课堂新坐标高中数学苏教版必修学案：章末分层突破含解析_2

章末分层突破
[自我校对]
①C(α
＋β)
②C2α
③S(α
＋β)
④S2α
⑤T(α
－β)
⑥T2α
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－11
14，α，β均为锐角，求cos β的值． 【精彩点拨】 由tan α求sin α，由cos(α＋β)求sin(α＋β)，再利用cos β＝cos [(α＋β)－α]展开求解．
【规范解答】 因为α，β均为锐角， 所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－1114， 所以π
2＜α＋β＜π，
且sin(α＋β)＝53
14.因为tan α＝43， 所以sin α＝437，cos α＝1
7. 所以cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝1
2. [再练一题]
1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，求sin 4α1＋cos 2α的值．
【解】 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1
6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1
6，
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝1
3，即cos 2α＝13. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，2α∈(π，2π)，
∴sin 2α＝－1－cos 22α ＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
132＝－223. ∴sin 4α1＋cos 2α＝2sin 2α·cos 2α1＋
1＋cos 2α
2
＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－
223×1
31＋1＋132
＝－
42
15.
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
求证：
1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ
1－tan 2θ
.
【精彩点拨】 先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式．
【规范解答】 证明原不等式成立，即证明 1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)成立． ∵tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ) ＝sin 2θ
cos 2θ(2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ) ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ) ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ ＝sin 4θ＋1－cos 4θ. ∴
1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ
1－tan 2θ
.
[再练一题] 2．化简：
2sin 130°＋sin 100°(1＋3tan 370°)
1＋cos 10°
.
【解】 原式＝
2sin 50°＋sin 80°(1＋3tan 10°)
1＋cos 10°
＝2sin 50°＋cos 10°×
cos 10°＋3sin 10°
cos 10°
2cos 25°
＝2sin 50°＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos 10°＋3
2sin 10°
2|cos 5°|
＝
2sin 50°＋2sin (30°＋10°)
2cos 5°
＝2[]sin (45°
＋5°)＋sin (45°－5°)2cos 5°
＝2(sin 45°cos 5°＋cos 45°sin 5°＋sin 45°cos 5°－cos 45°sin 5°)
2cos 5°
＝
4sin 45°·cos 5°
2cos 5°
＝2.
1.关系；注意公式的逆用和变形使用．
2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2.
(1)若|a|＝|b|，求x 的值；
(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．
【精彩点拨】 分别表示两向量的模，利用相等求解x 的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解．
【规范解答】 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋sin 2 x ＝4sin 2x ， |b |2＝cos 2x ＋sin 2x ＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.
(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6＋12
，
当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.
所以f (x )的最大值为3
2. [再练一题]
3．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－1
2. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝32
10，求sin 2α的值．
【解】 (1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4.
所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－22，22.
(2)由(1)知f (α)＝22cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝3210，
所以cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝35.
所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋2α
＝－cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4
＝1－2cos 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π4＝1－1825＝725.
沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握．
已知tan α＝13，tan β＝－1
7，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 【精彩点拨】 先求tan(2α－β)的值，再结合2α－β的范围求2α－β的值． 【规范解答】 ∵tan α＝1
3＞0， ∴α∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)，
∴tan 2α＝
2tan α
1－tan 2α
＝
2×13
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫132＝34＞0， ∴2α∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2， 又∵tan β＝－1
7＜0，β∈(0，π)， ∴β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，
∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β
＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－17＝1，
又∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，
∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3
4π. [再练一题]
4．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝5
13，求sin(α＋β)的值．
【解】 ∵π4＜α＜3π4，0＜β＜π
4， ∴－π2＜π4－α＜0，3π4＜3π
4＋β＜π， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－α＝－
1－cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4－α
＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π4＋β ＝－
1－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π4＋β＝－1213，
∴sin(α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2＋(α＋β)
＝－cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝
⎛⎭⎪⎫－1213×35＋513×
⎝ ⎛⎭⎪⎫－45
＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫－1213×35＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝5665
.
1．(2015·重庆高考改编)若tan α＝2tan π
5，则cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π5＝________.
【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π5，
∴原式＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝
tan α＋tan π5tan α－tan π5. 又∵tan α＝2tan π
5，∴原式＝
2tan π5＋tan π5
2tan π5－tan π5
＝3. 【答案】 3
2．(2016·全国卷Ⅱ改编)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3
5，则sin 2α＝________.
【解析】 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝3
5，
所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－α
＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4－α－1＝2×925－1＝－725. 【答案】 －7
25
3．(2016·四川高考)cos 2π8－sin 2π
8＝________. 【解析】 cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 【答案】 2
2
4．(2016·浙江高考)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.
【解析】 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4，
∴1＋2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，∴A ＝2，b ＝1.
【答案】
2 1
5．(2015·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝1
7，则tan β的值为________． 【解析】 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α
1＋tan (α＋β)tan α
＝1
7－(－2)1＋17×(－2)＝3.
【答案】 3
6．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π
4. (1)求AB 的长；(2)求cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A －π6的值． 【解】 (1)因为cos B ＝4
5，0<B <π， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫452＝35. 由正弦定理知AC sin B ＝AB
sin C ， 所以AB ＝AC ·sin C
sin B ＝6×22
35
＝5 2.
(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫B ＋π4
＝－cos B cos π4＋sin B sin π
4. 又cos B ＝45，sin B ＝3
5，
故cos A ＝－45×22＋35×22＝－2
10.
因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝72
10. 因此，cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6
＝－210×32＋7210×12＝72－6
20.
章末综合测评(三) 三角恒等变换
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．若sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝3
5，则cos 2α＝________.
【解析】 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3
5，得cos α＝35，所以cos 2α＝2cos 2 α－1＝－725.
【答案】 －7
25
2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝________.
【解析】 ∵sin αsin β＝1，∴sin α＝－1，sin β＝－1或sin α＝1，sin β＝1.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝0.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1. 【答案】 1
3．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝________. 【解析】 原式＝－sin 17°cos 47°＋cos 17°sin 47° ＝sin(47°－17°) ＝sin 30° ＝12 【答案】 1
2
4．化简：2sin 2α1＋cos 2α·cos 2α
cos 2α＝________.
【解析】 原式＝2sin 2α2cos 2α·
cos 2α
cos 2α＝tan 2α.
【答案】 tan 2α
5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________.
【解析】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2
，π，sin α＝55， ∴cos α＝－255，∴tan α＝－1
2， ∴tan 2α＝
2tan α1－tan 2α
＝－4
3. 【答案】 －4
3
6．(2016·南通高一检测)化简： cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x
2－7π8－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋7π8＝________.
【解析】 原式＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π42－1－cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
x ＋7π42
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4
＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(cos x －sin x )＋2
2(cos x ＋sin x )
＝2
2cos x . 【答案】 2
2cos x
7．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α
2＝________. 【解析】 已知等式两边平方得sin α＝4
5，450°＜α＜540°， ∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos α
sin α＝2. 【答案】 2
8．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________． 【解析】 tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°)
＝3－3tan 19°tan 41°
∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝ 3. 【答案】
3
9．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是________．
【解析】 a ＝2sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2sin 60°， 所以a ＜c ＜b . 【答案】 a ＜c ＜b
10．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向________平移________个单位．
【解析】 y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3x －π4
＝2cos 3⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －π12
故将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π
12个单位得到y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象． 【答案】 右 π
12
11．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3
2图象的对称轴方程为________． 【解析】 ∵y ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3
∴由2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π
12(k ∈Z )． 【答案】 x ＝k π2＋π
12，k ∈Z
12．(2016·苏州高一检测)已知点P sin 34π，cos 3
4π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π3的值为________．
【解析】 由题意知，点P ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫sin 34π，cos 34 π在第四象限，且落在角θ的终
边上，所以tan θ＝－1，所以tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π3＝
tan θ＋tan π
3
1－tan θtan π3
＝
－1＋3
1＋3
＝2－ 3.
【答案】 2－ 3
13．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝1
2，则cos β的值为________． 【解析】 由tan α2＝1
2，得sin α＝2tan α
2
1＋tan 2 α2＝
1
1＋14＝4
5，∵α∈(0，π)，∴cos α＝35，
由sin(α＋β)＝513<sin α，α，β∈(0，π)，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，∴cos(α＋β)＝－1213.
cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－16
65. 【答案】 －16
65
14．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2，π2上的最大
值为2，则常数a 的值为________．
【解析】 f (x )＝2sin x cos π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6＋a ，
又－π3≤x ＋π6≤2π
3，
∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6≤1，∴a ＋2＝2，则a ＝0.
【答案】 0
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知sin α＝cos 2α，α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，求sin 2α.
【解】 ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝1
2.
又∵α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝12，α＝π6.
∴cos α＝32.∴sin 2α＝2×12×32＝3
2.
16．(本小题满分14分)求1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1
tan 5°－tan 5°的值．
【解】 原式＝2cos 210°
2sin 20°－2sin 10°·1－tan 25°2tan 5° ＝cos 210°2sin 10°cos 10°－2sin 10°·cos 10°sin 10°
＝cos 10°
2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°
＝
cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝
3
2.
17．(本小题满分14分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝413
13.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－4
5，求sin α的值．
【解】 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，
|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，∴16
13＝2－2cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝5
13.
(2)由0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－4
5， 可知cos β＝3
5，且0＜α－β＜π， ∵cos(α－β)＝5
13， ∴sin(α－β)＝12
13. ∴sin α＝sin(α－β＋β)
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝1213×35＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45
＝1665.
18．(本小题满分16分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－277，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，π，
β∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2. 求：(1)cos α＋β
2；(2)tan(α＋β)． 【解】 (1)∵π2＜α＜π，0＜β＜π
2， ∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝
⎛
⎭⎪⎫α－β2＝21
7， cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
α2－β＝32.
∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β2
＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－
277＋217×1
2 ＝－21
14.
(2)又α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，3π2，∴α＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，且cos α＋β2＜0，故tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋β2＜0，∴tan α＋β2＝－53
3
.
∴tan(α＋β)＝2tan ⎝
⎛⎭⎪⎫
α＋β21－tan 2α＋β2
＝53
11.
19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－1
2.
(1)若0＜α＜π2，且sin α＝2
2，求f (α)的值． (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解】 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －1
2 ＝1
2sin 2x ＋1＋cos 2x 2
－12
＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)∵0＜α＜π2，sin α＝22，∴α＝π
4. 从而f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝1
2.
(2)T ＝2π
2＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π
8，k ∈Z .
∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .
20．(本小题满分16分)如图1，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y ＞x ＞0.
图1
(1)将十字形的面积表示成θ的函数； (2)求十字形的最大面积． 【解】 (1)设S 为十字形面积，
则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4＜θ＜π2.
(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin 2θ－12cos 2θ－1
2
＝
5
2×⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
25
5sin 2θ－
5
5cos 2θ
－
1
2
＝
5
2sin(2θ－φ)－
1
2(设φ为锐角且tan φ＝
1
2)
当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π
2时，S最大．
即当θ＝π
4＋φ
2时，十字形取得最大面积
5
2－
1
2.。