2007-度江苏省淮安市高一数学第二学期期末调查测试试卷

江苏省淮安市2007-2008学年度高一数学第二学期期末调查测试试卷
本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

1、不等式0652
<--x x 的解集为 ；
2、已知等差数列}{n a 中，,157=a 则=++++119753a a a a a ；
3、两条平行直线072:,032:21=++=-+y x l y x l 之间的距离是 ；
4、已知正三棱锥P —ABC 中，侧棱030,=∠=APB a PA ，D 、E 分别是侧棱PB 、PC 上的点，则ADE ∆的周长的最小值是 ；
5、在A B C ∆中，已知角A 、B 、C 对应的三边分别为c b a ,,，满足ab c b a c b a 3))((=-+++，则角C 的大小等于 ；
6、在A
B C ∆中，已知角A 、B 、C 对应的三边分别为c b a ,,，满足B b A a cos cos =，则A B C ∆的形状是 ；
7、已知圆C 的方程是1)3()2(2
2=++-y x ，则与圆C 关于直线0=+y x 对称的圆的方程
为 ；
8、若R y x ∈,，且52=+y x ，则y
x
93+的最小值是 ；
9、一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且过同一个顶点的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积是 ；
10、已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤-≥+3022y y x y x ，则y x z -=2的最小值是 ；
11、已知正四棱锥P —ＡＢＣＤ的主视图和左视图均为边长是２的正三角形，俯视图是边长为２的正方形，则此正四棱锥的体积是 ；
12、图（1）是一个边长为1的正三角形，将其每边三等分，以中间一段为边，向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2） ，如此继续下去得图（3），图（4），……，则图)(n 中对应图形的周长是 ；
13、已知钝角三角形ABC 的最大边长是2，其余两边长分别是b a ,，则集合,|),{(a x y x P ==
}b y =所表示的平面图形的面积是 ；
14、已知n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，给出如下命题： （1）若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//；（2）若n m m ⊥⊥,α，则α//n ； （3）若βαβα⊂⊂n m ,,//，则n m //； （4）若,,//α⊥n n m 则α⊥m 。

其中正确命题的序号是 ； 15、（本题满分14分）已知二次函数)(x f y =图像的顶点是（—1，3），又4)0(=f ，一次函数)(x g y =的图像过（—2，0）和（0，2）。

（1）求函数)(x f y =和函数)(x g y =的解析式； （2）当0>x 时，试求函数2
)()
(-=x g x f y 的最小值；
16、（本题满分14分）已知直线a y x a l 354)3(:1-=++与8)5(2:2=++y a x l ，则当a 为何值时，直线21l l 与：
(1)平行？（2）垂直？（3）相交且交点在x 轴上方?
17、（本题满分14分）在ABC ∆中，已知10
10
3cos ,552cos =
=B A 。

（1）求角C 的大小；
（2）若ABC ∆最大边的边长为10，求ABC ∆得面积；
18、（本题满分16分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点，
Ｅ为BC 的中点。

（1）求证：⊥BD 平面E AB 1；
（2）求直线1AB 与平面C C BB 11所成角的正弦值； （3）求三棱锥C —ABD 的体积。

19、（本题满分16分）已知点O 为坐标原点，圆C 过点（1，1）和点（—2，4），且圆心在y 轴上。

（1）求圆C 的标准方程；
（2）如果过点P （1，0）的直线l 与圆C 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围；
（3）如果过点P （1，0）的直线l 与圆C 交于A 、B 两点，且32||=AB ，试求直线l 的方程。

20、（本题满分16分）
已知数列}{n a 的前n 项和2
n S n =，数列}{n b 满足n
a n
b )2
1(=
（1）求数列}{n a 的通项公式n a ； （2）求数列}{n b 的前n 项和n T ；
（3）求证：不论n 取何正整数，不等式9
10
2211<
+++n n b a b a b a 恒成立 。

参考答案
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

只要求写出结果，不必写出计算和推理过程） 1.{16}x x -<<
2. 75
3.
5. 60°
6. 等腰三角形或直角三角形
7. 22(3)(2)1x y -++=
8. 9. 14π 10. 5-
11.
14
3()3
n -⨯ 13. π－2 14. （4）
二．解答题（本大题共6小题，共90分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）
（Ⅰ）设2()(1)3f x a x =++，∵(0)4f =，解得1a =
∴函数解析式为2()24f x x x =++， …………………………………………… 4分 又
122
x y
+=-，∴()2g x x =+ ………………………………………………… 8分
（Ⅱ）2()244
2()2f x x x y x g x x x
++===++- …………………………
10分
由于0x >，所以42y x x =+
+≥2x x
+＝6 当且仅当4
(0)x x x
=>，即x ＝2时y 取得最小值6 (14)
分
16. （本小题满分14分）
（Ⅰ）由()()()()3580
832530
a a a a ++-=⎧⎪⎨+--≠⎪⎩，得7a =-……………………………………………………
5分
（Ⅱ）由2(3)4(5)0a a +++=得13
3
a =- ………………………………………… 10分 （Ⅲ）由(3)4532(5)8
a x y a
x a y ++=-⎧⎨++=⎩，消去x 得2(87)14(1)a a y a ++=+
即14
0107
y a a =>+≠+且，∴71a a >-≠-且 …………………………… 14分
17．（本小题满分14分） （Ⅰ）
由cos 5
A =
知sin A =， (2)
分
由
cos B =
知
sin 10
B =
, ………………………………………… 4分 ∴sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+
=
=
………………………………………… 6分
∵由条件知,6
3
A B π
π
<<
，∴4
A B π
+=
，即34
C π
=
………………………………… 8分
（Ⅱ）由正弦定理
sin sin sin a b c A B C ==
== ………………………… 10分
解得2,a b ==……………………………………………………………
12分
A
B
C
D
1A
1
C
1
B
E
∴11sin 21222
ABC S ab C ∆==⨯= ……………………………… 14分
18．（本小题满分16分）
（Ⅰ）∵棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，且E 为BC 的中点， ∴平面ABC ⊥平面11BCC B ，又,AE BC ⊥∈且A E 平面A BC ， ∴11AE BCC B ⊥平面， ……………………… 2分 而D 为1CC 中点，且11BD BCC B ∈平面，
∴AE BD ⊥ …………………………………… 4分
由棱长全相等知1Rt BCD Rt B BE ∆≅∆，即111+=+90CBD B EB BB E B EB ∠∠∠∠=︒，故1BD B E ⊥ 又1AE B E E =，
∴BD 1⊥平面AB E ； ………………………………… 6分
（Ⅱ）由11AE BCC B ⊥平面知1AB E ∠是直线1AB 与平面11BB C C 所成的角，设为θ……… 8分
∵正三棱柱
111ABC A B
C -的所有棱长都为2 ∴在
1AB E ∆中1sin 4
AE AB θ===
……………………………………………
12分
（Ⅲ）C
ABD A CBD V V --= 11121332BCD S AE ∆=⋅=⨯⨯⨯ ……………………… 16分
19. （本小题满分16分）
（Ⅰ）∵点(1,1)和点(2,4)-连线段的中垂线方程是30x y -+=， ………………………… 2分
又其与y 轴交点为（0,3），而圆心同时在中垂线和y 轴上
∴圆心坐标为（0,3），
圆半径r =………………………………… 4分
∴圆C 的标准方程是：22(3)5x y +-= ………………………………… 6分
（Ⅱ）设直线l 方程为(1)y k x =-，即0kx y k --=，设点()0,3到此直线距离为d ，
则
由
d =
≤，即
22320k k --≥ ………………………………
8分 解得1
22
k k ≤-≥或 …………………………………………………
10分
（Ⅲ）设直线l 方程为(1)y k x =-，即0kx y k --= 则由圆心()0,3
到此直线距离为
d =
=
= ……………………
12分
解得 1,7k k =-= ………………………………………… 14分
故直线l 的方程是10770x y x y +-=--=或. …………………………… 16分
20. （本小题满分16分）
（Ⅰ）1n =时，11a = ………………………………………………… 2分
2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-， ………………………………………………
4分 故
()*21n a n n N =-∈ (6)
分
（Ⅱ）∵211
11()()2()2
24
n
a n n n
b -===⨯，∴数列｛n b ｝是以14为公比的等比数列. ……………
8分 ∴
2311
112()()()44
44n n T ⎡⎤=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦21(1)34n =- …………………………………
10分
（Ⅲ）记1122n n n M a b a b a b =++
+
即 2311
1
1213()5()(21)()444
4n n M n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+
+-⨯⎢⎥⎣
⎦
则
231111
1121()3()(23)()(21)()444
44n n n M n n +⎡⎤
=⨯+⨯+
+-⨯+-⨯⎢⎥⎣
⎦
作差得23131
1111212()2()2()(21)()
444444n n n M n +⎡⎤
=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯⎢⎥⎣
⎦
………12分
()1111()11442221()4414n n n +⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⨯---⨯⎢⎥-
⎢⎥⎣⎦
()154115()42()63446n n n +=---⨯<………………………
14分 故
10
9
n M <
. …………………………………………………………………16分。