分层总和法公式推导

分层总和法公式推导
一、分层总和法的基本原理。

1. 基本概念。

- 分层总和法是计算地基最终沉降量的一种常用方法。

它的基本思路是将地基土在竖向分成若干薄层，分别计算各薄层的压缩量，然后将各层的压缩量累加起来得到地基的总沉降量。

2. 假设条件。

- 地基土是均质、各向同性的半无限空间弹性体。

- 地基土在附加应力作用下只发生竖向压缩变形，不发生侧向变形（侧限条件）。

二、公式推导。

1. 土的压缩性指标。

- 对于侧限条件下的土样，根据压缩试验得到土的压缩模量E_s的定义式：
- E_s=(Δ p)/(frac{Δ e){1 + e_1}}，其中Δ p为压力增量，Δ e为孔隙比的变化量，e_1为初始孔隙比。

- 可以变形为Δ e=(Δ p(1 + e_1))/(E_s)。

2. 分层计算压缩量。

- 设第i层土的厚度为h_i，该层土上下层面的附加应力分别为σ_z(i - 1)和σ_z i，平均附加应力¯σ_z i=frac{σ_z(i - 1)+σ_z i}{2}。

- 根据土的压缩性指标，第i层土的孔隙比变化量Δ e_i=frac{¯σ_z i(1 +
e_1i)}{E_s i}，其中e_1i为第i层土的初始孔隙比，E_s i为第i层土的压缩模量。

- 由于在侧限条件下，第i层土的压缩量Δ s_i与孔隙比变化量Δ e_i有如下关系：Δ s_i=(Δ e_i)/(1 + e_1i)h_i。

- 将Δ e_i=frac{¯σ_z i(1 + e_1i)}{E_s i}代入Δ s_i=(Δ e_i)/(1 + e_1i)h_i可得：
- Δ s_i=frac{¯σ_z i}{E_s i}h_i。

3. 计算总沉降量。

- 地基的总沉降量s=∑_i = 1^nΔ s_i=∑_i = 1^nfrac{¯σ_z i}{E_s i}h_i，其中n 为分层的层数。