数学分析16.2二元函数的极限

第十六章 多元函数的极限与连续
2二元函数的极限
一、二元函数的极限
定义1：设f 为定义在D ⊂R 2上的二元函数，P 0为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得 当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(P)-A|<ε，则称f 在D 上当P →P 0时以A 为极限，记作：D
P P P 0lim ∈→f(P)=A. 当明确P ∈D 时，也简写为0
P P lim →f(P)=A.
当P ,P 0分别以坐标(x,y), (x 0,y 0)表示时，也常写为)
y ,x ()y ,x (00lim
→f(P)=A.
例1：依定义验证：)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.
证：函数f(x,y)= x 2+xy+y 2定义R 2上. |x 2+xy+y 2-7|=|(x 2-4)+xy-2+(y 2-1)|
=|(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)|=|(x-2)(x+y+2)+(y-1)(y+3)| ≤|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|.
方法一：在点P 0(2,1)的δ方邻域中，
U ⁰(P 0;δ)内所有点组成的点集为：{(x,y)|0<|x-2|<δ, 0<|y-1|<δ}. ∴当点P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，有
|x 2+xy+y 2-7|≤|x-2|(|x-2|+|y-1|+5)+|y-1|(|y-1|+4)<δ(3δ+9)=3δ2+9δ. ∴∀ε>0，只要取δ=
6
12ε
189++->0，当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，就有
|x 2+xy+y 2-7|<ε，即)
1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.
方法二：先取δ=1，则U ⁰(P 0;1)内的点集为：{(x,y)|0<|x-2|<1, 0<|y-1|<1}.
于是有|y+3|≤|y-1|+4<5，|x+y+2|≤|x-2|+|y-1|+5<7. ∴|x 2+xy+y 2-7|≤7|x-2|+5|y-1|<7(|x-2|+|y-1|). ∴∀ε>0，只要取δ=min{1,
14
ε
}，则当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，就有 |x 2+xy+y 2-7|<ε，即)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.
例2：设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x y x xy 2222，
，，证明：)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0. 证：函数f(x,y)定义R 2上.
方法一：在方邻域U ⁰(O;δ)内的点集为{(x,y)|0<|x|<δ, 0<|y|<δ}.
又2222y x y x xy +-=|xy|2222y
x y x +-≤|xy|2xy y x 22-=2y x 2
2-≤2|y ||x |22+，
∴∀ε>0，只要取δ=ε，则当P(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有
2222y
x y x xy +-<δ2
=ε，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0. 方法二：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.
∵2222y
x y x xy +-=41r 2|sin4φ|≤41
r 2，∴∀ε>0，只要取δ=2ε，则
当0<r=22y x +<δ时，不管φ取什么值，都有|f(x,y)-0|<ε， ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.
定理16.5：D
P P P 0lim ∈→f(P)=A 的充要条件是：对于D 的任一子集E ，只要P 0
是E 的聚点，就有E
P P P 0lim ∈→f(P)=A.
证：[必要性]若D
P P P 0lim ∈→f(P)=A ，E ⊂D 以P 0为聚点，则∀ε>0，∃δ>0，
当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，有|f(P)-A|<ε，从而当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩E 时，仍有 |f(P)-A|<ε，∴E
P P P 0lim ∈→f(P)=A.
[充分性]若D
P P P 0
lim ∈→f(P)≡/ A ，则存在ε0>0，使得
对任意的n ，存在P n ∈U ⁰(P 0;n
1)∩D 满足|f(P n )-A|≥ε0. 令E={P n |n=1,2,…}，则E ⊂D 以P 0为聚点，对数列{f(P n )}有
E
P P P 0lim ∈→f(P)=∞
→n lim f(P n )≠A. 反之则有当E
P P P 0lim ∈→f(P)=A ，有D
P P P 0lim ∈→f(P)=A.
推论1：设E 1⊂D ，P 0是E 1的聚点，若1
0E P P P lim ∈→f(P)不存在，则D
P P P 0lim ∈→f(P)也不
存在.
推论2：设E 1,E 2⊂D ，P 0是它们的聚点，若存在极限
1
0E P P P lim ∈→f(P)=A 1, 2
0E P P P lim ∈→f(P)=A 2, 但A 1≠A 2, 则D
P P P 0lim ∈→f(P)不存在.
推论3：极限D
P P P 0lim ∈→f(P)存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件
P n ≠P 0, 且∞
→n lim P n =P 0的点列{P n }，它所对应的数列{f(P n )}都收敛.
证：[必要性]由定理16.5可知D
P P P 0lim ∈→f(P)=A ，即∞
→n lim f(P n )=A ，得证！
[充分性]设{P n }为D 中各项不同于P 0但收敛于P 0的点列，
记∞
→n lim f(P n )=A. 对任一D 中的点列{Q n }，Q n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，
作D 中的点列C n =⎩⎨
⎧=-=k
2n Q 1
k 2n P k k ，，，则C n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，
从而，∞
→n lim f(C n )存在，∴∞
→n lim f(P n )=∞
→k lim f(C 2k-1)=∞
→k lim f(C 2k )=∞
→n lim f(Q n )=A. 若D
P P P 0lim ∈→f(P)≠A ，则由定理16.5的充分性证明可知：
必存在D 中的一个点列{Q n }, Q n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，使得
∞
→n lim f(Q n )≠A ，矛盾！∴D
P P P 0lim ∈→f(P)=A 存在.
例3：讨论f(x,y)=
2
2y
x x y
+当(x,y)→(0,0)时是否存在极限. 解法一：当动点(x,y)沿着直线y=mx 趋近于(0,0)时， ∵f(x,y)=f(x,mx)=
2m
1m +，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0x lim →f(x,mx)=2m 1m
+. 显然， 当m 不同时，对应的极限值不同. ∴所讨论的极限不存在. 解法二：假设极限存在为A ，∵f(x,y)定义在R 2-(0,0)上， 又在{(x,y)|y=x, (x,y)≠(0,0)}上，f(x,y)=
22y x x y +=21，∴A=21
. 又在{(x,y)|y=2x, (x,y)≠(0,0)}上，f(x,y)=2
2y x x y +=5
2
≠A. 矛盾！ ∴所讨论的极限不存在.
例4：二元函数f(x,y)=⎩
⎨⎧+∞
<<-∞<<其余部分，，0x ,x y 012，讨论当(x,y)→(0,0)时
是否存在极限.
解：函数定义在R 2上，记E={(x,y)|0<y<x 2,-∞<x<+∞}, 显然
动点(x,y)在E 上沿着任何曲线趋于原点时,f(x,y)趋于0，而
在E c 上沿着任何曲线趋于原点时，f(x,y)趋于1. ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.
定义2：设D 为二元函数f 的定义域，P 0(x 0,y 0)为D 的一个聚点. 若对任何正数M ，总存在P 0的一个δ邻域，使得当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时， 都有f(P)>M 则称f 在D 上当P →P 0时，存在非正常极限+∞，记作：)
y ,x ()y ,x (00lim
→f(x,y)=+∞或 0
P
P lim →f(P)=+∞.
若f(P)<-M ，则0P P lim →f(P)=-∞；若|f(P)|<M ，则0
P P lim →f(P)=∞.
例5：设f(x,y)=
22y
32x 1
+，证明：)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=+∞. 解：函数定义在R 2-(0,0)上，在聚点O(0,0)的任一δ方邻域U ⁰(O;δ)内， {(x,y)|0<|x|<δ,0<|y|<δ}，∴22y 32x 1+>2
5δ1
，即对任意M>0，只要
取δ<
5M 1, 则当P(x,y)∈U ⁰(O;δ)，就有22y 32x 1+>2
5δ1>M ，即 )
0,0()y ,x (lim
→f(x,y)=+∞.
二 、累次极限
概念：f 两个自变量x,y 同时以任何方式趋于x 0,y 0的极限称为重极限； x 与y 依一定的先后顺序相续趋于x 0与y 0时f 的极限称为累次极限.
定义3：设f(x,y),(x,y)∈D ，D 在x 轴、y 轴上的投影分别为X,Y ，即 X={x|(x,y)∈D}, Y={y|(x,y)∈D}，x 0与y 0分别是X,Y 的聚点. 若
对每一个y ∈Y(y ≠y 0)，存在极限0
x x lim →f(x,y)，它一定与y 有关，故记作
φ(y)=0
x x lim →f(x,y)，若又存在极限L=0
y y lim →φ(y)，则称极限L 为
f(x,y)先对x(→x 0)，后对y(→y 0)的累次极限，记作L=0
x
x y y lim lim →→f(x,y).
类似地可定义先对y 后对x 的累次极限K=0
y
y x x lim lim →→f(x,y).
注：f 两个自变量x,y 同时以任何方式趋于x 0,y 0的极限称为重极限.
例6：证明f(x,y)=
2
2y x x y
+关于原点的两个累次极限都存在且相等. 证：(例3中已证(x,y)→(0,0)时,f 的重极限不存在.) 当y ≠0时，0
x lim →f(x,y)=220
x y
x x y
lim
+→=0；∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0； 当x ≠0时，0
y lim →f(x,y)=2
20
y y x x y
lim
+→=0；∴0y 0x lim lim →→f(x,y)=0，
∴0
x 0y lim lim →→f(x,y)=0
y 0x lim lim →→f(x,y)=0，得证！
例7：讨论f(x,y)=y
x y x y -x 2
2+++关于原点的重极限和两个累次极限.
解：在不同的直线y=mx 上，)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0x lim →f(x,mx)=
m
1m
-1+，显然 f(x,y)关于原点的重极限的取值与m 有关，∴不存在.
0x lim →f(x,y)=y x y x y -x lim
2
20x +++→=y-1；∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0y lim →(y-1)=-1. 0y lim →f(x,y)=y
x y x y -x lim
2
20y +++→=x+1；∴0y 0x lim lim →→f(x,y)=0y lim →(x+1)=1.
例8：讨论f(x,y)=xsin y 1+y sin x
1关于原点的重极限和两个累次极限. 解：∵|xsin y 1+ysin x 1|≤|x|+|y|，∴∀ε>0，总存在δ=2
ε，使得 当(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有|xsin y 1+ysin x
1|<2δ=ε，∴重极限存在等于0. 又对任何y ≠0，当x →0时，仅第二项不存在极限，同理 对任何x ≠0，当y →0时，仅第一项不存在极限， ∴两个累次极限都不存在.
定理16.6：若f(x,y)在点(x 0,y 0)存在重极限与累次极限0
y
y x x lim lim →→f(x,y)，则
它们必相等. 证：设
)
y ,x ()y ,x (00lim
→f(x,y)=A ，则∀ε>0，使得当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，有
|f(x,y)-A|<2
ε. 又对任一满足0<|x-x 0|<δ的x ，有0
y y lim →f(x,y)=φ(x)，即有 |f(x,y)-φ(x)|<2
ε，∴|f(x,y)-A|+|f(x,y)-φ(x)|<ε，又 |f(x,y)-A|+|f(x,y)-φ(x)|≥ |f(x,y)-A+φ(x)-f(x,y)|=|φ(x)-A|， ∴对任一满足0<|x-x 0|<δ的x ，|φ(x)-A|<ε，即0
x x lim →φ(x)=A ，
∴0
y y x x lim lim →→f(x,y)=)
y ,x ()y ,x (0
lim →f(x,y).
推论1：若两个累次极限和重极限都存在，则三者相等.
推论2：若两个累次极限都存在但不相等，则重极限必不存在.
习题
1、试求下列极限：
(1)2222)0,0()y ,x (y x y x lim +→；(2)2
22
2)0,0()y ,x (y x y x 1lim +++→；(3)1
y x 1y x lim 2222)0,0()y ,x (-+++→； (4)44)
0,0()y ,x (y
x 1x y lim
++→；(5)y 2x 1
lim )2,1()y ,x (-→；(6)22)0,0()y ,x (y x 1sin )y x (lim ++→； (7)2222)0,0()y ,x (y
x )
y x sin(lim ++→. 解：(1)当(x,y)≠(0,0)时，∵222
2y
x y x +≤2xy →0, (x,y)→(0,0)，
∴2
22
2)0,0()y ,x (y x y x lim +→=0. (2)222
2)0,0()y ,x (y x y x 1lim +++→=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++→1y x 1lim 22)0,0()y ,x (=+∞. (3)1
y x 1y x lim
2
2
22)
0,0()y ,x (-+++→=2
2
2222)
0,0()y ,x (y
x )
1y x 1)(y (x lim
+++++→
=()
1y x 1lim 22)
0,0()y ,x (+++→=2. (4)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则
(x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0. 又当(x,y)∈U ⁰(0;1)时，0<r<1，
∴44y x 1x y ++≥222)y (x |x y |1+-≥2
2222)
y 2(x )y x (2++-=42
2r r -2>42r 1→+∞ (r →0)； ∴4
4)0,0()y ,x (y
x 1
x y lim ++→=+∞. (5)∵
y 2x 1
-=2)
-y (1)-2(x 1-≥2-y 1-x 21+→∞, (x,y)→(1,2)，
∴y
2x 1
lim
)
2,1()y ,x (-→=∞. (6)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.
∵2
2y
x 1
sin
)y x (++=2r 1sin )φsin φ(cos r +=2r 1sin )φsin φ(cos r +≤2r →0. ∴2
2)
0,0()y ,x (y x 1
sin )y x (lim ++→=0. (7)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.
∴2222)0,0()y ,x (y
x )
y x sin(lim ++→=220r r r sin lim →=1.
2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：
(1)f(x,y)=222
y x y +；(2)f(x,y)=y 1sin x 1sin )y x (+；(3)f(x,y)=2
2222y)x (y x y x -+； (4)f(x,y)=y x y x 233++；(5)f(x,y)=x 1sin y ；(6)f(x,y)=332
2y
x y x +；(7)f(x,y)=sinxy e -e y x .
解：(1)∵2220y 0x y x y lim lim +→→=0x lim →0=0；222
0x 0y y
x y lim lim +→→=0y lim →1=1；
∴)
0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.
(2)当x ≠0时，y
1sin x 1sin )y x (lim 0y +→不存在； 当y ≠0时，y
1sin x
1sin )y x (lim 0
x +→也不存在； 又y
1
sin
x 1sin )y x (+≤|x|+|y|→0, (x,y)→(0,0)，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.
(3)222220y 0x y)x (y x y x lim lim -+→→=0x lim →0=0；2
222
20x 0y y)x (y x y x lim lim -+→→=0y lim →0=0；
又f(x,x)=1,(x ≠0)，f(x,0)=0, (x ≠0)，∵0
x lim →f(x,x)≠0
x lim →f(x,0)；
∴)
0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.
(4)y x y x lim lim 2330y 0x ++→→=0x lim →x=0；y
x y x lim lim 23
30x 0y ++→→=0y lim →y 2=0；
现让动点(x,y)沿曲线y=x 2(x 2-1)向点(0,0)移动，则有
0x lim →f(x,x 2
(x 2
-1))=)1-x (x x )1-x (x x lim 222
32630x ++→=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+→3220x )1-x (x x 1lim =∞≠0； ∴)
0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.
(5)x
1sin y lim lim 0
y 0x →→=0x lim →0=0；当y ≠0时，x
1sin y lim 0
x →不存在；
∴函数在点(0,0)累次极限x
1sin y lim lim 0
x 0y →→不存在.
又x
1
sin
y ≤|y|→0, (x,y)→(0,0)，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.
(6)∵33220y 0x y x y x lim lim +→→=0x lim →0=0；332
20x 0y y
x y x lim lim +→→=0y lim →0=0；
现让动点(x,y)沿曲线y=x(x-1)向点(0,0)移动，则有
0x lim →f(x,x(x-1))=333
240x )1-x (x x )1-x (x lim +→=3
2
0x )1-x (1)1-x (x lim +→=1≠0； ∴)
0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在. (7)∵sinx y e -e lim y x 0y →=∞；sinx y e -e lim y
x 0x →=∞； ∴sinx y e -e lim lim y x 0y 0x →→和sinx y
e -e lim lim y
x 0x 0y →→都不存在. 令动点(x,y)沿x 轴正向趋于(0,0)时，可知)0,0()y ,x (lim →f(x,y)也不存在.
3、证明：若)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，且y 在b 的某邻域内存在a x lim →f(x,y)=φ(y)，
则a
x b y lim lim →→f(x,y)=A.
证：由)
b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，∀ε>0，∃δ1>0，当0<|x-a|<δ1, 0<|y-b|<δ1, 且
(x,y)≠(a,b)时，有|f(x,y)-A|<2
ε
. 又由y 在b 的某邻域δ2内存在
a x lim →f(x,y)=φ(y)，即|f(x,y)-φ(y)|<2
ε
. 令δ=min{δ1, δ2}，当0<|y-b|<δ时， 令x →a ，就有|φ(y)-A|=|φ(y)-f(x,y)+f(x,y)-A|≤|φ(y)-f(x,y)|+|f(x,y)-A|<ε, 即b
y lim →φ(y)=a
x b y lim lim →→f(x,y)=A.
4、试应用ε-δ定义证明2
22)0,0()y ,x (y x y x lim +→=0.
证：∵当(x,y)≠(0,0)时，222y
x y x +≤2xy y x 2=2x
; ∴∀ε>0，∃δ=2ε>0，使得
当(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有222y x y x +<2δ=ε，∴222)0,0()y ,x (y
x y
x lim +→=0.
5、叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.
解：(1)二元函数极限的惟一性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)存在，则它
只有一个极限. 证明如下：
设A, B 都是二元函数f(x,y)在点P 0(a,b)处的极限，则∀ε>0，∃δ>0， 使得当(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(x,y)-A|<2
ε;|f(x,y)-B|<2
ε， ∴|A-B|=|A-f(x,y)+f(x,y)-B|≤|f(x,y)-A|+|f(x,y)-B|<ε； 又由ε的任意性知A=B ，得证！
(2)二元函数极限的局部有界性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，则存在
P 0(a,b)的某邻域U ⁰(P 0;δ)，使f(x,y)在U ⁰(P 0;δ)∩D 上有界. 证明如下： ∵)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，∴对ε=1，∃δ>0，使得当(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时， 就有|f(x,y)-A|<ε=1，即A-1<f(x,y)-A<A+1，得证!
(3)二元函数极限的局部保号性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A>0(或<0)，
则对任意正数r(0<r<|A|), 存在P 0(a,b)的某邻域U ⁰(P 0;δ)，使得 对一切(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，恒有f(x,y)>r>0(或f(x,y)<-r<0). 证明如下： 设A>0，取ε=A-r>0，则∃δ>0，使得对一切(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，有 |f(x,y)-A|<ε=A-r ，即f(x,y)>A-(A-r)=r>0，得证! 同理可证A<0的情形.
6、试写出下列类型极限的精确定义： (1)
)
,()y ,x (lim
+∞+∞→f(x,y)=A ；(2)
)
,0()y ,x (lim
+∞→f(x,y)=A.
解：(1)设f 为D 上的函数，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在正数M ，使得当(x,y)∈D, 且x>M, y>M 时，恒有|f(x,y)-A|<ε， 则称当(x,y)→(+∞,+∞)时，f(x,y)以A 为极限，记作：
)
,()y ,x (lim
+∞+∞→f(x,y)=A.
(2)设f 为D 上的函数，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在正数δ，使得当(x,y)∈D, 且0<|x|<δ, y>δ
1
时，恒有|f(x,y)-A|<ε， 则称当(x,y)→(0,+∞)时，f(x,y)以A 为极限，记作：)
,0()y ,x (lim
+∞→f(x,y)=A.
7、试求下列极限：
(1)4
422),()y ,x (y x y x lim +++∞+∞→；(2)),()y ,x (lim
+∞+∞→(x 2+y 2)e -(x+y)
； (3)xsiny
),()y ,x (xy 11lim ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
+∞+∞→；(4)
y
x x )
0,()y ,x (2x 11lim
++∞→⎪
⎭⎫
⎝⎛+.
解：(1)当x>0, y>0时，4422y x y x ++≤222
2y
2x y x +=222x 12y 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞)，
∴4
42
2),()y ,x (y x y x lim +++∞+∞→=0.
(2)当x,y 充分大时，e x >x 2, e y >y 2， ∴|(x 2
+y 2
)e -(x+y)
|<2222y
x y x +=22x 1y 1
+→0, (x,y)→(+∞,+∞)，
∴)
,()y ,x (lim
+∞+∞→(x 2+y 2)e -(x+y) =0.
(3)
xsiny
),()y ,x (xy 11lim
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++∞+∞→=
y
siny ),()y ,x (xy ),()y ,x (xy 11lim xy 11lim
⋅
+∞+∞→+∞+∞→⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =e ·1=e.
(4)∵x
)0,()y ,x (x 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→=e ，∴y
x x )
0,()y ,x (2
x 11lim ++∞→⎪⎭
⎫
⎝⎛+=y
x x )
0,()y ,x (e lim
++∞→= e.
8、试作一函数f(x,y)使当x →+∞,y →+∞时， (1)两个累次极限存在而重极限不存在； (2)两个累次极限不存在而重极限存在； (3)重极限与累次极限都不存在；
(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在.
解：(1)函数f(x,y)=222
y
x x + ，满足+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)=0; +∞→+∞→x y lim lim f(x,y)=1；
∴
)
,()y ,x (lim
+∞+∞→f(x,y)不存在.
(2)f(x,y)=x y
y
x +sinxsiny ，满足+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)和+∞→+∞→x y lim lim f(x,y)都不存在.
而|x y y x +sinxsiny|≤xy y x +=y
1
x 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞). ∴
)
,()y ,x (lim
+∞+∞→f(x,y)=0.
(3)函数f(x,y)=sinxsiny 满足当(x,y)→(+∞,+∞)时，三个极限都不存在. (4)函数f(x,y)=y
1
sinx 满足：+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)=0；+∞
→+∞→x y lim lim f(x,y)不存在；
而∴)
,()y ,x (lim
+∞+∞→f(x,y)=0.
9、证明：定理16.5及其推论3. 证：见定理16.5及其推论3.
10、设f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U ⁰(P 0)上有定义，且满足： (1)在U ⁰(P 0)上，对每个y ≠y 0, 存在极限0
x x lim →f(x,y)=ψ(x)；
(2)在U ⁰(P 0)上，关于x 一致地存在极限0
y y lim →f(x,y)=φ(x).
试证明：0
y y x x lim lim →→f(x,y)=0
x
x y y lim lim →→f(x,y).
证：由条件(1)知, ∀ε>0，∃δ>0，对每个y ≠y 0，只要(x,y)∈U ⁰(P 0,δ1)， 就有|f(x,y)-ψ(x)|<3
ε
；由条件(2)知，对上面的ε，∵0<|y-y 0|<δ， ∴对所有x ，只要(x,y)∈U ⁰(P 0)，就有|f(x,y)-φ(x)|<3
ε. ∴0
x x y y lim lim →→f(x,y)存在，记为A ，则|0
x
x lim →f(x,y)-A|=|ψ(x)-A|<3
ε， 又|φ(x)-A|≤|f(x,y)-φ(x)|+|f(x,y)-ψ(x)|+|ψ(x)-A|<3ε
+3ε+3
ε=ε， ∴0
x x lim →φ(x)=A ，即0
y y x x lim lim →→f(x,y)=0
x
x y y lim lim →→f(x,y).。