由GRS码构造新的量子MDS码
基于Constacyclic码构造的一类新的量子MDS码
x n − η 的理想，并且 xc ( x ) 对应 c ( x ) 的 η-constacyclic 移位。而且，如果
知， C =
) 0} 称为集合 C 的定义集合。易 { j ∈ Ω g (ω =
C j 和 dim ( C )=
j∈Ω
n − Z 。此外，我们也定义 C ⊥ H 的定义集合 Z ⊥ H=
{ j ∈ Ω −qj ( mod rn ) ∉ Z } 。
那么 C ⊥ H ⊆ C 当且仅当 Z ( −qZ ) = 其中 −qZ =− 码， 并且其定义集合为 Z ⊆ Ω ， ∅， { qz ( mod rn ) z ∈ Z } 。
些码长为 n =
(
)
2. 预备知识
参数为 [ n, k , d ]q 2 的线性码 C 是指有限域 Fq 2 上 n 维向量空间中最小距离为 d 的 k 维子空间， 其中最小距离 Singleton 界，即 k = n − 2d + 2 ，则称此线性码 C 为极大距离可分码，简称 MDS 码。 给任意两个向量 = X 令 q 为一个奇素数的方幂。设 Fq 2 为具有 q 2 个元素的有限域， Fqn2 为 Fq 2 的 n 维向量空间，一个具有
d 为不同码字之间的 Hemming 距离的最小值，线性码 C 满足 Singleton 界： k ≤ n − 2d + 2 。如果 C 达到
x2 , , xn ) , Y ( y1 , y2 , , yn ) ∈ Fqn ，定义 ( x1 ,=
量子纠错编码的理论和应用
量子纠错编码的理论和应用随着信息技术的不断发展，数据的管理和传输越来越重要。
在传统的信息处理方法中，数据的传输和存储都是基于经典的物理原理，但是这种方法在处理大规模数据时会遇到一些难以克服的问题。
为了解决这些问题，人们开始探索利用量子力学的特殊性质进行信息的处理和传输。
量子纠错编码作为量子信息处理的重要组成部分之一，具有着重要的理论和应用价值。
一、量子纠错编码基础量子纠错编码的概念源于经典的纠错编码，其主要作用是在量子系统的传输过程中减少因噪声干扰等问题导致的误差。
量子纠错编码主要包含了量子态的变换、量子测量和纠错码的设计等几个方面。
1、量子态的变换在量子纠错编码中，量子态的变换被用于校正和保护数据在传输和存储的过程中发生的错误。
其中，最常用的方法是使用量子纠错码队量子态进行编码。
这种编码方法可以将一般的量子态转化为具有纠错和校正能力的量子态，从而在遭受噪声干扰时可以使数据得到更好的保护。
2、量子测量量子测量是量子纠错编码的核心方法之一。
在传统的错误检测方法中，根据错误检测码的设计，会在传输过程中添加一些冗余信息来检测数据是否出错。
而在量子纠错编码中，量子测量是实现错误检测的一种方式。
当接收方收到的量子态带有噪声时，测量可以帮助接收方检测出错误，并且根据纠错码的设计进行纠错和校正。
3、纠错码的设计纠错码的设计是量子纠错编码的重要组成部分之一。
在量子纠错编码中，不同的码型具有不同的特点和使用条件。
数量子的纠错码可以通过导出类似于传统纠错码的生成矩阵或校验矩阵来描述，并且通常使用类似于Hadamard变换的矩阵操作来实现。
二、量子纠错编码的应用量子纠错编码作为量子信息处理领域中的一个重要研究方向，具有广泛的应用前景。
下面列举了量子纠错编码在不同领域中的应用案例。
1、量子通信在量子通信中，传输的信息受到噪声干扰的影响是不可避免的。
通过使用量子纠错编码，可以在传输过程中减少噪声干扰对信息的影响，从而提高通讯的可靠性和安全性。
构造 量子MDS码
ord rn q 2 = m ， 引理 4： 设 r 是 q + 1 的正因子， 设 gcd ( q, n ) = 1 ， 0 ≤ x, y , z ≤ n − 1 。 η ∈ Fq*2 ， ord (η ) = r 。 m 1) Cs 是对称陪集当且仅当存在 t ≤ 使得 x ≡ xq 2t +1 ( mod rn ) 。 2 m 2) 如果 C y ≠ C z ， C y , Cz 形成一对不对称陪集当且仅当存在 t ≤ 使得 y ≡ yq 2t +1 ( mod rn ) 或者 2
写 成 多 项 式 c ( x ) = c0 + c1 x + + cn −1 x n −1 并 且 看 成 商 环
(x
n
− η 是商环 R 的一个理想。易
)
n
成式并且 dim ( c )= n − k ，其中 k = deg ( g ( x ) ) 。 假设 gcd ( n, q ) = 1 。ω 是个 rn 次本原单位根属于 Fq 2 的某些扩域中使得 ω n = η 。令 ξ = ω r ，那么 ξ 是
Meifang Zhao1, Pengfei Guo2*
1 2
Mathematics Institute, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong College of Computational Science, Zhongkai University of Agriculture and Engineering, Guangzhou Guangdong
th th th
Received: Mar. 5 , 2019; accepted: Mar. 20 , 2019; published: Mar. 28 , 2019
一类新的q元量子MDS码
第 ３ ６卷 第 ５期 ２ ０ １ ６年 ９月
杭 州 电 子 科 技 大 学 学 报（ 自然 科学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｄｉ ａ ｎ ｚ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
摘要 ： 量 子 纠 错 码 在 量 子 信 息 处 理 和 量 子 计 算 中有 着 重 要 的 应 用 ． ｑ元 量 子 ＭＤ Ｓ码 是 一 类 重 要 的
最 优 量 子 纠错 码 ， 此 类 量 子 码 的参 数 满 足 相 应 的量 子 Ｓ ｉ ｎ ｇ ｌ ｅ ｔ ｏ ｎ界 ． 构造 ｑ 元 量 子 ＭＤ Ｓ码 具 有 重 要
０ 引 言
量 子码 已经 发展 成为 计算科 学 、 通信 、 物 理和数 学 的前沿 领域 ． 同经典 的码 一样 ， 一个 口元量 子码 具 有 ３个 参数 ： 码长、 码 字数 和最小 距 离． 一 个具 有码 长 为 ， 码 字数 为 Ｋ 的 ｑ元 量 子码 Ｑ 是 ｑ 维 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间（ Ｃ ｑ ） 的一个 Ｋ 维 子空 间． 令 忌一 ｌ ｏ ｇ Ｋ， 则码 长为 ７ ＂ ／ ， 最小距 离 为 ｄ的量子 码被记 为 ［ Ｉ ｎ ， 是 ， ］ ］ ．
量子信息处理中的量子编码与解码技术
量子信息处理中的量子编码与解码技术量子信息处理是一门前沿的学科领域，涉及到许多重要的技术和理论。
其中，量子编码与解码技术是量子通信和量子计算的关键组成部分。
本文将详细介绍量子编码与解码技术的原理、应用和挑战。
一、量子编码技术的原理量子编码技术是指将经典信息转化为量子态的过程，以实现信息的安全传输和存储。
在量子编码中，最常用的编码方式是基于量子比特（qubit）的编码。
量子比特是量子信息的最小单位，可以表示为0和1的叠加态。
量子编码技术的原理主要基于量子纠缠和量子叠加的特性。
通过将经典信息的比特与量子比特进行纠缠，可以实现信息的编码。
在编码过程中，通过对量子比特的叠加态进行操作，可以实现信息的隐藏和保护，从而提高信息的安全性。
二、量子编码技术的应用量子编码技术在量子通信和量子计算领域有着广泛的应用。
在量子通信中，量子编码技术可以实现信息的安全传输。
由于量子比特的特殊性质，即使被窃听或干扰，也可以通过量子纠错码进行纠正，从而保证信息的完整性和可靠性。
在量子计算中，量子编码技术可以实现信息的存储和处理。
通过将经典信息编码为量子比特，可以将大量的信息存储在量子系统中，并进行高效的计算。
量子编码技术的应用可以大大提升计算机的运算速度和存储容量，从而推动量子计算的发展。
三、量子解码技术的原理量子解码技术是指将编码后的量子信息还原为经典信息的过程。
与量子编码技术相反，量子解码技术通过测量和操作量子比特，将量子信息转化为经典信息。
量子解码技术的原理主要基于量子测量和量子反演的原理。
通过对编码后的量子比特进行测量，可以获取量子比特的状态信息。
然后，通过量子反演的操作，将量子比特的状态还原为经典比特，从而实现信息的解码。
四、量子解码技术的应用量子解码技术在量子通信和量子计算中都有重要的应用。
在量子通信中，量子解码技术可以实现接收方对编码后的量子信息进行解码，从而获取原始的经典信息。
通过量子解码技术，可以实现信息的安全传输和解密。
量子码的编码和解码方法研究
量子码的编码和解码方法研究量子计算是当今科学与技术领域最具挑战性的研究方向之一。
在量子计算中，量子位（qubit）是信息的基本单位，其拥有超强的计算能力和加密安全性。
为了实现量子计算的高效性和可靠性，研究人员提出了多种量子码的编码和解码方法。
本文将重点探讨这些方法以及它们对量子计算的应用。
1. 量子码编码方法1.1. Shor码Shor码由Peter Shor于1995年提出，是第一个能够实现量子纠错编码的方法。
它可以很好地克服量子位的易受干扰与退化的问题。
Shor码利用了量子纠错编码来修复量子位的错误，并可重现原始信息。
它可以实现对一定数量的错误进行纠正，在实际的量子计算中被广泛应用。
1.2. Steane码Steane码是一种更加通用的量子纠错编码方法，由Andrew Steane于1996年提出。
该编码方法采用了7个量子位的码字来纠正任意单量子位错误以及少量两量子位错误。
Steane码通过一系列的量子门操作来将非对角错误转化为对角错误，进而纠正错误。
它具有较高的纠错效率和可扩展性，是量子计算中常用的编码方法之一。
2. 量子码解码方法2.1. 迭代解码迭代解码是一种常见的量子码解码方法，基于经典计算机的思想，通过多次迭代来逼近正确的结果。
在迭代过程中，通过测量和纠错操作来减小错误的概率，并最终恢复原始信息。
迭代解码方法可以应用于不同类型的量子码，但由于其需要大量的计算资源和时间，实际应用中存在一定的限制。
2.2. 多边形解码多边形解码是一种针对量子反馈通道的解码方法，它通过构造多边形来描述量子位的可能状态，并通过测量和判断来确定最可能的状态。
该解码方法可以提高解码的准确性和效率，并在高误差率的环境中表现出良好的性能。
多边形解码方法对量子纠错编码的性能有着重要的影响。
3. 量子码的应用3.1. 量子通信量子通信是一种利用量子位来传输和处理信息的通信方式。
量子码的编码和解码方法在量子通信中起着关键的作用。
量子计算的量子纠错码与纠错原理(Ⅱ)
量子计算的量子纠错码与纠错原理量子计算是一种利用量子力学原理来进行计算的新型计算方法。
相比于传统的经典计算，量子计算具有更高的计算速度和更大的计算容量。
然而，由于量子比特的特殊性质，量子计算在计算过程中容易受到干扰和误差的影响。
因此，量子纠错码的研究和应用成为了量子计算领域中一个重要的课题。
量子纠错码是一种利用量子比特的量子态叠加性质来保护量子信息的编码方法。
它通过引入额外的量子比特和一些特殊的量子门操作，使得在量子比特受到干扰或误差时，可以通过检测和修正来恢复原始的量子信息。
这种编码方法在量子计算中起到了类似于传统计算中纠错码的作用。
量子纠错码的研究和设计成为了解决量子计算中误差和干扰问题的重要手段。
量子纠错码的基本原理是利用量子态的叠加性质来构建一些特定的编码方式，使得在量子比特发生错误时可以通过量子门操作来修正。
其中一个经典的量子纠错码是Shor码，它利用特殊的量子门来构建一个三量子比特的编码方式，使得在第三个量子比特发生错误的情况下，可以通过量子门操作来恢复原来的量子信息。
另一个经典的量子纠错码是Steane码，它利用七个量子比特的编码方式来实现纠错功能。
这些量子纠错码的设计和应用为量子计算中的误差和干扰问题提供了重要的解决方案。
量子纠错码的研究不仅仅局限于上述的经典编码方式，还涉及到了更多的复杂情况和更高效的编码方法。
除了传统的纠错码，还有一些新型的量子纠错码被提出，例如Topological码、Surface码等。
这些编码方式利用了量子比特之间的拓扑结构和相互作用关系，从而实现了更高效的错误纠正和更大的容错能力。
这些新型的量子纠错码为量子计算中的误差和干扰问题提供了更多的解决方案。
量子纠错码的研究不仅仅局限于编码方式的设计，还涉及到了量子纠错原理的研究和应用。
量子纠错原理是指利用量子门操作和测量方法来实现对量子比特的错误检测和修正。
在量子计算中，由于量子比特的叠加性质，量子信息的错误判定和修正需要引入一些特殊的量子门操作和测量方法。
研究量子信息中的量子纠错与量子编码
研究量子信息中的量子纠错与量子编码随着科学技术的不断进步，量子信息领域逐渐引起人们的关注。
在经典信息传输中，信息的可靠性可以通过纠错编码来保证，在量子信息领域中，也需要寻找一种方法来保护信息的可靠性，这就是量子纠错与量子编码的研究内容。
一、量子纠错1.1 量子位的脆弱性量子位是量子信息的最基本单元，与经典比特不同，量子位处于一个状态的叠加态，而且容易受到外界的干扰而发生错误。
这种脆弱性限制了量子信息传输和处理的可靠性。
1.2 量子纠错的原理量子纠错是通过增加冗余度来检测和纠正量子位错误。
纠错码的设计需要考虑量子的叠加态和量子态之间的相干性质，以及受到干扰的概率等因素。
常见的量子纠错码有Shor码和Steane码等。
1.3 Shor码的应用Shor码是一种常用的量子纠错码，它能够在保护量子位的同时，还能恢复多个量子位中的错误。
Shor码的应用涉及到量子计算、量子通信等领域，对于实现可靠的量子信息传输具有重要意义。
二、量子编码2.1 量子态的编码表示在量子信息处理中，需要将信息通过量子位的方式进行编码。
与经典计算中的编码不同，量子编码还需要考虑量子态的相干性和叠加性质。
目前常用的量子编码方式有超密编码和量子密钥分发等。
2.2 超密编码超密编码是一种能够在量子通信中实现信息安全传输的编码方式。
它利用了量子态的非局域性质，可以在量子比特的传输过程中实现信息的加密和解密，具有很高的安全性。
2.3 量子密钥分发量子密钥分发是一种利用量子态的特性实现密钥安全传输的方法。
它通过量子比特的传输和测量，可以实现在通信过程中检测是否被窃听以及密钥的安全分发。
三、量子纠错与量子编码的应用3.1 量子通信量子纠错与量子编码在量子通信中起到了重要的作用。
通过纠错码的应用，可以实现在量子信道中的错误检测和纠正，提高量子通信的可靠性。
而量子编码则能够保证量子态的安全传输，保护通信过程中的密钥和信息。
3.2 量子计算量子计算是利用量子位的叠加性质和量子纠错编码来实现的。
量子力学中的量子纠错码
量子力学中的量子纠错码在量子力学中，量子纠错码（Quantum Error Correction Code）是一种用于保护量子信息免受噪声和干扰影响的编码技术。
量子纠错码是基于量子比特（Quantum Bit）的纠错码，通过特定的编码方式，可以有效地检测和修复量子比特的错误，从而提高量子计算和通信的可靠性。
1. 量子比特和量子错误量子比特是量子计算和通信的基本单元，类似于经典计算机中的比特。
在量子系统中，量子比特可以处于多个状态的叠加态，而非仅仅是0或1两个状态。
然而，受到量子系统的不确定性和环境干扰的影响，量子比特容易发生错误。
这些错误来源于量子力学的特性，例如量子态的退相干、测量过程的干扰以及与环境的相互作用。
2. 量子纠错码的原理量子纠错码利用冗余信息和纠错算法来检测和修复量子比特的错误。
其中，冗余信息是通过将原始的量子比特编码成多个量子比特所实现的。
纠错算法根据编码的模式和错误的位置，从冗余信息中推断出错误的比特，并对其进行修复。
量子纠错码的关键任务是实现高效的错误检测和修复，以保护量子信息的完整性和可靠性。
3. 量子纠错码的分类目前，已经发展出多种不同类型的量子纠错码。
常见的量子纠错码包括三阶量子码（Three-Qubit Code）、Steane码、Shor码等。
这些纠错码的主要区别在于它们所能纠正的错误类型和数量，以及纠错码的编码效率和纠错能力。
不同的纠错码适用于不同的量子计算和通信场景，可以根据具体需求选择合适的纠错码。
4. 量子纠错码的应用量子纠错码在量子计算和量子通信中有着广泛的应用。
在量子计算中，量子纠错码可以提高量子计算机的可靠性和稳定性，减少量子比特的错误率，从而提高计算结果的准确性。
在量子通信中，量子纠错码可以保护传输的量子信息免受信道噪声和信号损失的影响，保证信息的安全和完整性。
5. 量子纠错码的挑战和展望尽管量子纠错码在量子技术领域中发挥着重要的作用，但其实现和应用面临着一些挑战。
量子计算中的量子纠错编码与解码方法
量子计算中的量子纠错编码与解码方法在量子计算领域中，量子纠错编码与解码是一项重要的技术，其作用是增加量子计算的可靠性和稳定性。
量子计算是基于量子位（或称量子比特）进行运算和存储数据的一种计算模式，相较于传统的经典计算方式，量子计算能够在指数级速度上提升计算能力。
然而，由于量子位的特殊性质，量子计算过程容易受到各种误差的干扰，导致计算结果的不准确性。
为了解决这个问题，量子纠错编码与解码方法应运而生。
量子纠错编码的基本思想是通过添加冗余信息来检测和纠正量子位上的误差。
在量子纠错编码中，常用的编码方式有三态编码和五态编码。
三态编码将一个量子位分为三个相互正交的态，并通过测量不同态的组合来检测和纠正误差。
五态编码则将一个量子位分为五个态，通过测量不同态的组合来实现纠错。
在量子纠错编码的基础上，量子纠错解码是必不可少的。
量子纠错解码的目标是根据相应的编码规则和量子态的测量结果，恢复出原始的量子态。
这一过程通常需要使用一系列的量子门操作和量子测量技术，以实现测量结果的解码和误差的纠正。
除了基本的量子纠错编码与解码方法，还有一些更复杂的编码方案被提出来应对更高级的误差模型。
例如，著名的Shor编码方案利用了量子错误的特性，并结合了纠错码和量子运算，能够纠正多位量子比特的错误。
这种编码方案主要应用于量子计算中的量子位（或称量子比特）的长时间储存。
此外，量子纠错编码与解码方法还可以结合反错误检测和纠错码的技术，加强量子计算的鲁棒性和可靠性。
反错误检测主要利用量子态的非局部特性，通过对远程态的测量，来检测和纠正远程态的错误。
而纠错码则通过对量子位的冗余表示来实现错误的检测和纠正。
需要指出的是，量子纠错编码与解码方法既可以应用于量子计算中的量子位，也可以应用于量子通信系统中的量子比特传输。
量子纠错编码与解码的原理和方法在两者之间有着重要的联系和共通性。
在量子通信系统中，量子编码和解码的目标是确保量子比特的安全传输和可靠接收，并保证量子信息的完整性。
量子纠错编码和量子纠错定理
量子纠错编码和量子纠错定理量子计算是当今科学领域的一个热门话题，它利用量子力学原理来进行计算和信息处理。
然而，量子系统容易受到环境噪声的影响，这对于可靠的信息处理来说是一个巨大的挑战。
为了解决这个问题，科学家们提出了量子纠错编码和量子纠错定理。
量子纠错编码是一种通过引入冗余量子比特来保护量子信息的方法。
在传统计算中，我们可以使用纠错码来检测和纠正比特翻转错误。
类似地，量子纠错编码通过在量子比特之间建立特殊的关系，使得即使在存在噪声的情况下，也能够检测和纠正错误。
量子纠错编码的基本思想是利用量子态的叠加性质。
在传统计算中，我们可以通过复制比特来进行纠错。
然而，根据量子力学的非克隆定理，我们无法完美地复制未知量子态。
因此，量子纠错编码采用了一种不同的方法，即通过在多个量子比特之间分配冗余信息来实现纠错。
量子纠错编码的一个重要例子是三比特的量子纠错码。
在这个编码中，我们使用三个量子比特来表示一个逻辑比特，其中两个比特用于存储信息，而第三个比特用于检测和纠正错误。
通过在这三个比特之间建立特殊的关系，我们可以检测和纠正单比特翻转错误。
量子纠错编码的关键是量子纠错定理。
量子纠错定理是指在一定条件下，可以通过测量冗余比特来检测和纠正错误。
这个定理的证明涉及到量子态的测量和量子纠错编码的性质。
具体而言，我们可以通过测量冗余比特的某些属性来判断是否存在错误，并通过适当的操作来纠正错误。
量子纠错定理的证明是基于量子态的叠加性质和量子比特之间的相互作用。
在量子计算中，我们通常使用量子门来操作量子比特。
量子门可以将一个量子比特转变为另一个量子比特，从而实现量子计算。
然而，量子门操作也容易受到噪声的干扰，导致错误的产生。
通过使用量子纠错编码和量子纠错定理，我们可以在一定程度上减少错误的发生。
总之，量子纠错编码和量子纠错定理是保护量子信息的重要工具。
它们利用量子态的叠加性质和量子比特之间的相互作用，来检测和纠正噪声引起的错误。
量子信息编码与量子纠错技术
量子信息编码与量子纠错技术量子信息编码与量子纠错技术在量子通信和量子计算领域发挥着重要作用。
量子信息编码是一种用于保护和传输量子信息的技术，而量子纠错技术则是一种用于修复和恢复由于干扰和噪音引起的量子信息错误的方法。
本文将重点探讨这两种技术的原理、应用和发展前景。
一、量子信息编码在传统的经典通信中，我们可以通过增加冗余信息来检测和校正传输过程中引入的错误。
然而，在量子通信中，传统的错误校正码无法直接应用，因为在量子系统中，信息是以量子态的形式传输的。
因此，量子信息编码技术的发展变得尤为重要。
量子信息编码的目标是保护和传输量子态，以便在通信过程中尽量减少错误的引入。
常见的量子信息编码方法包括量子纠缠态编码、盖茨操作编码和纠缠核编码等。
量子纠缠态编码是一种利用纠缠态的性质来编码和保护量子信息的方法。
纠缠态编码可以增加传输的信息量，并提供了一种高效的防止错误的方法。
例如，利用纠缠态编码可以实现对单比特错误和双比特错误的纠正。
盖茨操作编码是一种利用量子盖茨操作进行编码和保护量子信息的方法。
通过在发送端和接收端之间进行一系列的盖茨操作，可以将传输的信息编码成一组纠错码。
在接收端，通过对接收到的数据进行逆盖茨操作，可以恢复原始的量子态。
纠缠核编码是一种结合了量子纠缠态和盖茨操作编码的方法。
纠缠核编码可以同时进行纠错和编码操作，以提高数据的传输速率和保护能力。
二、量子纠错技术量子纠错技术是一种用于修复和恢复因干扰和噪音引起的量子信息错误的方法。
在量子通信和量子计算中，由于量子系统对干扰和噪音十分敏感，传输过程中的错误是不可避免的。
因此，研究开发有效的量子纠错技术对于实现可靠的量子通信和计算至关重要。
量子纠错技术的基本原理是在传输过程中通过纠错码检测错误，并使用纠错操作来修复错误。
常见的量子纠错码包括Steane码、Shor码和Gottesman码等。
Steane码是一种常用的量子纠错码，可以纠正任意单比特错误。
量子力学中的量子纠错与量子编码
量子力学中的量子纠错与量子编码引言：量子力学是描述微观世界行为的理论，它在信息科学领域有着广泛的应用。
然而，量子系统容易受到干扰和噪声的影响，这给量子信息的传输和存储带来了挑战。
为了解决这个问题，量子纠错和量子编码成为了研究的热点。
本文将探讨量子纠错和量子编码的原理、方法和应用。
一、量子纠错的原理量子纠错是指通过一系列操作，将受到干扰和噪声影响的量子态恢复到原始的纯态。
在经典信息中，我们可以通过冗余编码来实现纠错，但在量子系统中，由于量子态的不可复制性，我们无法直接进行冗余编码。
因此，量子纠错需要借助量子纠错码的概念。
量子纠错码是一种特殊的量子态，它可以将原始的量子态编码成多个量子比特的组合。
通过在量子纠错码上施加一系列的操作，我们可以检测和纠正受到干扰的量子比特，从而实现量子纠错。
这些操作包括测量、幺正操作和量子纠错算法等。
二、量子纠错的方法量子纠错的方法主要包括对称量子纠错码和非对称量子纠错码。
对称量子纠错码是指编码和译码操作相同的量子码，它们的编码和译码操作可以通过幺正操作实现。
而非对称量子纠错码则需要更加复杂的操作，包括测量和幺正操作。
对称量子纠错码的一个代表性例子是三重重复码。
三重重复码将一个量子比特编码成三个相同的量子比特，通过对这三个量子比特进行测量，我们可以检测和纠正受到干扰的量子比特。
非对称量子纠错码的一个代表性例子是Steane码。
Steane码是一个七比特的量子码，通过测量和幺正操作，我们可以实现对受到干扰的量子比特的纠正。
三、量子编码的原理量子编码是指将原始的量子信息编码成一种特殊的量子态，以提高信息的传输和存储的可靠性。
与量子纠错码不同，量子编码不仅可以纠正受到干扰的量子比特，还可以提供更多的信息容量和安全性。
量子编码的原理主要包括态编码和差分编码。
态编码是指将原始的量子态编码成一组特殊的量子态，通过测量这组量子态的结果，我们可以恢复原始的量子态。
差分编码则是通过对连续的量子态进行编码，使得在传输和存储过程中，即使部分量子态受到干扰，我们仍然可以恢复原始的量子信息。
量子计算机中的量子编码与纠错技术教程
量子计算机中的量子编码与纠错技术教程在经典计算机的发展中，我们已经能够实现非常强大的计算能力，但是随着计算问题的增加和复杂性的提高，经典计算机的计算能力也变得有限。
为了突破这一限制，科学家们开始研究利用量子力学的特性来进行计算的方法，这就是量子计算机的诞生。
而在量子计算机的发展过程中，量子编码与纠错技术是非常关键的一部分。
量子编码是将经典信息转换为量子态的过程。
量子态是描述量子系统状态的数学表示，它可以通过使用量子比特（qubit）来实现。
比特是计算机中最基本的信息单位，它可以表示0或1，而量子比特则可以同时表示0和1的叠加态。
这是量子力学的一个重要概念，称为叠加原理。
量子编码利用叠加原理，可以同时表示多个信息状态。
在经典计算机中，我们通常使用二进制编码来表示信息，比如使用0和1来表示两种状态。
但是在量子计算机中，我们可以使用叠加态来表示更多的信息状态，从而增加计算的能力。
比如，使用一个量子比特可以表示4种状态，使用两个量子比特可以表示8种状态，以此类推。
除了量子编码外，纠错技术也是量子计算机中不可或缺的一部分。
在传输和存储过程中，由于噪声的干扰，量子信息很容易受到损坏。
为了保证计算的准确性，我们需要使用纠错技术来恢复损坏的信息。
与经典计算机中的纠错技术类似，量子计算机中也有各种纠错编码方案。
一个常用的量子纠错编码方案是量子纠缠态。
量子纠缠态是指多个量子比特之间存在一种特殊的相互依赖关系，改变其中一个量子比特的状态会对其他量子比特产生影响。
利用量子纠缠态，我们可以实现信息的冗余存储和恢复。
当纠错编码方案中的某个量子比特受到损坏时，我们可以通过纠错算法来恢复原始信息。
除了量子纠缠态，还有一种常用的量子纠错编码方案是量子错误纠正码。
量子错误纠正码是一种利用冗余信息来检测和纠正量子比特错误的编码方式。
通过将量子态分解成多个部分，然后对每个部分进行编码和纠错，我们可以提高量子信息的可靠性。
在实际应用中，量子纠错编码方案需要结合具体的量子技术来实现。
量子层次结构与量子通信编码方式介绍
量子层次结构与量子通信编码方式介绍量子力学的发展引领了新一代技术的崛起，其中量子通信作为应用之一，成为现代通信领域的研究热点。
在量子通信中，量子层次结构和量子通信编码方式起到了至关重要的作用。
本文将对量子层次结构和量子通信编码方式进行介绍，以及它们在量子通信中的应用。
量子层次结构是指量子系统的能级结构。
在量子力学中，原子、离子或固体中的电子和核子都可以存在于不同的能级上，这些能级之间的跃迁和相干干涉产生了一系列特殊的量子现象。
量子层次结构通常被用来描述和测量量子通信中的信息储存和传输。
量子层次结构的核心概念是量子叠加和量子纠缠。
量子叠加指的是量子系统可以同时处于多个状态之间，并且可以通过测量来准确地确定其最终状态。
例如，一个量子比特可以同时处于0和1两种状态，而不仅仅是二进制中的0或1。
量子纠缠是指两个或多个量子系统之间的非经典的状态关联，其中一个系统的测量结果与其他系统的状态密切相关，即使它们之间存在空间上的距离。
这种非经典的关联关系被应用于量子通信编码方式中，以实现信息传输的安全性和高效性。
量子通信编码方式则是利用量子层次结构和量子纠缠来确保信息传输过程中的安全性和可靠性。
传统的通信编码方式在信息的传输过程中容易受到窃听和干扰，而量子通信编码方式通过利用量子力学中的特殊现象，提供了更加安全的信息传输方式。
在量子通信编码中，有两个主要的编码方式：量子比特编码和量子态编码。
量子比特编码利用了量子叠加的特性，将信息转换为量子比特来进行存储与传输。
量子态编码则是利用量子纠缠的特性，将信息编码成量子态的关联状态。
这两种编码方式都具有较高的安全性和容错性，比传统的通信编码方式更加可靠。
量子通信编码方式在量子密钥分发、量子远程纠缠、量子隐形传态和量子网络等领域有广泛的应用。
量子密钥分发是一种在通信双方之间安全地共享密钥的方法，通过利用量子纠缠和量子测量，确保密钥在传输过程中不被窃听者获取。
量子远程纠缠是一种将两个或多个空间上分布的量子系统之间的纠缠状态远程传输的方法，通过量子纠缠的原理，实现了量子信息的远程传输。
量子计算的编码与解码技术(四)
量子计算的编码与解码技术随着科学技术的不断进步与发展，计算机的应用领域也越来越广泛，从传统的数字计算到云计算，再到如今备受关注的量子计算。
量子计算作为一种革命性的计算模型，具有高度并行性和计算速度上的优势，被认为将在未来的科技领域中扮演重要角色。
而量子计算的核心则是编码与解码技术。
一、量子编码技术量子编码技术意味着对信息进行量子态的编码，使其具备量子力学中的特性。
这种编码方式通过充分利用量子特性，将信息存储在量子比特上，以实现更高效的计算。
其中，最著名的便是量子纠缠和量子叠加。
量子纠缠是指两个或多个量子比特之间存在一种紧密的联系，即一个量子比特的状态会立即影响其他相关的量子比特。
这种关系是基于量子力学的特性，使得信息可以在量子比特之间传输，并且可以同时处理多个信息。
量子纠缠的产生和应用是量子编码技术中重要的一环，提高了计算的并行性和速度。
另外，量子叠加是指量子比特可以同时处于多个状态，而不仅仅是传统的0或1态。
例如，一个量子比特可以同时处于0和1态，这使得量子计算机能够同时处理多个可能性。
通过运用量子叠加，量子计算机可以在有限的时间内枚举和计算多个可能的解，大大提高了计算效率。
二、量子解码技术量子解码技术是指对重叠态和纠缠态进行解码，将量子信息转化为可读取的经典信息。
量子解码技术对于提取量子计算结果以及传输和存储信息具有重要意义。
在量子解码技术中，量子测量是一种基本的操作，通过对量子比特进行测量，可以得到量子信息的部分或全部。
而根据量子信息的测量结果，可以将其转化为对应的经典信息。
此外，量子解码技术还包括解码算法的发展。
随着量子计算的应用不断扩大，人们对解码算法的研究也越发重视。
目前，已经出现了一些优秀的量子解码算法，如盲解码、最优解码等，为量子计算提供了更多的可能性。
三、编解码技术的应用领域量子编码与解码技术的应用领域非常广泛。
首先，量子编码与解码技术在通信领域具有重要意义。
传统的信息传输方式存在安全性和速度的局限，而量子编码与解码技术可以实现信息的安全传输和快速处理。
一类新的q元量子MDS码
一类新的q元量子MDS码
牛刚;亓延峰
【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》
【年(卷),期】2016(036)005
【摘要】量子纠错码在量子信息处理和量子计算中有着重要的应用.q元量子MDS 码是一类重要的最优量子纠错码,此类量子码的参数满足相应的量子Singleton界.构造q元量子MDS码具有重要的理论和应用意义.但构造码长q+1的q元量子MDS码是比较困难的,许多码长(q+1)(q-1)/m的q元量子MDS码,其中m整除q+1或q-1,已经被构造出来.在HE Xiangming等构造出的q元量子MDS码的基础上,给出了几类q元量子MDS码的具体实例,这些量子MDS码具有码长
(q+1)(q-1)/m,其中m整除(q+1)(q-1),但m不整除q-1,也不整除q+1.
【总页数】5页(P95-98,102)
【作者】牛刚;亓延峰
【作者单位】杭州电子科技大学理学院,浙江杭州310018;杭州电子科技大学理学院,浙江杭州310018
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.22
【相关文献】
1.利用经典码构造大码长量子MDS码 [J], 李选海;卢慧敏
2.基于Constacyclic码构造的一类新的量子MDS码 [J], 黄娜; 唐西林
3.由GRS码构造新的量子MDS码 [J], 陈硕;唐西林
4.基于广义Reed-Solomon码构造的两类量子MDS码 [J], 李建涛;王伟伟
5.基于常循环码构造的两类纠缠辅助量子MDS码 [J], 王伟伟;李建涛
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
利用经典码构造大码长量子MDS码
利用经典码构造大码长量子MDS码李选海;卢慧敏【摘要】构造具有良好参数的量子码是量子纠错码研究的一个重要问题。
量子M DS码达到了量子Singleton界，参数达到最优。
已知的非平凡量子MDS码的码长较小，构造具有较大码长的非平凡量子M DS码是一个公开的热点问题。
改进了构造自对偶码的building‐up方法，通过这种改进的新的构造方法获得了关于欧氏内积或者 Hermitian内积的自正交码，反复迭代构造具有较大码长的量子M DS码，具体给出了针对2种参数的构造方法。
还讨论了迭代的技巧和方法，并给出了迭代的步骤和适当的初始码，反复迭代获得较好性质的量子码。
%Constructing quantum codes with good parameters is of great importance .Quantum MDS codes meet the Singleton bound ,whose parameters are optimal .However ,the known non‐trifle quantum MDS codes have small length .It is an open question attracting much attention to construct quantum MDS codes with lager length .In this paper ,we improve the building‐up methods for self‐dual codes .With the new methods for two kinds of parameters ,we get the self orthogonal codes with Euclidean or hermitian inner product ,and the quantum MDS codes with lager length are gained by iteration .We also discuss the iteration technique ,and gain the iteration steps and proper initial co des .【期刊名称】《辽宁师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】5页(P161-165)【关键词】量子MDS码;Singleton界;自正交【作者】李选海;卢慧敏【作者单位】海军大连舰艇学院基础部，辽宁大连 116018;海军大连舰艇学院基础部，辽宁大连 116018【正文语种】中文【中图分类】O236.2量子纠错码是克服相消干的重要手段，在量子信息处理过程中对抗环境和噪声的影响.与经典码的研究相似，量子纠错码研究的重要内容是构造具有良好参数的量子码.对于一般域上的经典码来说，在已有条件下使参数达到最优，一直以来都是人们研究的热点[1-2].这里将k位q维量子系统编码为n位q维量子系统，码距为d 的量子码，记为[[n,k,d]]q.它的参数满足量子Singleton界，即n≥k+2d-2.达到量子Singleton界的码，被称为量子极大距离可分码，或简称为量子MDS码.量子MDS码的参数达到最优，长久以来受到人们的广泛关注和研究[3-6].其中利用经典码构造量子码仍然是十分直接有效的方法，也产生大量的量子MDS码.利用经典码构造量子MDS码可通过Calderbank-Shor-Stean(CSS)方法或者由Heimitian码的方法构造，但是用于构造的经典码必须满足2个条件：(1)关于欧式内积或者关于Hermitian内积自正交；(2)是MDS码.这2点要求使量子MDS 码较比一般量子码的构造更困难.另外，目前已知的量子MDS码码长较小，这与构造量子码的基域Fq有关.但如何在码长界限范围内构造出码长更大，甚至长度超过q的量子码一直是人们关注的热点问题.本文将文献[7]中的building-up方法作以改进，构造出非对偶的自正交码，讨论了迭代步骤和初始码，从而通过适当的迭代构造具有较大码长的非平凡量子MDS码.记，对任意，称为a,b的欧氏内积.记,∀b∈C}.如果，那么对任意，称为a,b的Hermitian内积.记,∀b∈C}.如果C⊆C⊥(或C⊆C⊥h)，则称C关于欧氏内积(或Hermitian内积)自正交.定理1 (CSS构造方法)如果存在Fq上线性码C=[n,k]，满足C⊆C⊥，则存在量子码[[n,n-2k,d]]q，其中，d=w(C⊥\C).定理2 (Hermitian码构造方法)如果存在Fq2上线性码C=[n,k]，满足C⊆C⊥h，则存在量子码[[n,n-2k,d]]q，其中，d=w(C⊥h\C).对于量子MDS码[[n,k,d]]q，如果k≤1或者k≥n-1，则称量子码是平凡的，否则称为非平凡的.由于经典MDS码的码长具有一定的限制条件，量子MDS码的码长也满足一定的存在范围.定理3[8] 量子MDS码[[n,k,d]]q满足(1)当码是平凡的，n可以是任意长度；(2)当码是非平凡的，4≤n≤q2+d-2≤2q2-2.根据定理3，非平凡量子MDS码码长上界为2q2-2，而对于已知的量子码来说，码长都比较小，这个界限过于宽松.实际上，这个界限似乎可以被缩紧到q2+2.人们关注于较大码长的量子MDS码的构造，具体地说有这样一个公开的热点问题：构造码长q≤n≤q2-1的量子码.令q为素数的方幂，且q≡1(mod 4).改进文献[7]中命题2.1和3.1的构造方法构造量子MDS码.定理4 因为q≡1(mod 4)，所以存在c∈Fq，使得c2=-1.如果存在Fq上长为n维数为k关于欧氏内积自正交的线性码C0，其生成矩阵为G0=(ri)(1≤i≤k)，令满足(x,x)=-1，令yi=(x,ri)，那么以定理5 记Fq2中本原q2-1次单位根为ζ，令，易知其满足c·cq=-1.如果存在Fq2上长为n维数为k关于Hermitian内积自正交的线性码C0，其生成矩阵为G0=(ri)(1≤i≤k)，令满足(x,x)=-1，令，那么以定理6 若Fq(或Fq2)上关于欧氏(或Heimitian)内积自正交的线性码C0=[n,k]利用构造方法1得到的自正交码C=[n+2,k+1]是MDS码，则存在量子MDS码[[n+2,n-2k,k+2]]q.证这里只证明C为Hermitian内积自正交的情况，欧氏内积自正交的情况类似可得.令H为C的校验矩阵，因为C是Fq2上的码，所以C⊥h以为生成矩阵.因为C 的最小距离为n-k+2，所以H任意n-k+1列均线性无关.如果Hq中存在n-k+1列线性相关，记为，即存在不全为0的c1,c2,…,cn-k+1∈Fq2使说明1 可反复应用定理4或定理5，直到得到满意码长的量子MDS码.(1)选定Fq(Fq2)上关于欧氏(Hermitian)内积的自正交码C0=[n,k,d]满足2k<n-1(此条件比自正交条件更强以获得非平凡量子MDS码)，其生成矩阵为G0；(2)选取适当的c满足c2=-1，在计算机上搜索，使其满足(x,x)=-1((x,x)h=-1)，计算yi=(x,ri)(yi=(x,ri)h)(i=1,…,n)，根据定理4(定理5)构造矩阵G；(3)搜索以G为生成矩阵的码C的最小距离d，若d=n-k+2，则C是MDS码，完成搜索.否则，回到步骤(2)，重新选取x；(4)根据定理1(定理2)，利用C构造量子码[[n,n-2k,k+2]]q；(5)比较n+1是否大于q，若n+1<q，回到步骤(1)，令C0=C,G0=G，重复上述步骤，可得到更大码长的非平凡量子MDS码.说明2 根据文献[7]命题2.2、命题3.2，对于q≡1(mod 4)任何关于欧氏内积或Heimitian内积的自正交码，都必然可由相应的定理5或定理6，通过选取适合的初始码C和x来构造获得.因此，对于以CSS方法和Hermitian码方法构造稳定子码而言，只要存在相应码长的量子MDS码，一定可由构造方法1来获得.例1 文献[9]构造了大量Fq2上关于Hermitian内积自正交码的生成矩阵，这里以2种情况为例，利用构造方法1构造量子MDS码.情况1 当6≤n≤q2-2，且n≡0(mod 2)，设n-4=2k1，存在b∈Fq，使得2k1+2b≠0，存在δ,γ,μ,ε,ω∈Fq2，使得情况2 当n=q2+2，设n=2k1+9，存在b∈Fq，使得2k1+4+4b≠0，令说明3 在情况2中，由文献[9]中引理3.3.8和定理3.3.1知，以A3,n为生成矩阵的码已经能够构造量子码[[n,n-6,4]]q，且n=q2+2>q是理想中的非平凡量子MDS码.文献[9]中构造方法虽然也可以通过增大n值，逐渐使构造所需的量子码，但是这种方法构造的均为[[n,n-6,4]]q参数模式的量子码，且每改变一次n值，生成矩阵的参数δ,γ,μ,ε,ω需要重新计算，比较复杂.如果使用构造方法1，计算一个相对较小的n值的情况，逐次迭代就可获得关于不同码长的量子MDS码，且是非平凡的.然而在反复迭代的过程中，发现将MDS码反复迭代次数过多，就只能得到近似MDS码(参数为[n,k,n-k]，见文献[7]中例4.7，n=2开始，迭代5次后，变为近似MDS码).基于以上原因，可以选择一个合适码长n，用文献[9]方法构造生成矩阵A3,n，然后利用构造方法1，做适当次迭代，构造理想长度的非平凡量子MDS码.令q为素数方幂，且q≡3(mod 4).改进文献[7]中方法构造量子MDS码.定理7 当q≡3(mod 4)，存在α,β∈Fq*，使α2+β2+1=0.如果存在Fq上长为n 维数为k关于欧氏内积自正交的线性码C0，其生成矩阵为G0=(ri)(1≤i≤k)，令，满足(x,x)=-1,yi=(x,ri)，那么以定理8 若对Fq上关于欧氏内积自正交码C0=[n,k]利用构造方法2得到自正交码C=[n+3,k+1]是MDS码，则存在量子码[[n+3,n-2k+1,k+3]]q.构造方法2针对欧氏内积，其步骤类似构造方法1，这里不再赘述.例2 文献[10]中讨论了duadic码的正交性：Fq上even-like的duadic码[n,(n-1)/2]是关于欧氏内积自正交的充分必要条件是μ-1给出了一个splitting(文献[10]中定理6.4.1).将这种自正交的duadic码作为C0，利用构造方法2，可搜索量子MDS码.以特殊的duadic码——二次剩余码为例说明.根据文献[10]中练习368，当码长n为素数满足n≡-1(mod 12)或n≡5(mod 12)，且t是偶数时，F3t上的even-like二次剩余码均是自正交的.此时如果令C0=[n,(n-1)/2]，利用构造方法2搜索x，得到的自正交码C=[n+3,(n+1)/2]是MDS码，则存在量子码[[n,2,(n+5)/2]]3t，这是非平凡的量子MDS码，且具有较强的纠错能力.针对量子MDS码的热点问题，给出了2种在域Fq上构造码长超过q的非平凡量子MDS码的方法，给出了具体的构造步骤，讨论了迭代技巧和可能的用于迭代的初始码，此种方法可以反复迭代增加码长达到需要.。
量子纠错编码
量子纠错编码是量子信息学中的一个重要概念，旨在解决量子计算和量子通信中由于量子相干性随时间衰减（即消相干）导致的量子错误问题。
在量子系统中，量子比特（或qubit）是用来存储和处理信息的基本单元。
然而，由于量子相干性的限制和外部环境的干扰，量子比特在操作过程中可能会产生错误。
为了确保量子信息的准确性，需要引入一种能够自动检测并纠正这些错误的机制，这就是量子纠错编码。
量子纠错编码的工作原理是利用量子比特的纠缠和量子门操作来实现信息的编码和纠错。
它通常涉及在量子比特上执行特定的量子门操作，以创建一种被称为“纠错码”的量子态。
这种纠错码具有能够检测和纠正一定数量错误的能力。
通过这种方式，量子纠错编码提高了量子信息传输和处理的可靠性。
在实际应用中，量子纠错编码的一个关键挑战是实现逻辑量子比特，即能够进行纠错的量子比特。
这需要精确地控制量子门操作，并克服量子相干性随时间衰减的影响。
近年来，科学家们在实验上取得了一些进展，例如使用超导量子比特实现了五量子比特纠错码的基本操作。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因此 Fq*2= α0 × α1 × × αs 是 s +1个子群的直积。
( ) 设 γ i
α = piki i
，则 ord
γi
=
pti −ki i
，设 Γi
=γ i
以及
( ) ( ) Γi =1,γi ,
, γ 。 piti−ki −1 i
piki −1
则有 αi
∪ =
α
t i
γi
对任意的 i = 0,1,
由GRS码构造新的量子MDS码
陈 硕，唐西林 华南理工大学数学学院，广东 广州
收稿日期：2020年8月29日；录用日期：2020年9月18日；发布日期：2020年9月25日
摘要
量子MDS码的构造如今变得越来越重要。本文我们对
q2
−
1
作素数分解并讨论了q的奇偶性，在有限域
F q
2
上构造了4类新的量子MDS码。这些量子MDS码参数更灵活，最小距离大。此外，我们通过L1-forms和
别定义为：
n
n
∑ ∑ u, v E = uivi ， u, v H = uiviq
i =1
i =1
假设 C 是 Fqn 中一个长度为 n 的线性码，则 C 的厄米特对偶码定义为：
{ } C⊥H = u ∈ Fqn : u, v H = 0对任意的v ∈ C
如果 C 满足 C ⊆ C⊥H ，则 C 被称为厄米特自正交码。若 C 的参数为 [n, k, d ] ，则当 d = n − k +1 时，
q − ((n, K, d )) 。一个长度为 n，维数为 qk ，极小距离为 d 的量子码的 q 元量子码则记为
n, k, d
。
q
近年来，针对量子 MDS 码的构造进行了大量的研究工作，并构建了很多类新的量子 MDS 码(参考[1]-[7])。
在本文中，假设 q2 −1 =2t0 p1t1 psts 是对 q2 −1 的一个素数分解，我们通过 GRS 码构造了 4 类新的量子
(1) A 的任意 r 列线性无关。 (2) A(q) 与 A 行等价。
则方程组 AuT = 0= T 存在一个解 u (u0 ,u1,
证明：我们对 a 应用数学归纳法。
) ( ) , ur+a−1 ∈ Fq* r+a
(1) 当 a = 1 时，由引理 2.2.2，结论成立。
(2) 假设结论在 a ≤ x −1 时成立，其中 x ≥ 2 是一个正整数。
(2) A(q) 与 A 行等价。
( ) 则方程组 AuT = 0T 存= 在一个解 u (u0 ,u1,
) , ur
∈
Fq*
r +1
。
推论 2.2.3. 假设 r > 0 ，1 ≤ a ∈ »* 和 r + a < q +1。A 为元素在 Fq2 中的 r × (r +1) 阶矩阵并且满足以下
两个条件：
{ } = GRSk (a, v) (v1 f (a1 ), v2 f (a2 ), , vn f (an )) : f ( x) ∈ Fq [x], deg ( f ( x)) ≤ k −1 。
我们知道 GRSk (a, v) 是一个参数为 [n, k, n − k +1] 的 MDS 码。
DOI: 10.12677/pm.2020.109102
Received: Aug. 29th, 2020; accepted: Sep. 18th, 2020; published: Sep. 25th, 2020
Abstract
It becomes more important to construct quantum maximum-distance-separable (MDS) codes by means of the self-dual Generalized Reed-Solomon (GRS) codes. In this paper, we construct four classes of quantum MDS codes over a finite field Fq2 through the prime decomposition of q2 − 1 and the discussion of the parity of q. These quantum MDS codes have more flexible parameters with large minimum distance. Further, those quantum codes of the minimum distances larger than q + 1 can be found by L1-forms and L2-forms. 2
陈硕，唐西林
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
文章引用: 陈硕, 唐西林. 由 GRS 码构造新的量子 MDS 码[J]. 理论数学, 2020, 10(9): 876-888. DOI: 10.12677/pm.2020.109102
Keywords
Quantum MDS Code, Hermitian Self-Orthogonal, GRS Codes
,s 。
t=0
3. 主要结果
( ) 记
n
=
( r0
+1)(r1 +1)
2k0 p1k1
(rs +1)
psks
q2 −1
，在这一节，我们利用厄米特自正交的
GRS
码来构造新的长度
为1+ n 的量子 MDS 码。在此之前，我们先给出以下几个引理。
引理 3.1 [3]. 设 q > 2 和 r ≥ 1 ，则存在 u0 ,u1, ,ur 使得
2. 预备知识
在本节中，我们将介绍一些关于线性码和 GRS (Generalized Reed-Solomon)码的一些符号和结论。
2.1. 基本符号
假设 q = pm ，其中 p 是一个素数，m 是一个正整数，Fq 为含有 q 个元素的有限域， Fq* = Fq \ {0} 。 对于任意两个向量 u = (u1,u2= , ,un ) ，v (v1, v2 , , vn ) ∈ Fqn ，它们的欧几里得内积和厄米特内积被分
= α ⊗ β (a0β , a1β ,
) , an−1β
∈
F mn q2
。
可以看出
DOI: 10.12677/pm.2020.109102
878
理论数学
陈硕，唐西林
α ⊗ β ,α1 ⊗ β1 = α ,α1 β , β1 。
假设 Fq*2 = ω ，其中 ω 为 Fq2 的一个本原元。设 q2 −1 =2t0 p1t1 psts 是对 q2 −1 的一个素数分解，再
r
∑ ui = 0
i=0
根据引理 3.1，我们有如下推论。
推论 3.2. 设 q > 2 和 r ≥ 1 ， v ∈ Fq* ，则存在 u0 ,u1, ,ur 使得
元素
θ
∈
Fq*
\
u2
v2
,
u3 v3
,
,
ur
+
x
−1
vr + x−1
( ) = 取 x
(0,u) −θ (v, 0) ，则 x ∈
Fq*
r+x
，我们有
Ax
0 = A1uT
+
θ
Ar
vT
+ x−1
0
= 0
故结论成立。
引理 2.2.4 [1].
如果存在一个元素在
F q
2
上的
[n,
k,
者，我们可以假设 q −1 =2t0′ p1t1
pwtw
，
q + 1 =2t0′′
ptw+1 w+1Βιβλιοθήκη psts， M1=
2k0′
q −1
p1k1
pwkw
， M2
=
2k0′′
q +1 p kw+1
w+1
psks
和
p0 = 2 ， t0= t0′ + t0′′ ， k=0 k0′ + k0′′ ， M = M1M 2 ， 0 ≤ ki ≤ ti 对于 0 ≤ i ≤ s 。很容易可以看出
Open Access
1. 引言
近年来，量子纠错码的研究进展迅速。量子误差校正是实现量子计算和量子通信的重要保证。设 q
为一个素数的 m 次幂， Fq 为含有 q 个元素的有限域。一个长度为 n，维数为 K 的量子码是 qn 维希尔伯
特空间的一个 K 维子空间。同时我们把一个长度为 n，维数为 K，极小距离为 d 的 q 元量子码记为
(3) 当 a = x 时，假设 A1 ( Ar+x )为由矩阵 A 删除第一列(最后一列)获得的 r × (r + x −1) 阶矩阵。根据(2)
的假设， A1 和 Ar+x 对于结论成立，因此方程组 A1uT = 0T ， Ar+ x−1vT = 0T
分别存在一个非零解 u = (u2 , u3 , , ur+x ) 和 v = (v1, v2 , , vr+x−1 ) 。由于 r + x < q +1，我们可以选出一个