2009年福建省专升本数学试题(Word版)

2009年福建省高职高专升本科入学考试
高等数学 试卷
(考试时间120分钟, 满分150分)
答案说明:请将答案写在答题纸相应的位置上。

注意事项: 答案写在试卷上一律不给分。

一、单项选择题（本大题共1 0小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将正确的答案代码填写在答案纸相应的位置上。

1．下列四组函数中，相同的是是（ ）
A ．2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=
B ．x x f =)(，2)(x x g =
C ．334)(x x x f -=，31)(-=x x x g
D ．x x f 2cos 1)(-=，x x g sin )(=
2．当0→x 时，下列四组函数中为等价的无穷小的是（ ）
A ．x x 22与
B ．x x 与sin
C ．2cos 1x x 与-
D ．x x 与2tan
3．点1=x 是函数2
31)(22+--=x x x x f 的（ ） A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．无穷间断点 D ．振荡间断点
4．函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在该点处可导的（ ）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充分必要条件
D ．即不是充分条件，也不是必要条件
5．设函数)(x f 在0x x =处可导，则h
h x f x f h )2()(lim 000--→的值为（ ） A ．)(20x f '- B ．)(210x f '- C ．)(20x f ' D ．)(2
10x f ' 6．已知函数)1ln(x y +=，则)()10(x y 为（ ）
A ．9)1(!9x +
B ．9)1(!9x +-
C ．10)1(!9x +
D ．10
)1(!9x +- 7．设函数)(x f 的原函数为x arctan ，则)(x f 的导函数)(x f '为（ ）
A ．x arctan
B ．211x +
C ．212x x +-
D ．2
2)1(2x x +- 8．设函数)(x f 在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且0)(>'x f ，那么（ ）
A ．0)0(<f
B ．0)1(>f
C ．)0()1(f f <
D ．)0()1(f f >
9．在空间直角坐标系中，点M 1(1,2,3)与点M 2(1,-2,3)（ ）
A ．关于xOy 面对称
B ．关于yOz 面对称
C ．关于xOz 面对称
D ．关于原点对称
10．微分方程0)()(23224=++xy dx
y d dx dy 的阶数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
二、填空题（本大题共1 0小题，每小题4分，共40分）
请将正确的答案写在答题纸相应的位置上。

11．已知100)51(lim e x x
k x =+→，其中k 为常数，则k = 12．=--→)1
11(lim 0x x e x 13．已知函数)1ln(2x x y ++=，则dx
dy = 14．已知函数x e y x cos 31-=，则dy =
15．曲线3x y =在x = 处存在倾斜角为4
π的切线 16．函数x x f =)(在区间[1，4]上满足拉格朗日中值定理的点ξ=
17．曲线2
)1(--=x e y 在),(+∞-∞内的拐点的横坐标为x =
18．⎰π20 sin dx x = 19．已知向量a 的模为2，向量b 的模为1，它们的夹角为3
π，则))(2(b a b a -+= 20．二阶常系数齐次微分方程04422=++y dx dy dx
y d 的通解y = 三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共56分）
请将正确的答案写在答题纸相应的位置上。

21．求极限20
21)(arctan lim x dt t x x +⎰+∞→
22．已知分段函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+=<+=0,)21ln(0,20,1sin 2)(x x x x x x x x f ，讨论函数)(x f 在点x =0处的连续性。

23．设函数)(x y y =由参数方程)0(ln )(ln 2>⎩⎨⎧-==t t
t t y t x 确定，求1=t dx dy
24．设函数)(x y y =由方程y
xe y =确定，求dx dy 和22dx y d
25．求不定积分dx x x ⎰
-2241
26．求定积分⎰210 arccos xdx
27．已知直线过空间中的点(2,-1,1)且与平面0432=-+-z y x 及平面053=++-z y x 都平行，求该直线的对称式方程。

28．求一阶线性微分方程
x x y dx
dy sec tan =+满足初始条件00==x y 的特解。

四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
请将答案写在答题纸相应的位置上。

29．将一段长为a (a >0)的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形的面积之和最小，问两段铁丝的长应各为多少？
30．求由抛物线2x y =与直线32+=x y 所围成的平面图形的面积。

五、证明题（本大题共1小题，每小题8分，共8分）
请将答案写在答题纸相应的位置上。

31．证明方程241x e x =+至少有一个小于1的正实数根。