#2011高三月考试卷汇编-点、线、面的位置关系

点、线、面的位置关系
题组一
一、选择题
1．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理） 设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是
（ ）
①若α⊥l ，则l 与α相交 ②若，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα则α⊥l ③若l ||m ，m ||n ，α⊥l ，则α⊥n ④若l ||m ，α⊥m ，α⊥n ，则l ||n A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C
【分析】根据空间线面位置关系的有关定理逐个进行判断。

【解析】因为直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；因为不能确定直线,m n 的相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性。

l ∥n ，故l α⊥时，一定有n α⊥。

【考点】空间点、线、面的位置关系。

【点评】这类试题一般称之为空间点线面位置关系的组合判断题，主要考查对空间点、线、面位置关系的概念、定理，考查特例反驳和结论证明，特别是把空间平行关系和垂直关系的相关定理中抽掉一些条件的命题，其目的是考查考生对这些定理掌握的熟练程度。

2．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）已知等差数列的前项和为
，
若
，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过 原点
），则
＝（ ）
A ．100 B. 101 C. 200 D. 201 答案 A.
3．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线
与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( )
)(A 50<<k )(B 05<<-k )(C 130<<k )(D 50<<k
答案 A.
4．（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷）直线0()x y a a o ++=>与圆
224x y +=交于,A B 两点，且OAB
S
=a =（ ）
A ．
B
C
D 或答案 C.
5．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）设斜率为1的直线l 与椭圆
12
4:22=+y x C 相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（ ）
A ．4条
B ．5条
C ．6条
D ．7条 答案 C.
6．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）已知函数)(x f y =的反函数为
)1(log 1x y a -+=(1,0≠>a a 且),则函数)(x f y =的图象必过定点（ ）
A ．（１，０）
B ．（０，１） Ｃ．（－１，０） Ｄ．（０，－１） 答案 A.
7．（重庆市南开中学高2011级高三1月月考理）直线1:13
l y x =+与直线2:1l y =-的夹角为 （ ）
A ．
6π B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 答案 A.
8．（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）一条直线的倾斜角的正弦值为
2
3
，则此直线的斜率为 A ．3 B ．±3 C ．
33 D ．±3
3 答案 B.
9．（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）“2
1
=
m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 垂直”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要 答案 A. 二、填空题
10．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）已知点P ()2,2在曲线3y ax bx =+上，如果该曲线在点P 处切线的斜率为9，那么ab = ，此时函数
()3f x ax bx =+，3
[,3]2
x ∈-的值域为
答案 -3 [-2,18]
11．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理） 如图，在正三角形ABC 中，,,D E F 分别为各边的中点，,G H 分别为,DE AF 的中点，将ABC ∆沿,,DE EF DF 折成正四面体
P DEF -，则四面体中异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值
为 ． 【答案】
23。

【分析】折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化到一个三角形的内角的计算。

【解析】如图，连接HE ，取HE 的中点K ，连接GK ，则GK ∥DH ，故PGK ∠即为所求的异面直线角或者其补角。

设这个正四面体的棱长为2，在P G K ∆中
，
2
PG GK ==
,
PK ==，
故
2
2
22cos 3PGK +-∠=
=。

即异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值是
23。

【考点】空间点、线、面位置关系。

【点评】本题考查空间想象能力、考查求异面直线角。

在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧的一个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧。

12、（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）设A B C D 、、、是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面 积，则123S S S ++的最大值是 . 答案 8.
13．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）已知过(2,)A a -，(,10)B a 两点的
直线与直线210x y -+=平行，则a 的值为______。

答案 2. 三、简答题
14．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）（本题满分12分）将直线3y x =绕
原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位长度，试求所得到的直线方程。

答案：11
33y x =-
+
15．（重庆市南开中学高2011级高三1月月考理）（13分）已知点(2,0)A 关于直线
1:40l x y +-=的对称点为1A ，圆
22:()()4(0)C x m y n n -+-=>经过点A 和A 1，且与过点(0,B -的直线2l 相切。

（1）求圆C 的方程； （2）求直线2l 的方程。

答案15.
16．（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题文）（本题15分）已知(1,0)F , P 是平面上一动点, P 到直线:1l x =-上的射影为点N ， 且满足0NF )NF 2
1
PN (=⋅+
(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)过点(1,2)M 作曲线C 的两条弦MD,ME,且MD,ME 所在直线的斜率为k 1,k 2, 满足k 1k 2=1,
求证: 直线DE 过定点, 并求出这个定点．
答案 : (1)设曲线C 上任意一点P(x,y),又F(1,0)，N(－1,y),从而(1,0),PN x =--
(2,)NF y =-,11(,)22PN NF x y +=--,211
()02022
PN NF NF x y +∙=⇒-+=
化简得y 2=4x, 即为所求的P 点的轨迹C 的对应的方程. ….7分
(2)由题意可知直线DE 的斜率存在且不为零, 可设DE 的方程为x my a =+,
并设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2).联立:24y x
x my a
⎧=⎨=+⎩
代入整理得2
440y my a --= 从而有y 1＋y 2=4m ①, 124y y a =-② 又121212221111
y y k k x x --=⇒
=-- , 又y 12=4x 1,y 22=4x 2, ∴121222
1222
111144
y y k k y y --=⇒=-- ⇒
16
(y 1＋2)(y 2＋2)
=1⇒ (y 1＋2)(y 2＋2)=16, 展开即得y 1y 2＋2(y 1＋y 2)－12=0
将①②代入得－4a ＋2×4m －12=0, 即23a m =-,得, DE: x =my ＋2m －3, 即 (x ＋3)=m(y ＋2),故直线DE 经过(－3,－2)这个定点. ….15分
题组二
一、选择题
1．（浙江省桐乡一中2011届高三上理）在空间中，有如下命题： ①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α内任意一条直线m ∥平面β，则平面α∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m ，平面β内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面α；
④若点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心.
其中正确命题的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案 B.
2. (山西省四校2011届高三文） 如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是2
3
，则阴影区域的面积为（ ）
A ．34
B ．83
C ．23
D ．无法计算
答案 B.
3. （福建省福州八中2011
届高三理）
如图所示，单位圆中弧AB 的长为x , f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，将点A 固定，让B 点在圆弧上移动，则函数y =f (x )的图象是
答案 D.
4． 答案
4. (福建省四地六校联考2011届高三理)（本小题满分13分）海岛B 上有一座为10米的塔，塔顶的一个观测站A ，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角45°的D 处。

（假设游船匀速行驶）
（I ）求该船行使的速度（单位：米/分钟）
（II ）又经过一段时间后，油船到达海岛B 的正西方向E 处，问此时游船距离海岛B 多远。

答案 4.(Ⅰ)在Rt ∆ABC 中，0
=60BAC ∠，AB = 10，则BC = …………2分
在Rt ∆ABD 中，0
=45BAD ∠，AB = 10，则BD = 10米 …………………… 4分 在Rt ∆BCD 中，0
=75+15=90BDC ∠，
则CD =
= 20米 ………………………… 5分 所以速度v = 1
CD
= 20 米/分钟 …………………………6分
（Ⅱ）在Rt BCD ∆中，0
=30BCD ∠，
又因为0=15DBE ∠，所以0
=105CBE ∠ …………………………8分
所以0
=45CEB ∠ …………………………9分
在BCE ∆中，由正弦定理可知
00
sin 30sin 45EB BC
=
，
所以0
sin 30sin 45BC EB =
=米 …………………………12分 答：（I ）该船行使的速度为20米/分钟；
（II ）又经过一段时间后，油船到达海岛B 的正西方向E 处，此时游船距离海岛65米。

…………………………13分 5．（河南信阳市2011届高三理）（本小题满分12分）
如图，ABCD 是正方形空地，正方形的边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD 、
AB 的距离分别为9m 、3m ，某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ：NE=16：9，线段MN 必须过点P ，满足M 、N 分别在边AD 、AB 上，设
()AN x m =，液晶广告屏幕MNEF 的面积为2().S m
（I ）求S 关于x 的函数关系式，并写出该函数的定义域； （II ）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？
答案 5．解：（I ）如图，建立直角坐标系，设(0,),M t
由已知有(9,3),(,0)P N x
3033,999
t x
t x x --∴
=∴=
-- 又MN 过点D 时，x 最小值为10，
3(1030)9
x
AM x x ∴=
≤≤- …………2分
2
2
2
2
2
2
9(9)9
:16:9,16
x MN AN AM x x MN NE NE MN
∴=+=+
-=∴=
22
22
999[]1616(9)
x S MN NE MN x x ∴===+- …………5分 定义域为[10，30]
…………6分
（II ）22343
918(9)9(218)9[(9)81]'[2]16(9)8(9)x x x x x x S x x x -----=+=⨯--
…………7分
令'0,S =得x=0(舍去
当109,'0,x S S ≤≤+<关于x 为减函数；
当930x +<≤时，'0,S S >关于x 为增函数
…………11分
9x ∴=+当时，S 取得最小值
…………11分
答：当AN
长为9+m ）时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小
…………12分
6. （浙江省菱湖中学2011届高三上学期期中考理）（本小题满分15分）
设()ln a
f x x x x
=
+， 32()3g x x x =--． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ； （3）如果对任意的1
,[,2]2
s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围． 答案 6．（本题满分15分） （1）当2a =时，2()ln f x x x x =
+，22
'()ln 1f x x x
=-++，(1)2f =，'(1)1f =-， 所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+；
4分
（2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立
等价于：12max [()()]g x g x M -≥，
考察3
2
()3g x x x =--，
2
2
'()323()3g x x x x x =-=-，
由上表可知：min max 285
()(),()(2)1327
g x g g x g ==-==，
12max max min 112
[()()]()()27
g x g x g x g x -=-=
， 所以满足条件的最大整数4M =；
9分
（3）对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立
等价于：在区间1
[,2]2上，函数()f x 的最小值不小于()g x 的最大值，
由（2）知，在区间1
[,2]2
上，()g x 的最大值为(2)1g =。

(1)1f a =≥，下证当1a ≥时，在区间1
[,2]2
上，函数()1f x ≥恒成立。

当1a ≥且1[,2]2x ∈时，1
()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，
记1()ln h x x x x =+，21
'()ln 1h x x x =-++， '(1)0
h = 当1[,1)2x ∈，21
'()ln 10h x x x =-++<；当(1,2]x ∈，
21
'()ln 10h x x x
=-++>，
所以函数1()ln h x x x x =+在区间1
[,1)2
上递减，在区间(1,2]上递增，
min ()(1)1h x h ==，即()1h x ≥，
所以当1a ≥且1[,2]2
x ∈时，()1f x ≥成立，
即对任意1,[,2]2
s t ∈，都有()()f s g t ≥。

15分
（3）另解：当1[,2]2x ∈时，()ln 1a
f x x x x
=
+≥恒成立 等价于2
ln a x x x ≥-恒成立，
记2
()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =。

记()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--，因为1
[,2]2
x ∈，
'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1
[,2]2
上递减，
当1
[,1)2
x ∈时，'()0h x >，(1,2]x ∈时，'()0h x <，
即函数2
()ln h x x x x =-在区间1[,1)2
上递增，在区间(1,2]上递减，
所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥。

15分
7．（广西桂林十八中2011届高三第四次月考试卷文）（12分）已知函数()32
32
f x ax x b =-
+
（1）若()f x 在点()()1,1f 处的切线是1
32
y x =+
，求()f x ； （2）设0,2a b >=,求()f x 在[]1,1-上的最小值.
答案 ()()()()()()()()()()()[][]()()[]()232322min 21.133333
13237131312223
23423
223321
001
11100111
1,122
1,1f x ax x
a f a
b a b f f x x x f x ax x f x ax x
f x x x a
i a f x a
f a f a f x '=-'-=⎧=⎧=⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨
⎨=-+==⋅+⎩⎪⎪⎩⎩
∴=-+'=-+=-'===
≥<≤--=-+=+
∴-=-解：由已知得分
， 由得或当，即0时，在，
递增，在，递减 在上，1
2
a +
()()[]()[]()[]()3
2
2min min 11111001
1131110,220
2
221
1,121
1,1122
ii a f x a a f a f
a a a a a f x a f x a ⎡⎤
<<>-⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+<=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴-=-+
-=-+当0，即时，在，
递增，在，递减 在上，综上，在上，分。