初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附答案解析

初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附答案解析
一、选择题
1．解方程组：222920x xy y x y ⎧++=⎨--=⎩
． 【答案】5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. 【解析】
【分析】
先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．
【详解】
22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩
， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，
故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩
解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．
2．已知A ，B 两地公路长300km ，甲、乙两车同时从A 地出发沿同一公路驶往B 地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A 地相距105km 的C 处取回货物，于是甲车立即原路返回C 地，取了货物又立即赶往B 地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到达B 地，两车的速度始终保持不变，设两车山发x 小时后，甲、乙两车距离A 地的路程分别为y1(km)和y2(km)．它们的函数图象分别是折线OPQR 和线段OR ．
（1）求乙车从A 地到B 地所用的时问；
（2）求图中线段PQ 的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）在甲车返回到C 地取货的过程中，当x= ，两车相距25千米的路程.
【答案】（1）5h （2）90360y x =-+（3）67h 30或77h 30
【解析】（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再求甲车从A 地到B 地所花时间；即可求出乙车从A 地到B 地所用的时间；（2）由题意可知，求出线段PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x 的值.
（1）解：由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为180290÷=（km/h ） 甲车行驶的总路程为： ()2180105300450⨯-+=（km)
甲车从A 地到B 地所花时间为： 450905÷=（h ）
又∵两车同时到达B 地，
∴乙车从A 地到B 地所用用的时间为5h.
（2）由题意可知，甲返回的路程为18010575-=（km)，所需时间为575906÷=（h ），517266+=.∴Q 点的坐标为（105， 176
）.设线段PQ 的解析式为： y kx b =+， 把（2，180）和（105， 176）代入得： 1802{171086
k b k b =+=+，解得90360k b =-=，， ∴线段PQ 的解析式为90360y x =-+.
（3）6730 h 或7730
“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数型结合的思想解答问题．
3．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】
【分析】
由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.
【详解】
222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
①② 由②得：2()1x y -=，
∴1x y -=或1x y -=-
把上式同①联立方程组得：
231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解得：114313x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，222353x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩．
4．如图，要建一个面积为45 m 2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m 的墙，另几条边用总长为22 m 的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m 的门.求这个养鸡场的长与宽.
【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.
【解析】
试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．
解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：
322245x y xy +-=⎧⎨=⎩
，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；
∵x <14，
∴不合题意，舍去；
当y =5时，x =9，经检验符合题意．
答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.
5．解方程组：2222295
x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩. 【答案】1121x y =⎧⎨=-⎩，2212x y =⎧⎨=-⎩，33
21x y =-⎧⎨=⎩，4412x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】
试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可．
试题解析：解：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩
①② 由①得：（x ﹣y ）2=9
所以x ﹣y =3③，x ﹣y =﹣3④
③②与④②联立得：22223355x y x y x y x y -=-=-⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩
， 解方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，得：1212
2112x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，； 解方程组2235x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得：343
42112x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 所以原方程组的解为：31243
12422111122x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，． 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．
6．直角坐标系xOy
中，有反比例函数)0y x x =
＞上的一动点P ，以点P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A
（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切时，求OP 2的值．
（2）设圆P 运动时与x 轴相交，交点为B 、C ，如图2，当四边形ABCP 是菱形时， ①求出A 、B 、C 三点的坐标．
②设一抛物线过A 、B 、C 三点，在该抛物线上是否存在点Q ，使△QBP 的面积是菱形ABCP 面积的12
？若存在，求出所有满足条件的Q 点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）32）①A（0，3B（2，0），C（6，0）；②存在，满足条件的Q点有（0，314，1638，36，0）．
【解析】
【分析】
（1）当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA＝PK，进而得出PK2，即可得出OP2的值；
（2）①连接PB，设AP＝m，过P点向x轴作垂线，垂足为H，则PH＝
sin60°BP
3
=，P（m
3
），进而得出答案；
②求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的Q点坐标即可．
【详解】
解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO＝∠OKP＝90°．
又∵∠AOK＝90°，
∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°．
∴四边形OKPA是矩形．
又∵AP＝KP，
∴四边形OKPA是正方形，
∴OP2＝OK2+PK2＝2PK•OK＝2xy＝3=3
（2）①连结BP，
则AP＝BP，由于四边形ABCP为菱形，所以AB＝BP＝AP，△ABP为正三角形，
设AP＝m，过P点向x轴作垂线，垂足为H，
则PH＝sin60°BP
3
=，P（m，
3
2
m），
将P点坐标代入到反比例函数解析式中，3
2＝3
解得：m＝4，（m＝﹣4舍去），
故P （4，
），
则AP ＝4，OA ＝
OB ＝BH ＝2，CH ＝BH ＝2，
故A （0
，B （2，0），C （6，0）；
②设过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）（x ﹣6），
将A 点坐标代入得，
a =
，
故解析式为2y x x 63
=-+ 过A 点作BP 的平行线l 抛物线于点Q ，则Q 点为所求．
设BP 所在直线解析式为：y ＝kx +d ，
则204k d k d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
解得：k d ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故BP
所在的直线解析式为：y =-
故直线l
的解析式为y =+l
与抛物线的交点是方程组
263y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩
解得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
，22
14x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故得Q （0
，Q （14
，
同理，过C 点作BP 的平行线交抛物线于点Q 1，
则设其解析式为：
y =+e ，则0＝
e ，解得：e ＝﹣
，
故其解析式为：
y =﹣
其直线与抛物线的交点是方程组2y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩
可求得Q 1（8，
6，0）．
故所求满足条件的Q 点有（0
，14
，8
，6，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正方形的判定以及菱形的性质等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题．
7．已知1
13 2
x y =
⎧
⎨
=-⎩是方程组
22
x y m
x y n
⎧+=
⎨
+=
⎩
的一组解，求此方程组的另一组解.
【答案】2
2-2 3
x y =
⎧
⎨
=
⎩
【解析】
【分析】
先将1
13 2
x y =
⎧
⎨
=-⎩代入方程组
22
x y m
x y n
⎧+=
⎨
+=
⎩
中求出m、n的值，然后再求方程组的另一组
解．【详解】
解：将1
13 2
x y =
⎧
⎨
=-⎩代入方程组
22
x y m
x y n
⎧+=
⎨
+=
⎩
中得：
13
1
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
，
则方程组变形为：
2213
1
x y
x y
⎧+=
⎨
+=
⎩
，
由x+y=1得：x=1-y，
将x=1-y代入方程x2+y2=13中可得：y2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，
将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；
所以方程的另一组解为：2
2-2 3
x y =
⎧
⎨
=
⎩
.
【点睛】
用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m和n的值是解题的关键.
8．解方程组：
22
694(1)
23(2)
x xy y
x y
⎧-+=
⎨
-=
⎩
【答案】1
15 1
x y =
⎧
⎨
=⎩或2
2
13
5
x
y
=⎧
⎨
=⎩
【解析】
【分析】
先将①中的x2 -6xy+9y2分解因式为：（x-3y）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可
【详解】
解：由①，得（x﹣3y）2＝4，
∴x﹣3y＝±2，
∴原方程组可转化为：
33
23
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
或
3-2
23
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
解得1
15 1
x y =
⎧
⎨
=⎩或2
2
13
5
x
y
=⎧
⎨
=⎩
所以原方程组的解为：1
15 1
x y =
⎧
⎨
=⎩或2
2
13
5
x
y
=⎧
⎨
=⎩
【点睛】
此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则
9．解方程组：
2
22
449 x xy
x xy y
⎧+=
⎪
⎨
++=⎪⎩
【答案】
12
34
34 12
00
33
,,,
33
33 22
x x
x x
y y
y y
==
⎧⎧=-=
⎧⎧
⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
==-=-=⎩
⎩
⎪⎪
⎩⎩
【解析】
【分析】
由第一个等式可得x（x+y）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y）2=9可得出x和y的值．
【详解】
∵x(x+y)=0，
①当x=0时,(x+2y)2 =9，
解得：y
1=
3
2
,y2=−
3
2
；
②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3，
解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33
x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322
x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】
此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.
10．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩
【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，22
34x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】
由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．
【详解】
222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④
，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，22
34x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．
11．解二元二次方程组210210
x y x y x +-=⎧⎨---=⎩ 【答案】121
221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨
⎨=-=⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】 把方程①变形为y=1-x ，利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．
【详解】
解：210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩
①② ， 把①变形y ＝1﹣x ，代入②得x 2﹣（1﹣x ）﹣2x ﹣1＝0，
化简整理得x 2﹣x ﹣2＝0，
∴x 1＝2，x 2＝﹣1，
把x ＝2代入①得y ＝﹣1，
把x ＝﹣1代入①得y ＝2，
所以原方程组的解为：121
221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩． 【点睛】
本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
12．已知正比例函数()()249m n y m n x
m -=++-的图像经过第二、四象限，求这个正比例函数的解析式.
【答案】19y x =-
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可求出m 、n 的值，再根据其所经过的象限进行取舍即可.
【详解】
解：∵该函数为正比例函数，∴2190m n m -=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩或34
m n =-⎧⎨=-⎩， ∵该函数图像经过第二、四象限，∴40m n +<，∴34m n =-⎧⎨=-⎩
， ∴函数解析式为：19y x =-.
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义和性质以及二元二次方程组的求解，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题关键.
13．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩
①②． 【答案】1141x y =⎧⎨=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.
【详解】
解：由②得()()310x y x y ---+=，
得30x y --=或10x y -+=，
原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨
=⎩ ，2223
x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.
14．解方程组：224490
x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩ 【答案】1133x y =⎧⎨
=-⎩，22
33x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
先将第1个方程变形为x ＋2y ＝3，x ＋2y ＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．
【详解】 解：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩①②
方程①可变形为()2
29x y +=
得：23x y +=，23x y +=-
它们与方程②分别组成方程组，得； 230x y x y +=⎧⎨+=⎩或230x y x y +=-⎧⎨+=⎩
解得1133x y =⎧⎨=-⎩，22
33x y =-⎧⎨=⎩ 所以，原方程组的解是1133x y =⎧⎨=-⎩，22
33x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】
本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．
15．温州三垟湿地的瓯柑名气很大，但今年经济不景气，某经销商为了打开销路，对1220
斤瓯柑进行包装优惠出售．包装方式及售价如下图．假设用这两种包装方式恰好装完全部瓯柑．
（1）若销售2箱纸盒装和3筐萝筐装瓯柑的收入共 元(请直接写出答案).
（2）假如预计这批瓯柑全部售完，总销售额为3210元时．请问纸盒装包装了多少箱，箩筐装包装了多少筐？
（3）但由于天气原因，瓯柑腐烂了a 斤（不能出售），在售价不变的情况下，为了保证总．销售．．额为．．3210元，剩余瓯柑必须用以上两种方式重新包装，且恰好装完,那么纸盒装 箱, 箩筐装 箱.(请直接写出答案)
【答案】（1）495；（2）纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐；（3）41，6
【解析】
（1）根据题意可得出方程解出即可；
（2）设纸盒装包装了x 箱，箩筐装包装了y 筐，根据等量关系列出方程组，解出即可； （3）根据（3）问的条件直接写出答案即可.
解：（1）495元
（2）设纸盒装包装了x 箱，箩筐装包装了y 筐，根据题意得：
20501220601253210x y x y +=⎧⎨+=⎩
1618x y =⎧⎨=⎩
解得 答：纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐.
（3）41箱，6箱.
“点睛”本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是仔细审题，理解题目所给条件，转化为方程思想求解.
16．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②
【答案】5
{5x y ==-或21
x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
【分析】
将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.
【详解】
2220{25x xy y x y --=+=①②
由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，
∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25
x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21
x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5
{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩
.
17．解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩
【答案】1122x y =⎧⎨
=-⎩; 2222x y =-⎧⎨=⎩；3322x y =⎧⎨=⎩；4422x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
试题分析：方程整理为：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208
x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=⎧⎨
+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得1122x y =⎧⎨=-⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩ ，33
22x y =⎧⎨=⎩，4422x y =-⎧⎨=-⎩.
18．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②
． 【答案】110
{1x y ==-，2243
{13x y =-=．
【解析】
试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．
试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．
原方程可化为：22
{1x y x y -=+=-，22{1
x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110
{1x y ==-，2243
{13x y =-=．
考点：高次方程．
19．解方程22220x y x xy y -=⎧⎨--=⎩
①② 【答案】114,2x y =⎧⎨=⎩，22
1,1x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】
先把2220x xy y --=化为(2)()0x y x y -+=，得到20x y -=或0x y +=，再分别联立2x y -=求出x,y 即可．
【详解】
2220x xy y --=可以化为：(2)()0x y x y -+=，
所以：20x y -=或0x y +=
原方程组可以化为：2,20x y x y -=⎧⎨-=⎩（Ⅰ）与2,0x y x y -=⎧⎨+=⎩
（Ⅱ） 解（Ⅰ）得4,2x y =⎧⎨=⎩，解（Ⅱ）得1,1x y =⎧⎨=-⎩
答：原方程组的解为114,2x y =⎧⎨
=⎩与22
1,1x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
此题主要考查二元方程的求解，解题的关键是把原方程变形成两个二元一次方程组进行求解．
20．解方程组22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩
． 【答案】原方程组的解是114,32;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩224,32;3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
334,2;x y =⎧⎨=⎩44
4,2.x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
由①得x+2y=0，或x-2y=0，由②得x-y=2，或x-y=-2，从而可将原方程组化为4个二元一次方程组求解．
【详解】
22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩
①②， 由①得
(x+2y)(x-2y)=0，
∴x+2y=0或x-2y=0，
由②得
(x-y)2=4，
∴x-y=2或x-y=-2，
∴原方程组可化为
202x y x y +=⎧⎨-=⎩，202x y x y +=⎧⎨-=-⎩，202x y x y -=⎧⎨-=⎩，202x y x y -=⎧⎨-=-⎩
， 分别解这四个方程组得
114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩， ∴原方程组的解是
114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，将原方程组化为4个二元一次方程组求解是解答本题的关键．。