2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题 (8)

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案的选项填涂在答题卡上.）
1.有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知是指数函数；则是增函数”的结论显然是错误的，这是因为
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 非以上错误
【答案】A
【解析】
“指数函数都是增函数”是错误的,即大前提错误,故选A.
2.若，则是的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：当时可得到，反之不成立，所以是的充分不必要条件
考点：充分条件与必要条件
3.下列结论，不正确的是（）
A. 若是假命题，是真命题，则命题为真命题.
B. 若是真命题，则命题和均为真命题.
C. 命题“若，则”的逆命题为假命题.
D. 命题“，”的否定是“，”.
【答案】C
【解析】
A. 若是假命题，是真命题，则命题为真命题.该命题正确.
B. 若是真命题，则命题和均为真命题.该命题正确.
C. 命题“若，则”的逆命题为“若，则”，
该命题为真命题.原命题错误.
D. 命题“，”的否定是“，”.该命题正确.
本题选择C选项.
4.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）
A. 2
B.
C.
D. 1
【答案】D
【解析】
由题得,所以,
所以切线方程为
当x=0时，y=2;当y=0时，x=1.
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为，故选D.
5.已知函数，则其导函数fˊ(x)的图象大致是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，是偶函数，排除A，B，又，排除D，故选C．6.图中阴影部分的面积总和可以用定积分表示为（）
A. B.
C. -+-
D. ++
【答案】C
【解析】
【分析】
根据定积分的几何意义解答即可．
【详解】由定积分的几何意义知，曲线y＝f（x）与直线x＝a，x＝d（a≠d），x轴所围成的面积代数和为-+-.
故选：C．
【点睛】本题考查定积分在求面积中的应用，解题时要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负，属于基础题．
7.已知是双曲线的一个焦点，点到的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
设一条渐近线方程为，，则点到的一条渐近线的距离，则双曲线的离心率，故选C.
8.已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点,若为直角三角形，其中为直角顶点，则（）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
由题可得，抛物线的焦点为, 准线x=-.所以其准线与双曲线相交于.
因为为直角三角形,其中为直角顶点，所以，解得.故选A．
9.经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线，交椭圆于，两点，设为坐标原点，则等于（）
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】
由，得，焦点为设直线过右焦点，倾斜角为
，直线的方程为代入得即设
则
故选B
点睛：本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决．
10.在正四棱锥中，为顶点在底面的射影，为侧棱的中点，且，则直线
与平面所成的角是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），P（0，
设平面PAC的法向量为则可求得则
∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°．
故选D．
点睛：本题考查了直线与平面所成的角的概念及利用空间向量的方法求解空间中的直线与平面的夹角，注意计算的准确性.
11.在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的距离是（）
A. 1
B.
C.
D. 2
【答案】B
【解析】
试题分析：以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱
中，若，点是的中点，所以，
所以，设平面的法向量为，因为
，所以，所以，所以点到平面的距离是，故选B．
考点：点到平面的距离的求解．
【方法点晴】本题主要考查了点到平面的距离问题，其中解答中涉及到空间向量的应用、平面法向量的求解、点、线、面的位置关系的判定等知识点综合考查，解答中要认真审题，合理地运用空间向量法进行合理求解，其中向量法是求解点到平面距离问题的一种常用方法，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．
12.已知函数的定义域为，是的导函数，且满足，则不等式
的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设
所以函数在上是减函数，因为，所以
（x+1），
故选B.
点睛：本题的关键是观察和联想.一是看到要联想到商的导数，从而构造函数.二是看到联想到前面的单调性，想到在不等式的两边同时乘以(x+1). 数学里的观察和联想是一种比较重要的能力，在平时的学习中要注意培养.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案写在答题卡的相应位置上.
13.已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值
范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．由于￢p是￢q的必要不充分条件，可得q 是p的必要不充分条件．即可得出．
【详解】命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．
∵￢p是￢q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
∴，且等号不能同时成立．
解得．
则实数a的取值范围是．
故答案：
【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.椭圆在其上一点处的切线方程为．类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
由类比，得双曲线在其上一点处的切线方程为.
15.=____.
【答案】
【解析】
被积分函数可以看成，的圆，以为圆心，3为半径的圆，
故原式等于，
故答案为．
点睛：函数积分可以求原函数，找函数奇偶性，这个题目是根据几何意义．
16.已知函数，在下列命题中，其中正确命题的序号是_________.
（1）曲线必存在一条与轴平行的切线；
（2）函数有且仅有一个极大值，没有极小值；
（3）若方程有两个不同的实根，则的取值范围是；
（4）对任意的,不等式恒成立；
（5）若，则,可以使不等式的解集恰为；
【答案】（1）（2）（4）（5）
【解析】
∵可得,令=0只有一根, ∴（1）对
令得，在递增，同理在(1,+∞)上递减，∴只有一个极大值，无极小值故（2）对；
∵时0, ∴方程有两个不同的实根时故（3）错
由的单调性可知的最大值为=，∴故（4）对
由的图像可知若，则,可以使不等式的解集恰为
故（5）对
点睛：本题是导数部分的综合题，主要考查函数的单调性，极值，函数图像，要注意图像的趋势，不等式的恒成立问题，不等式的解集问题都可以由图像得出
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的相应位置.）
17.求的值
【答案】
【解析】
【分析】
由函数奇偶性的性质结合定积分的意义即可得到结果.
【详解】∵为奇函数，
∴
∴
故答案为：
【点睛】定积分的计算：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．
(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
(3)若y＝f(x)为奇函数，则＝0.
18.已知，，.
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1) m≥4.(2) [-3，-2）∪（4，7]
【解析】
试题分析：（1）通过解不等式化简命题p，将p是q的充分不必要条件转化为[-2，4]是[2﹣m，2+m]的真子集，列出不等式组，求出m的范围．
（2）将复合命题的真假转化为构成其简单命题的真假，分类讨论，列出不等式组，求出x的范围
试题解析：
(1)记命题p的解集为A=[-2，4]，
命题q的解集为B=[2-m，2+m]，
∵是的充分不必要条件∴p是q的充分不必要条件，∴，
∴，解得：.
(2)∵“”为真命题，“”为假命题，
∴命题p与q一真一假，
①若p真q假，则，无解，
②若p假q真，则，解得：.
综上得：.
19.已知.
（1）求的单调增区间；
（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围
【答案】（1）当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)．（2）(－∞，0]．
【解析】
试题分析：（1）对f(x)求导得，解可得单调增区间，解不等式过程中要对进行讨论；(2)在R上单调递增，则在R上恒成立 ,即恒成立,即,求出的最小值即可.
试题解析：
解：（1）1分
若，则，此时的单调增区间为2分
若，令，得
此时的单调增区间为-6分
（2）在R上单调递增，则在R上恒成立 -8分
即恒成立
即，因为当时，
所以-12分
考点：求导，函数的单调性与导数的关系.
20.如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，．
（1）求二面角的大小；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）60°．（2）．
【解析】
试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组求各面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果（2）根据向量投影得点到平面的距离为再根据向量数量积求值
试题解析：正方形和矩形所在平面互相垂直，
分别以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（，0，0）， C（，，0）， D（0，，0），
E（, ，1），F（0，0，1）．
（1）设平面CDE的法向量为平面BDE的法向量，
由解得.
∴，
∴二面角 B—DE—C等于60°．
（2）
，
．设点到平面BDF的距离为h，则
∴．所以点F到平面BDE的距离为．
21.若曲线：，（）的离心率且过点，曲线：，
自曲线上一点作的两条切线切点分别为，．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（1）；（2）最大值为．
【解析】
试题分析：（1）利用椭圆中的关系及离心率，得出，由在椭圆上，求出；（2）由导数几何意义，分别表示出切线的方程，联立方程求出交点的坐标，由点到直线的距离公式，求出点到直线的距离表达式，而直线BC的距离可以联立直线与抛物线方程，由弦长公式求出，根据二次函数求出的最大值．
试题解析：（1）由题意有,求出,所以曲线
（2）设:联立方程
,，
同理得，
即,所以,，
当时取等号．
考点：1．求椭圆的方程；2．切线方程的表示；3．点到直线距离公式；4．二次函数求最值．【方法点晴】本题主要考查了求椭圆标准方程及直线与抛物线位置关系的应用,计算量大,属于压轴题．对于（1）,由已知条件可直接求出；在（2）中,由于是切点,直线的斜率可用两点的坐标表示,求出直线的方程,再求出点坐标,间的距离用弦长公式求得,最后算面积时,利用二次函数,求出最大值．
22.已知函数.
（1）设，试讨论单调性；
（2）设，当时，任意，存在，使，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，在上是增函数，在和上是减函数；当时，
在上是减函数；当时，在上是增函数，在和上是减函数；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先求出的导数，，然后在的范围内讨论的大小以确定和的解集；（2）时，代入结合上问可知函数在在上是减函数，在上是增函数，即在取最小值，若，存在，使，即存在使得.从而得出实数的取值范围.注意不能用基本不等式，
因为等号取不到，实际上为减函数.所以其值域为，从而
，即有.
试题解析：（1）函数的定义域为，
因为，所以，
令，可得，，2分
①当时，由可得，故此时函数在上是增函数.
同样可得在和上是减函数. 4分
②当时，恒成立，故此时函数在上是减函数. 6分
③当时，由可得，故此时函数在上是增函数，
在和上是减函数； 8分
（2）当时，由（1）可知在上是减函数，在上是增函数，
所以对任意的，有，
由条件存在，使，所以， 12分
即存在，使得，
即在时有解,
亦即在时有解,
由于为减函数，故其值域为，
从而，即有，所以实数的取值范围是. 16分
考点：1.常见函数的导数；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用函数单调性求最值.。