知识点梳理：1平面直角坐标系。2平面直角坐标系中的伸缩.
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知识点梳理：（1）平面直角坐标系。(2）平面直角坐标系中的伸缩变换。 例：一抛物线开的拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m,若水面下降1m，则水面宽为 ________m. 解：设抛物线为x2=-2py(p>0),过点（2，-2），4=2p 水面宽2
2, p=1,x =-2y, y =-3, x
2 0
知识梳理：柱坐标与球坐标的简介 例：已知空间直角坐标系中，点M（1,， 例：已知点M的直角坐标为（1，- 3
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，2
3 ）的球坐标可以是___________
例：设点M的柱坐标为（2， ，-3），则它的直角坐标为___________ 6
，4），则点M的柱坐标为__________
例：将点P（2，3）变换为点P‘（1，1）的一个伸缩变换公式为___________
极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线OX，叫做极轴； 再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系。 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为 ；以极轴 , ) OX为始边，射线OM为终边的角XOM叫做点M的极角，记为 ，有序数对（ 叫做点M的极坐标。
ABC 为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形。 C.等边三角形。 D.等腰直角三角形
5 例：已知极坐标系中，极点为O，A（3， ），B（4， ），则三角形AOB的面积为 6 3 _______
极坐标与直角坐标的互化：x=
例：在极坐标系中，点A（2，6 ），B（2 ，-
y cos , y sin , x y , tan ( x 0) x
0
2=6
6
, ‘
例：台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危 险 区，城市B在A地正东40m处，则城市B处于危险区内的时间为_________
解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，则B（40，0），以点B为 圆 心，，30为半径的圆的方程为（x-40）2+y2=302,台风中心移动到圆B内时， 城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹方程为y=x,与圆B相交于点M，N，点B到 直线y=x的距离d=20 2
4 cos(
6
)
表示什么曲线？它与
4 cos
有何不同？
例：极坐标方程
4 sin
2
2
5
表示的曲线是__________
例：圆
2 cos( ) 4
的圆心为__________
例：极点到直线
(cos sin ) 2
的距离为________
例：极坐标系中，与点（1，-2010
）相同的点是（ ）
A.（1，0）
B.（0，1）
C.(1,
)
D.(
,1)
例：点P（ ，3）关于极点的对称点的极坐标为（ ） A.（3， ） B.( ,-3) C.( , -3) D.(
,3-
)
7 5 例：在极坐标系中，已知A（2， 2 ），B（8， ），C（3， ），则三角形 6 6
2 2
6
）之间的距离为________
例：在极坐标系中，点A
(
2 2 2 则AB的中点的极坐标为________ , ).B( , ) 2 6 2 3
5 例：已知三角形ABC三个顶点的极坐标分别为A（2， ），B（2， 6 ）， 2 5 ），极点（0，0） C（
3 （1）判断三角形ABC的形状； 3,
例：将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长到原来 的2倍，纵坐标缩短到原来的 得到的曲线方程为________
1， 3
解：设变换后得到的曲线上任一点为p’(x’,y’),原曲线上的对应点为p(x,y),由题意 知
例：将曲线C按伸缩变换公式 _______
x' 2 x 变换得曲线方程为 x’2+y’2=1 ,则曲线C的方程为 y' 3 y
（2）求三角形ABC的面积
简单曲线的极坐标方程： 圆： 2a cos 表示圆心在（a,0)半径为a的圆过极点
问： 问： 直线： 问： 问：
2a cos
2a sin
表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？
2a sin
呢？
cos a 表示垂直于极轴极点到直线的距离为a的直线 cos a, sin a, sin a 分别表示怎样的直线？
2, p=1,x =-2y, y =-3, x
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知识梳理：柱坐标与球坐标的简介 例：已知空间直角坐标系中，点M（1,， 例：已知点M的直角坐标为（1，- 3
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，2
3 ）的球坐标可以是___________
例：设点M的柱坐标为（2， ，-3），则它的直角坐标为___________ 6
，4），则点M的柱坐标为__________
例：将点P（2，3）变换为点P‘（1，1）的一个伸缩变换公式为___________
极坐标系：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线OX，叫做极轴； 再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系。 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为 ；以极轴 , ) OX为始边，射线OM为终边的角XOM叫做点M的极角，记为 ，有序数对（ 叫做点M的极坐标。
ABC 为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形。 C.等边三角形。 D.等腰直角三角形
5 例：已知极坐标系中，极点为O，A（3， ），B（4， ），则三角形AOB的面积为 6 3 _______
极坐标与直角坐标的互化：x=
例：在极坐标系中，点A（2，6 ），B（2 ，-
y cos , y sin , x y , tan ( x 0) x
0
2=6
6
, ‘
例：台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危 险 区，城市B在A地正东40m处，则城市B处于危险区内的时间为_________
解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，则B（40，0），以点B为 圆 心，，30为半径的圆的方程为（x-40）2+y2=302,台风中心移动到圆B内时， 城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹方程为y=x,与圆B相交于点M，N，点B到 直线y=x的距离d=20 2
4 cos(
6
)
表示什么曲线？它与
4 cos
有何不同？
例：极坐标方程
4 sin
2
2
5
表示的曲线是__________
例：圆
2 cos( ) 4
的圆心为__________
例：极点到直线
(cos sin ) 2
的距离为________
例：极坐标系中，与点（1，-2010
）相同的点是（ ）
A.（1，0）
B.（0，1）
C.(1,
)
D.(
,1)
例：点P（ ，3）关于极点的对称点的极坐标为（ ） A.（3， ） B.( ,-3) C.( , -3) D.(
,3-
)
7 5 例：在极坐标系中，已知A（2， 2 ），B（8， ），C（3， ），则三角形 6 6
2 2
6
）之间的距离为________
例：在极坐标系中，点A
(
2 2 2 则AB的中点的极坐标为________ , ).B( , ) 2 6 2 3
5 例：已知三角形ABC三个顶点的极坐标分别为A（2， ），B（2， 6 ）， 2 5 ），极点（0，0） C（
3 （1）判断三角形ABC的形状； 3,
例：将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长到原来 的2倍，纵坐标缩短到原来的 得到的曲线方程为________
1， 3
解：设变换后得到的曲线上任一点为p’(x’,y’),原曲线上的对应点为p(x,y),由题意 知
例：将曲线C按伸缩变换公式 _______
x' 2 x 变换得曲线方程为 x’2+y’2=1 ,则曲线C的方程为 y' 3 y
（2）求三角形ABC的面积
简单曲线的极坐标方程： 圆： 2a cos 表示圆心在（a,0)半径为a的圆过极点
问： 问： 直线： 问： 问：
2a cos
2a sin
表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？
2a sin
呢？
cos a 表示垂直于极轴极点到直线的距离为a的直线 cos a, sin a, sin a 分别表示怎样的直线？