由GRS码构造新的量子MDS码

元素
θ
∈
Fq*
\
u2
v2
,
u3 v3
,
,
ur
+
x
−1
vr + x−1
( ) = 取 x
(0,u) −θ (v, 0) ，则 x ∈
Fq*
r+x
，我们有
Ax
0 = A1uT
+
θ
Ar
vT
+ x−1
0
= 0
故结论成立。
引理 2.2.4 [1].
如果存在一个元素在
F q
2
上的
[n,
k,
d
]
线性码
C
且
C
⊥H
⊆ C ，则存在一个参数为
n, k, ≥ d
的量子码。
q
引理 2.2.5 [8]. 如果存在一个厄米特自正交的 [n, k, n − k +1]q2 MDS 码，则存在一个参数为
n, n − 2k, k +1 q 的量子码。
= 假设 α (a0 , a1, ) ( , an= −1 ∈ Fqn2 ， β b0 , b1, , bm−1 ) ∈ Fqm2 ，定义他们的张量积：
r
∑ ui = 0
i=0
根据引理 3.1，我们有如下推论。
推论 3.2. 设 q > 2 和 r ≥ 1 ， v ∈ Fq* ，则存在 u0 ,u1, ,ur 使得
(3) 当 a = x 时，假设 A1 ( Ar+x )为由矩阵 A 删除第一列(最后一列)获得的 r × (r + x −1) 阶矩阵。根据(2)
的假设， A1 和 Ar+x 对于结论成立，因此方程组 A1uT = 0T ， Ar+ x−1vT = 0T
分别存在一个非零解 u = (u2 , u3 , , ur+x ) 和 v = (v1, v2 , , vr+x−1 ) 。由于 r + x < q +1，我们可以选出一个
文章引用: 陈硕, 唐西林. 由 GRS 码构造新的量子 MDS 码[J]. 理论数学, 2020, 10(9): 876-888. DOI: 10.12677/pm.2020.109102
Keywords
Quantum MDS Code, Hermitian Self-Orthogonal, GRS Codes
(2) A(q) 与 A 行等价。
( ) 则方程组 AuT = 0T 存= 在一个解 u (u0 ,u1,
) , ur
∈
Fq*
r +1
。
推论 2.2.3. 假设 r > 0 ，1 ≤ a ∈ »* 和 r + a < q +1。A 为元素在 Fq2 中的 r × (r +1) 阶矩阵并且满足以下
两个条件：
由GRS码构造新的量子MDS码
陈 硕，唐西林 华南理工大学数学学院，广东 广州
收稿日期：2020年8月29日；录用日期：2020年9月18日；发布日期：2020年9月25日
摘要
量子MDS码的构造如今变得越来越重要。本文我们对
q2
−
1
作素数分解并讨论了q的奇偶性，在有限域
F q
2
上构造了4类新的量子MDS码。这些量子MDS码参数更灵活，最小距离大。此外，我们通过L1-forms和
877
理论数学
陈硕，唐西林
2.2. 基本引理和推论
( ) 引理 2.2= .1 [9]. 假设 a (a0 , a1,
) ( , a= n−1 ∈ Fqn2 ，v v0 , v1,
n
) , vn−1 ∈ Fq*2 ，这里 a0 , a1,
, an−1 是 Fq 中 n
个不同的元素，则 GRSk (a, v) ⊆ GRSk (a, v)⊥H 当且仅当 aqj+l , vq+1 = 0 对于任意的 0 ≤ j,l ≤ k −1。
因此 Fq*2= α0 × α1 × × αs 是 s +1个子群的直积。
( ) 设 γ i
α = piki i
，则 ord
γi
=
pti −ki i
，设 Γi
=γ i
以及
(Leabharlann Baidu) ( ) Γi =1,γi ,
, γ 。 piti−ki −1 i
piki −1
则有 αi
∪ =
α
t i
γi
对任意的 i = 0,1,
Received: Aug. 29th, 2020; accepted: Sep. 18th, 2020; published: Sep. 25th, 2020
Abstract
It becomes more important to construct quantum maximum-distance-separable (MDS) codes by means of the self-dual Generalized Reed-Solomon (GRS) codes. In this paper, we construct four classes of quantum MDS codes over a finite field Fq2 through the prime decomposition of q2 − 1 and the discussion of the parity of q. These quantum MDS codes have more flexible parameters with large minimum distance. Further, those quantum codes of the minimum distances larger than q + 1 can be found by L1-forms and L2-forms. 2
,s 。
t=0
3. 主要结果
( ) 记
n
=
( r0
+1)(r1 +1)
2k0 p1k1
(rs +1)
psks
q2 −1
，在这一节，我们利用厄米特自正交的
GRS
码来构造新的长度
为1+ n 的量子 MDS 码。在此之前，我们先给出以下几个引理。
引理 3.1 [3]. 设 q > 2 和 r ≥ 1 ，则存在 u0 ,u1, ,ur 使得
Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(9), 876-888 Published Online September 2020 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/pm https://doi.org/10.12677/pm.2020.109102
别定义为：
n
n
∑ ∑ u, v E = uivi ， u, v H = uiviq
i =1
i =1
假设 C 是 Fqn 中一个长度为 n 的线性码，则 C 的厄米特对偶码定义为：
{ } C⊥H = u ∈ Fqn : u, v H = 0对任意的v ∈ C
如果 C 满足 C ⊆ C⊥H ，则 C 被称为厄米特自正交码。若 C 的参数为 [n, k, d ] ，则当 d = n − k +1 时，
{ } = GRSk (a, v) (v1 f (a1 ), v2 f (a2 ), , vn f (an )) : f ( x) ∈ Fq [x], deg ( f ( x)) ≤ k −1 。
我们知道 GRSk (a, v) 是一个参数为 [n, k, n − k +1] 的 MDS 码。
DOI: 10.12677/pm.2020.109102
陈硕，唐西林
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
2. 预备知识
在本节中，我们将介绍一些关于线性码和 GRS (Generalized Reed-Solomon)码的一些符号和结论。
2.1. 基本符号
假设 q = pm ，其中 p 是一个素数，m 是一个正整数，Fq 为含有 q 个元素的有限域， Fq* = Fq \ {0} 。 对于任意两个向量 u = (u1,u2= , ,un ) ，v (v1, v2 , , vn ) ∈ Fqn ，它们的欧几里得内积和厄米特内积被分
(1) A 的任意 r 列线性无关。 (2) A(q) 与 A 行等价。
则方程组 AuT = 0= T 存在一个解 u (u0 ,u1,
证明：我们对 a 应用数学归纳法。
) ( ) , ur+a−1 ∈ Fq* r+a
(1) 当 a = 1 时，由引理 2.2.2，结论成立。
(2) 假设结论在 a ≤ x −1 时成立，其中 x ≥ 2 是一个正整数。
Open Access
1. 引言
近年来，量子纠错码的研究进展迅速。量子误差校正是实现量子计算和量子通信的重要保证。设 q
为一个素数的 m 次幂， Fq 为含有 q 个元素的有限域。一个长度为 n，维数为 K 的量子码是 qn 维希尔伯
特空间的一个 K 维子空间。同时我们把一个长度为 n，维数为 K，极小距离为 d 的 q 元量子码记为
q − ((n, K, d )) 。一个长度为 n，维数为 qk ，极小距离为 d 的量子码的 q 元量子码则记为
n, k, d
。
q
近年来，针对量子 MDS 码的构造进行了大量的研究工作，并构建了很多类新的量子 MDS 码(参考[1]-[7])。
在本文中，假设 q2 −1 =2t0 p1t1 psts 是对 q2 −1 的一个素数分解，我们通过 GRS 码构造了 4 类新的量子
者，我们可以假设 q −1 =2t0′ p1t1
pwtw
，
q + 1 =2t0′′
ptw+1 w+1
psts
， M1
=
2k0′
q −1
p1k1
pwkw
， M2
=
2k0′′
q +1 p kw+1
w+1
psks
和
p0 = 2 ， t0= t0′ + t0′′ ， k=0 k0′ + k0′′ ， M = M1M 2 ， 0 ≤ ki ≤ ti 对于 0 ≤ i ≤ s 。很容易可以看出
= α ⊗ β (a0β , a1β ,
) , an−1β
∈
F mn q2
。
可以看出
DOI: 10.12677/pm.2020.109102
878
理论数学
陈硕，唐西林
α ⊗ β ,α1 ⊗ β1 = α ,α1 β , β1 。
假设 Fq*2 = ω ，其中 ω 为 Fq2 的一个本原元。设 q2 −1 =2t0 p1t1 psts 是对 q2 −1 的一个素数分解，再
q
(
mod
pi
)
=
1; −1;
1≤i ≤ w w+1≤ i ≤
s
，
q
(
mod
4)
=
1; −1;
1= t0′′ < t0′ 1 =t0′ < t0′′
q2 −1
假设 αi = ω piti 对于 i = 0,1, , s ，则 ord (αi ) = piti ，我们可以得出
( ) ( ) gcd ord (αi ), ord α j = 1 对任意的 i ≠ j
MDS 码。与[7] [8]相比，上述量子 MDS 编码的长度更灵活，同时通过 L1-forms 和 L2-forms 我们也可以
找到一个较大的极小距离。
在第二节中，我们简要回顾了厄米特自正交性和 GRS 码的定义及基本结论。在第三节中，我们从 GRS
码出发，利用有限域等工具，构造了一些新的量子 MDS 码。在最后一部分，我们对本文的结论进行了总结。
L2-forms可以找到那些极小距离大于 q + 1 的那些量子MDS码。 2
关键词
量子码，厄米特自正交，GRS码
New Quantum MDS Codes from GRS Codes
Shuo Chen, Xilin Tang School of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong
( ) ( ) 我们定义 0 为元素全为 0 的一维行向量，对于元素在 Fq2 中的矩阵 A = aij ，定义 A(q) 为矩阵 aiqj ，
00 我们记为 1。
引理 2.2.2 [3] [10].假设 r > 0 ，A 为元素在 Fq2 中的 r × (r +1) 阶矩阵并且满足以下两个条件：
(1) A 的任意 r 列线性无关。
我们称 C 为 MDS 码(maximum distance separable code)。 假设 a1, a2 , , an 是 Fq 中 n 个不同的元素， v1, v2 , , vn 是 Fq 中 n 个非零元素，则关于向量
a = (a1, a2 , , an ) 和 v = (v1, v2 , , vn ) 的 GRS 码定义为