 1005x＋1－3x·ax. 所以，生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a5＋1x－x32元．
(2)生产 900 千克该产品，所用的时间是9x00小时，
获得的利润为 90 0005＋1x－x32，1≤x≤10.
平均每天支付的总费用为 y2，
则
y2
＝
1 x
(3x2
－
3x
＋
300)
＋
200×1.8×0.85
＝
300 x
＋
3x
＋
303(x≥25)．
令 f(x)＝3x00＋3x(x≥25)，
因为 f′(x)＝－3x020＋3，
所以当 x≥25 时，f′(x)>0，
即函数 f(x)与 y2 在 x≥25 时是增函数． 所以当 x＝25 时，y2 取得最小值，最小值为 390. 因为 390<417，所以该厂应考虑利用此优惠条件．
第十七页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
解: (1)选 C.当 x∈[0，4]时，设 y＝k1x，把(4，320)代入，得
k1＝80，所以 y＝80x.
当 x∈[4，20]时，设 y＝k2x＋b.把(4，320)，(20，0)代入得
4k2＋b＝320，解得k2＝－20，
20k2＋b＝0，
b＝400.
第十三页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
综上可知，s 随 t 变化的规律是
32t2，t∈[0，10]， s＝ 30t－150，t∈（10，20]，
－t2＋70t－550，t∈（20，35].
(3)当 t∈[0，10]时，smax＝32×102＝150<650， 当 t∈(10，20]时，smax＝30×20－150＝450<650， 当 t∈(20，35]时，令－t2＋70t－550＝650，解得 t＝30 或 t＝ 40(舍去)， 即在台风发生 30 小时后将侵袭到 N 城．
第二十页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
解: (1)设该厂 x(x∈N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费
用最少，平均每天支付的总费用为 y1. 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝
6(元)，
所以 x 天饲料的保管费与其他费用共是
6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．
第九页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一 个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋ 20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企业 一个月应生产该商品数量为___1_8____万件． 解析: 利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时， L(x)有最大值．
从而有
y1
＝
1 x
(3x2
－
3x
＋
300)
＋
200×1.8
＝
300 x
＋
3x
＋
357≥417，当且仅当30x0＝3x，即 x＝10 时，y1 有最小值．
故该厂 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最
少．
第二十一页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
(2)设该厂利用此优惠条件，每隔 x 天(x≥25)购买一次饲料，
第十一页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
(2016·杭州七校联考)据气象中心 观察和预测：发生于沿海 M 地的台风一直 向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时 间 t(h)的函数图象如图所示，过线段 OC 上 一点 T(t，0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的 面积即 t(h)内台风所经过的路程 s(km)． (1)当 t＝4 时，求 s 的值； (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km，试判断这 场台风是否会侵袭到 N 城，如果会，在台风发生后多长时间 它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由．
x－700，x∈N*，x>100.
②设每张门票价格提高为 m 元，根据题意，得 m×20－50 20
－500≥0，所以 m≥25＋5 5≈36.2，故每张门票最少要 37
元．
第十九页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
考点二 函数 y＝x＋ax(a>0)模型 (2016·宁波质检)某养殖厂需定期购买饲料，已知该 厂每天需要饲料 200 千克，每千克饲料的价格为 1.8 元，饲料 的保管费与其他费用平均每千克每天 0.03 元，购买饲料每次 支付运费 300 元． (1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用 最少； (2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于 5 吨时， 其价格可享受八五折优惠(即为原价的 85%)．问：该厂是否 应考虑利用此优惠条件？请说明理由．
第四页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
2．解决实际应用问题的四大步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：
所以 y＝400－20x.
所以 y＝f(x)＝8400x0，－02≤0x，x≤44<，x≤20.
由 y≥240，得080≤x≥x≤244，0 或44<00x－≤2200x，≥240.
解得 3≤x≤4 或 4<x≤8，所以 3≤x≤8.
故第二次服药最迟应在当日下午 4：00，故选 C.
第十八页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
C．下午 4：00
D．下午 6：00
第十六页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
(2)(2016·郑州模拟)设某旅游景点每天的固定成本为 500 元， 门票每张为 30 元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算 术平方根成正比．一天购票人数为 25 时，该旅游景点收支平 衡；一天购票人数超过 100 时，该旅游景点须另交保险费 200 元．设每天的购票人数为 x，盈利额为 y 元． ①求 y 与 x 之间的函数关系； ②该旅游景点希望在人数达到 20 人时就不出现亏损，若用提 高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元(取整数)？(参 考数据： 2≈1.41， 3≈1.73， 5≈2.24)
第二十二页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
(1)解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然 后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋ax”型 函数模型. (2)对于 y＝x＋ax(a>0，x>0)类型的函数最值问题，要特别注意 定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满 足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数 的单调性．
第十四页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
把实际问题数学模型化一定要过好三关 (1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实 际背景，为解题找出突破口； (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用 数学式子表达数学关系； (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行 检索，从而认定或构建相应的数学模型.
第十五页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
1.(1)某种新药服用 x 小时后
血液中的残留量为 y 毫克，如图所示为函
数 y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于 240 毫克时，
治疗有效．设某人上午 8：00 第一次服药，为保证疗效，则
第二次服药最迟的时间应在( C )
A．上午 10：00
B．中午 12：00
年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总
值的年平均增长率为( D ) p＋q
A. 2
（p＋1）（q＋1）－1
B.
2
C. pq
D. （p＋1）（q＋1）－1
解析:设年平均增长率为 x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，所以 x
＝ （1＋p）（1＋q）－1.
第七页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0， n≠0)
第二页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
2.三种函数模型性质比较
在(0,＋∞) 上的单
调性
y＝ax(a>1) _增__函_数_____
_
y＝logax(a>1) _增__函__数_____
第五页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
1．(必修 1 P107 习题 3.2A 组 T3 改编)一根蜡烛长 20 cm，点 燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为图中的( B )
第六页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
2．(2014·高考湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一
3.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积
不小于 300 m2 的内接矩形花园(阴影部分)，则其边
长 x(单位：m)的取值范围是( C )
A．[15，20]
B．[12，25]
C．[10，30]
D．[20，30]
第八页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
解析:设矩形的另一边长为 y m， 则由三角形相似知，4x0＝404－0 y， 所以 y＝40－x. 因为 xy≥300，所以 x(40－x)≥300， 所以 x2－40x＋300≤0， 所以 10≤x≤30.
第二十三页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
2.(2016·温州八校联考)甲厂以 x 千克/小时的速度 匀速生产某种产品(生产条件为 1≤x≤10)，每小时可获得的
利润是 1005x＋1－3x元． (1)求证：生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a5＋1x－x32
元； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该 选取何种生产速度？并求此最大利润．
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考点一 一次函数与二次函数模型(高频考点) 高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数 等知识交汇，以解答题为主要形式出现． 高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题 角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．
第十二页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
解: (1)由图象可知，直线 OA 的方程是 v＝3t，直线 BC 的方 程是 v＝－2t＋70. 当 t＝4 时，v＝12，所以 s＝12×4×12＝24. (2)当 0≤t≤10 时，s＝12×t×3t＝32t2； 当 10<t≤20 时，s＝12×10×30＋(t－10)×30＝30t－150； 当 20<t≤35 时，s＝150＋300＋12×(t－20)×(－2t＋70＋30) ＝－t2＋70t－550.
(2)①根据题意，当购票人数不多于 100 时，可设 y 与 x 之间
的函数关系为 y＝30x－500－k x(k 为常数，k∈R 且 k≠0)，
因为人数为 25 时，该旅游景点收支平衡，所以 30×25－500
－k 25＝0，解得 k＝50.
30x－50 x－500，x∈N*，x≤100，
所以 y＝ 30x－50