归纳推理教学实录点评与反思

“归纳推理”教学实录、点评与反思
高建国 （江苏省扬州大学附属中学）
2009年12月18日，江苏省第五届数学特级教师研讨会在我校举行，笔者有幸为众多专
家上了一节研讨课，课题是苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-2）》“归纳
推理”．下面是这节课的教学过程实录、专家点评和教后反思．
一、教学过程实录
1. 创设情境，引出概念
师：（案例1）今天听课的老师很多，都是数学教育专家，第一次面对这么多专家开公开
课，同学们能想象一下老师此刻的心理吗？（四个选项：（1）紧张（2）兴奋（3）忧伤（4）
快乐。

）
生1：我想老师此刻肯定紧张．
生2：我认为老师不但紧张而且兴奋．
生3：我认为老师紧张并快乐着．
生4：我认为老师紧张．
师：如果仅根据这四个同学的猜测，你有什么结论？
生：老师紧张．
师：（案例2）同学最懂老师的心，老师此刻心理确实紧张．如果换一个经历与老师类似
的李老师呢？
生：也会紧张．
师：（案例3）事实上，在这种场合下上课，老师们都会紧张的，高老师是老师，我们可
以推断——
生：高老师紧张．
（此时，学生刚开始拘谨的神态得到缓和，课堂气氛活跃起来．）
师：一般的，从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．
（教师投影上述整理后的三个推理案例．）
师：可以告诉老师三个推理各有什么特点吗？
生5：案例1是从个别事实推演出一般结论；案例2是一种类比；案例3有点类似于立体
几何中的公理化系统．
师：这三种推理是我们接下来一章“推理与证明”要研究的内容，这节课我们重点研究第一
种——归纳推理．
（教师板书课题。

）
2. 学生活动，感受概念
师：投影上有两个归纳推理案例，一个是推理案例1，还有一个是课本上求导公式
()1x x ααα-'=的归纳过程，参照两个案例，你能举出新的案例吗？
生6：第一个同学表现好；第二个同学表现好；第三个同学表现好；第四个同学表现好．猜
想：我们班的同学表现都好．
（赢得学生掌声一片。

）
师：例子很好，比照案例，似乎缺了点什么？
生7：应该增加一句,四个同学都是我们班的一员．
师：该同学观察仔细，非常好！能不能从我们所学学科知识中举一个例子？
生8：氢氧化钠与盐酸反应；与硫酸反应；与硝酸反应；盐酸、硫酸、硝酸都是酸．猜想：
氢氧化钠与酸都反应．
师：非常棒！归纳推理在物理、化学、生物等学科中有广泛的应用．老师将范围进一步
缩小，能在数学里找一个例子吗？
生9：简单！一一得一；一二得二；一三得三．猜想：一乘以任何数都是他本身．
（学生全笑了。

）
师：看来，小学里我们就学习归纳推理了．有没有漏掉什么？
生：应该增加一、二、三是实数．
师：可以谈一谈对归纳推理的认识吗？
生10：归纳推理就是从特殊到一般的推理．
生11：归纳推理先要列举出一些事物的共同现象，再指出这些事物属于同一类，最后就可
以猜想该类事物具有相同现象．
师：太棒了！将上述推理过程模式化即为：
前提：S 1具有（或不具有）性质P ；
S 2具有（或不具有）性质P ；
……
S n 具有（或不具有）性质P ．
S 1,S 2, …，S n 都是S 类事物的对象．
结论：S 类事物都具有（或不具有）性质P ．
3. 数学应用，领悟概念
问题1：已知数列{a n }的第1项a 1=1,且a n+1=
+1n n a a （n=1 , 2 , …) 试归纳出这个数列的一个通项公式．
（教师收集学生的不同做法，并投影．）
解法1：分别把n=1,2,3,4 代入11+=+n n n
a a a 得23451111,,,2345a a a a ====，归纳1n a n
=． 解法2：由111
11++==+n n n n a a a a 得1111+-=n n a a ，故1⎧⎫⎨⎬⎩⎭
n a 是等差数列，从而得1n a n =． 师：两个做法有什么区别？
生12：解法1应用了归纳推理，解法2更严密，但比较难想！
师：事实上，归纳推理给我们提供了猜想数列通项公式的方法，是否正确还需严格证明，
解法2不是归纳推理，它可以用来证明，或用其他方法证明（如数学归纳法）．
问题2：如右图,在圆内画一条线段,将圆分成两
部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时
将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9
条线段,同时将圆分割成7部分.那么
(1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成
条线段?猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?
(2)在圆内画五条线段, 最多可以将圆分割成 部分? 猜想: 圆内两两相交的n (n ≥2)
条线段，最多将圆分割成 部分?
（很快，生13给出了第（1）问的答案：16，n2.）
师：你能告诉我答案产生的思维过程吗？
生13：设圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分割成f(n)条线段，由题意，f(1)=1, f(2)=4, f(3)=9,很容易猜测到f(4)=16, f(n)=n2．
师：仅凭前三项就猜测结果，可靠吗？
生14：可靠！我验证过n=4的情况了，的确是16．
师：很好，适当的验证可以进一步提高猜测的合理性，但f(5)=25肯定对吗？
生15：我觉得可以研究其一般情况．要使得到的线段尽量多，应保证第n条线段与前n-1条线段各有一个交点，从而每条线段都被分成了n条小线段，所以共有n2条线段．师：大胆猜想值得肯定，适当验证更显严谨，理性思考应该表扬！希望完成题（2）的时候既要有直觉猜测，也要有理性思考．
……
师：总结问题1和问题2，能描述一下归纳推理的思维过程吗？
生16：首先要观察，其次，需找出共性，最后合理猜测．
（教师补充完善归纳推理的思维过程）
（学生七嘴八舌，猜礼品、书签等等．教师打开前三个信封，给学生展示的都是一张张课本中已学过的涉及归纳推理内容的纸条．）
师：试验是归纳推理的基础，现在能猜测到了吗？
生：是有关归纳推理内容的纸条．
（教师打开第四个信封，正如学生所答．）
师：第五个信封呢？
生：还是有关归纳推理内容的纸条．
（教师展示纸条内容是“你们猜错了”。

学生笑声一片。

）
师：现在应作何猜想？
生17：可以猜装的是纸条．
（附和声一片。

）
师：很好，概括推广的必须是共性．敢猜第六个信封吗？
（学生直摇头．教师打开第六个信封，里面没放任何东西．学生惊愕！）
师：说明了一个道理，归纳猜测可能出错！那为什么还要教大家这种方法呢？请看问题3．问题3：请你观察4=2+2，6=3+3，8＝3+5，10＝5+5=3+7, 12＝5+7，14＝7+7=3+11，16＝5+11=3+13,根据上述等式左右两边数字特征，请你填空18= + = + ，…，1000＝29+971，1002=139+863,…由此，请猜想：．师：同学们相互交流一下，看看哪个同学的答案更合理．
……
师：真厉害！著名的哥德巴赫猜想就这样轻易被大家发现了！提到哥德巴赫猜想，就不得不提到中国数学家陈景润，他在极其艰苦的条件下完成了对哥德巴赫猜想最逼近的证明，至今无人能及！数学中很多猜想都是归纳出来的，同学们可以去研究看看，当然，做个有心人，留意身边的事，你也能提出有意义的猜想！
4. 回顾反思，提炼概念
师：请同学谈谈这一节课的收获．
……
（教师结合学生小结指出归纳推理的特点．）
二、教后专家点评
张乃达、石志群、华志远、何继刚、昌明等五位省特级教师对这节课做了认真点评和总结．
1. 对教材理解到位，教学重点突出
本节课的教学内容对学生来说并不乏认识基础，学生已经接触过很多运用归纳推理进行探索的实例．本节课的核心就是要引导学生“从理性上认识归纳推理”。

具体地说，就是要解决这样几个层次：什么叫推理？怎样进行推理？什么叫归纳推理？怎样进行归纳推理？归纳推理的可靠性？归纳推理的创造性．为此本节课紧紧围绕“理性认识归纳推理”这一教学目标，以教学生如何分析问题为突破口，以提升学生归纳能力为重点，以让学生形成积极探求新知的欲望为情感目标，成功设计出层层递进的“问题链”，用问题激活学生思维，用问题推进教学进程，用问题引导学生探究．
2. 在引导学生探究中实现知识建构
本节课教材内容非常简单，归纳推理的概念也早已存在于学生的认知之中，而且在不少场合下都已不自觉地“实际使用”，因此本节课的目标就是要让归纳推理的概念、步骤、特点进一步明确化，传统的做法是将概念讲深讲透，精讲多练，这显然忽视了学生的主观能动性，不利于学生的发展．本节课的引入构思巧妙，从具体的场景出发设计出的三个问题让学生自然形成推理的概念，揭示出全章所学主要内容，有利于引导学生从学科整体把握所学内容．通过让学生参照两个案例，举出新的归纳推理案例来引导学生感受概念，在概念的形成和构建上舍得花时间，有利于激活学生思维，使学生深刻理解归纳推理的概念．通过问题1不同做法的展示与交流，让学生深化了概念认识；而问题2紧扣“答案是怎么得到的”，通过教师的层层追问，充分暴露了学生的思维过程，让学生学会“理性”猜测，从而为归纳推理思维过程的自然得出铺平了道路．
3. 在教学过程中适时穿插数学文化
数学是人类文化的重要组成部分，高中数学课程对于认识数学的文化价值具有基础性作用．本节课是数学概念课，也是数学文化课，如何在概念课的教学中渗透数学文化？本节课做了有益的尝试，具体表现在三个方面：（1）在对三名学生举出归纳推理案例后的评价上，让学生意识到了数学“源于生活，又高于生活”，也认识到了数学对其他学科的指导作用；（2）猜信封活动模仿了华罗庚教授猜玻璃球的例子（见苏教版《普通高中课程标准实验教科书〃数学（选修2-2）》第60页），将数学文化灵活应用于教学中，旨在让学生领会归纳推理的结论多样性、概括性、不可靠性；（3）问题3是对课本上阅读材料的改编，让学生先猜想出规律，再指出是哥德巴赫猜想，可以让学生感受到猜想的“惊人”作用，体验学习成就感，通过对猜想寥寥数语的评价，却能激发起学生的爱国热情和敢于拼搏，勇于探究的科学精神．
4. 问题研讨
本节课开头的引例，能有效缓解气氛，从而让学生迅速进入问题情境；学生归纳推理举例精彩纷呈，有效调动了学生的主体参与性；猜信封活动进一步将学生的积极性推向了高潮．但这些活动生活味过浓，数学味不足，对于高二的学生来说，建议应该更多的从科学发展的内推动力角度来设计问题，让问题更符合学生认知水平．另外，对数学文化在教学中的渗透方法、渗透内容、渗透意图等各位专家也有不同的看法：如有的专家提出能否顺便介绍一下费马猜想；有的专家提出是否可以介绍一下哥德巴赫猜想的证明历程等等．
三、课后自我反思
这节课是新增内容，笔者也是第一次讲授该内容，所以初始的教学设计只能凭自己对该内容的理解进行．在经过说课、第一次试讲后，我校教研组的听课教师提出了很多中肯的建议，收获很大，并进行了第二次教学设计．在第二次试讲时，我校邀请了江苏省特级教师汤希龙
老师、尤善培老师、扬州市数学教研员王玉宏老师等三位专家对这节课进行了现场指导，在专家建议的基础上，进行了第三次教学设计．最后，以第三次教学设计为蓝本，实施了研讨课的教学，得到了与会专家的广泛好评．反思整个过程，笔者收获很多，感触颇深．
1. 要认真研究课程标准和教材
归纳的思想小学生就已开始接触，初中生已经比较熟悉，那么为什么到高中二年级还要讲呢？笔者开始的理解比较浅薄，以为只要通过增加“归纳推理习题”的难度来训练学生的归纳能力就可以了，所以刚开始时，准备了4道例题和3道练习，例题层层递进，练习紧扣例题，自认为这样上课效果应该不错．谁知教研组的教师们“将概念课上成了习题课，将新课上成了复习课”的评价给我当头一棒，冷静反思，认真研读《普通高中数学课程标准（实验）》后，如梦初醒，意识到了“从理性上认识归纳推理”才是本节课要解决的中心问题，而要解决该问题，一味的通过解题训练是完成不了的，必须要让学生经历整个归纳推理的过程，在过程中还要让学生认识到归纳推理的价值才行．
2. 学情分析恰当方能实施有效教学
本节课在选择例题时，有两个问题暴露出了教师对学情的估计不足，一个是多面体欧拉公式的归纳过程，笔者在备课收集资料时看到好多教师都采用了这一问题做例题，其好处是明显的，该公式有数学文化背景，也很能巩固归纳推理的步骤，说明归纳推理的作用，可是有一点，很多教师忽略了，那就是在初中教材上，该问题已经作为课后探究拓展出现过，用一个学生已知结论的素材来做归纳推理的例题，其有效性可想而知了；另一个是哥德巴赫猜想的处理，很多教师都认为学生很难猜出结论，于是设计了很多小问题来引导学生“探究”，可实际教学表明，学生很容易就猜想出结论了，这一内容的处理，笔者觉得应该是鼓动学生不畏艰难、积极探索的一个情感态度渗透时机，课堂教学时间有限，“好钢要用在刀刃上”！
3. 学生的活动设计需多元化
本节课的引入应该是很能激起学生学习欲望的，实际教学中也确实收到了效果，教学中，笔者也一直注意调用各种手段来激发学生的参与积极性，可是事与愿违，到了半节课以后，学生的注意力、参与程度、学习热情总会呈下降趋势．这个问题怎么解决？在第二次试讲后笔者请教了三位专家，三位专家的观点如出一辙：单纯的“一问一答”式的简单互动，即使语言再精彩，学生也会出现审美疲劳，要改变课堂学生活动形式！第三次上课时，笔者增加了学生登台展示交流、小组互助、合作讨论等活动形式，充分调动了学生主体意识，整节课学生始终都处于积极兴奋地学习状态．
4. 好的教学设计需要浓厚的教研气氛作支撑
笔者所在的教研组共有江苏省特级教师5名，扬州市骨干教师荣誉称号以上的教师十多名，他们构成了我们教研组教学研究的中坚力量，每次大型教研活动和教学比赛中，他们都全程参与，积极听课评课，积极出谋划策．
举个例子，在对本节课中“归纳推理是一种合情推理，那么在本节课中要不要渗透演绎推理的思想”这一很有争议的问题研讨时，全组教师各抒己见，支持“不需要渗透演绎推理”的教师认为这样处理更符合教学要求，没必要人为增加难度，从而导致上课容量增大；而支持“需要渗透绎推理”的教师则认为这样处理更符合我校高中学生的实际情况，不应该被教学要求束缚住手脚，要放眼于提升学生的思维能力这一大局．相持不下，只好用同一内容在两个不同班级（一文、一理）分别试上，最后达成共识：注重感知，合情推理，但要不失时机地适度进行演绎渗透．
参考文献：
[1]石志群. “归纳推理”赛课活动的反思、建议与教学设计[J].中学数学教学参考(高中版),2009（8）。