函数的奇偶性

2
(10) f ( x ) = a
(11) f (x) =| x +1| − | x −1|
x(1− x), x ≥ 0 (12) f (x) = x(x +1), x < 0
补充例2.根据下列函数的图象，写出函数的定义域 并判断函数的奇偶性。
y y y
f ( x) = x
O ② y x x
f ( x) = x
1 f ( x) = x
1 f ( x) = x
这两个函数就是奇函数， 这两个函数就是奇函数，请你给奇函 数下定义。完后和课本对照。 数下定义。完后和课本对照。 演示
奇函数：如果对于函数 奇函数：如果对于函数f(x)的定 的定 义域内任意一个x都有 都有f(-x)=-f(x), 义域内任意一个 都有 那么函数f(x)就叫做奇函数。 就叫做奇函数。 那么函数 就叫做奇函数
思考4:如果函数f(x)具有奇偶性,a为非零常 思考4:如果函数f(x)具有奇偶性,a为非零常 4:如果函数f(x)具有奇偶性,a 那么函数af(x) f(ax)的奇偶性如何 af(x)， 的奇偶性如何？ 数，那么函数af(x)，f(ax)的奇偶性如何？
思考5:常数函数 具有奇偶性吗？ 思考5:常数函数 f (x) = a(a ≠ 0) 具有奇偶性吗？ 5:
注意： ！注意： 1.偶函数指的是函数的整体性质，是在整个定 偶函数指的是函数的整体性质， 偶函数指的是函数的整体性质 义域内来说的. 义域内来说的 2.偶函数的前提条件是定义域关于原点对称 偶函数的前提条件是定义域关于原点对称. 偶函数的前提条件是定义域关于原点对称 要注意关于原点对称的含义. 要注意关于原点对称的含义 3.在前提条件下， 在前提条件下， 在前提条件下 偶函数 f(x)=f(-x) 图象关于y轴对称 图象关于 轴对称. 轴对称 4.偶函数在 轴两侧的图像的升降方向是相反的； 偶函数在y轴两侧的图像的升降方向是相反的 偶函数在 轴两侧的图像的升降方向是相反的； 即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 f(x) -f(-x) =0
例2.求函数y = - x + 6 x - 3的最大值.
2
变题1 : 求函数y = - x + 6 x - 3( x ∈ [-1, 4])
2
的最大值和最小值.
8 1 变式2求函数f(x)= 2 变式 (x∈[ ,4]) 最大和最小值. x∈ x −4x+5 2
变式3 变式3
为常数， 设b > 1 为常数，如果当x ∈ [1, b] 时，函
f ( x) = x
1 f ( x) = x
！注意： 注意： 1.奇函数指的是函数的整体性质，是在整个定义 奇函数指的是函数的整体性质， 奇函数指的是函数的整体性质 域内来说的. 域内来说的 2.奇函数的前提条件是定义域关于原点对称. 奇函数的前提条件是定义域关于原点对称 要注意关于原点对称的含义. 要注意关于原点对称的含义 3.在前提条件下， 在前提条件下， 在前提条件下 奇函数 f(-x)=-f(x) 图象关于原点对称. 图象关于原点对称 4.奇函数在y轴两侧的图像的升降方向是相同的； 奇函数在 轴两侧的图像的升降方向是相同的 轴两侧的图像的升降方向是相同的； 即奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 函数在关于原点对称的区间上的单调性相同 f(x) +f(-x) =0
例1.请同学们考察下面三个函 请同学们考察下面三个函 数是否为偶函数 2 ( 1) f ( x ) = x + 1
2 ( 2) f ( x ) = 2 x + 11
( 3) f ( x ) =
x +1
2
2
(4) f ( x ) = 2 x
+ 5 ( x ≥ 0)
观察函数 f ( x ) = x 和 的图象并完 成课本两个函数值对应表，找出共同特征。 成课本两个函数值对应表，找出共同特征。
30 25 20 15 10 5
O
1
2
3
4
t
理论迁移
2 , x ∈[ 2,6] ，求函数 f ( x) 例4已知函数 f ( x) = x −1 的最大值和最小值. 的最大值和最小值.
思考: 思考:画出函数图象并观察图象有没有最高低 点或最低点,如果有是什么? 点或最低点,如果有是什么?函数是否有最大 或最小值? 或最小值?
我们如何描述函数图象的这个特征？ 我们如何描述函数图象的这个特征？
偶函数：如果对于函数 偶函数：如果对于函数f(x)的定 的定 义域内任意一个x,都有 都有f(-x)=f(x), 义域内任意一个 都有 那么函数f(x)就叫做偶函数。 就叫做偶函数。 那么函数 就叫做偶函数
f ( x) = x
2
f ( x) =| x |
知识探究（ 知识探究（二）
思考6:如果函数f(x)和g(x)都是奇函数， 思考6:如果函数f(x)和g(x)都是奇函数，那 6:如果函数f(x) 都是奇函数 g(x)， g(x)， 么f(x) + g(x)，f(x) - g(x)， f(x)× f(x)÷ (x)的奇偶性如何 的奇偶性如何？ f(x)×g(x) ，f(x)÷g (x)的奇偶性如何？
例5（05年湖南卷）某公司在甲、乙两地销售一种 05年湖南卷）某公司在甲、 年湖南卷 2 品牌车，利润（万元） 品牌车，利润（万元）分别为 y1 = 5.06 x − 0.15 x 其中x为销售量（ ），若该公司在 和 y2 = 2 x ，其中x为销售量（辆），若该公司在 这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( 15辆车 这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( A ) 45.6万元 45.606万元 A、45.6万元 B、45.606万元 45.51万元 C、45.56 万元 D、45.51万元
例2：判断下列函数的奇偶性 ： 4 ( 1) f ( x ) = x 5 ( 2) f ( x ) = x
1 ( 3) f ( x ) = x + x 1 ( 4 ) f ( x ) = 2 , x ∈ [−2, 0) ∪ (0, 3] x 3 ( 5) f ( x ) = x + 2 x
判断函数奇偶性的步骤:
知识探究（ 知识探究（一）
思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶 思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶 1:是否存在函数f(x) 函数？若存在，这样的函数有何特征？ 函数？若存在，这样的函数有何特征？ f(x)=0 思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能 思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能 2: 情形？ 情形？ 思考3:若f(x)是定义在R上的奇函数， 思考3:若f(x)是定义在R上的奇函数，那么 3: 是定义在 f(0)的值如何 的值如何？ f(0)的值如何？ f(0)=0
思考7:如果f(x)是定义在R上的任意一个函数， 思考7:如果f(x)是定义在R上的任意一个函数， 7:如果f(x)是定义在 那么f(x) f(-x)， f(-x)奇偶性如 那么f(x) + f(-x)，f(x) - f(-x)奇偶性如 何？ f(-x)是偶函数 f(x) + f(-x)是偶函数 f(-x)是奇函数 f(x) - f(-x)是奇函数
思考8:二次函数 思考8:二次函数 f (x) = ax + bx + c 是偶函 8: 数的条件是什么？ 数的条件是什么？ 一次函数 f (x) = kx + b 是奇函数的条 件是什么？ 件是什么？
2
b=0
理论迁移
已知f(x)是奇函数， f(x)是奇函数 例1 已知f(x)是奇函数，且当 x ≥ 0 ， 时 2 f(x)的解析 ,求当 时f(x)的解析 x <0 f (x) = x −3x 式. 2 练1 已知f(x)是偶函数，且当 x ≥ 0 ， 已知f(x)是偶函数， f(x)是偶函数 时 2 ,求当 时f(x)的解析 f(x)的解析 x <0 f (x) = x −3x 2 式. 例2 设函数 f (x) = 2x − mx + 3，已知 f (x −1) 是 偶函数，求实数m的值. 偶函数，求实数m的值.
x ① O
f ( x) = x 2
y
f ( x) =| x |
O ③ y
1 f ( x) = x + x
x O ④ O ⑤ x
f ( x) = x 3
O ⑥ x
1 f ( x) = |x|
3 , , 例 、已知f (x)是偶函数 g(x)是奇函数 试 将下图补充完整:
y y 1 3 x
-3
ห้องสมุดไป่ตู้
-1 o
y
2 1
A 2
y O
-1 B 3
O
x
1
x
练习2.P35的思考 练习
问题提出
奇函数、偶函数的定义分别是什么？ 1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？ 奇函数和偶函数的定义域、 2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别有 何特征？ 何特征？ 3.函数的奇偶性有那些基本性质？ 3.函数的奇偶性有那些基本性质？ 函数的奇偶性有那些基本性质
(1)求 函 的 义 ,并 断 数 定 域 出 数 定 域 判 函 的 义 是 关 原 对 ; 否 于 点 称
(2)若函数定义域关于原点不对称则函数为非奇非偶函数 , ; 若函数定义域关于原点对称则进一步判断f (−x) = f (x) , 或f (−x) = − f (x)是否成立 ; a.若f (−x) = f (x),则f (x)是偶函数 ; b.若f (−x) = − f (x),则f (x)是奇函数 ; c.若f (−x) = f (x)且f (−x) = − f (x),则f (x)既是奇函数也是偶函数 ; d.若f (−x) ≠ f (x)且f (−x) ≠ − f (x),则f (x)既不是奇函数也不是偶函数 ;
1.一次函数在开区间上没有最大值和最小值; 而在闭区间上有最大值和最小值.
2.二次函数y=ax +bx+c ( x ∈ R) ,当a > 0时,y有最小值
2
4ac-b2 4ac-b2 ,当a < 0时,y有最大值是 .若x的取 是 4a 4a 值是闭区间时, 还要比较区间端点的函数值. a 3.函数y= 在开区间上没有最值,在闭区间上有 x-b 最值.
1 2 3 的值域也是[1,b], [1,b],求 数 f ( x) = x − x + 的值域也是[1,b],求b 2 2
的值. 的值.
菊花” 例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制 3. 菊花 烟花是最壮观的烟花之一。 造时一般期望在它达到最高点时爆裂， 造时一般期望在它达到最高点时爆裂，如果 烟花距地面的高度hm与时间ts 烟花距地面的高度 m与时间 s之间的关系为 h(t)=-4.9 2+14.7 +18，那么烟花冲出后什 )=+18， ( )= 4.9t +14.7t+18 么时候是它爆裂的最佳时刻？ 么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的 高度是多少？（精确到1m ？（精确到1m） 高度是多少？（精确到1m） h
x -3 -2 -1 0 f(x) 9 4 1 0
1 1
2 4
3 9
f ( x) = x
2
(1) 两个函数的图象有什么共同特征？ 两个函数的图象有什么共同特征？
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
f ( x) =| x |
f ( x) 3 2 1 0 1 2 3
(2) 相应的两个函数值对应表是如何 体现这些特征的？ 体现这些特征的？ 在表格中我们可以看出：当自变量x取一对 动画 . 相反数时，相应的函数值相同
(3) f (x) = x +1
(5) f (x) = x + x
2
(4) f (x) = x , x ∈[−1,3]
2
2x + 2x (6) f ( x) = x +1
2
1− x (7) f ( x) = | x + 2 | −2
2
(8) f ( x) = x − 2 + 2 − x
2
(9) f ( x) = x − 1 + 1 − x
1
3
x
-3
-1 o
f (x )
g (x )
偶 数 两 关 原 对 的 间 单 函 在 个 于 点 称 区 上 调 相 ;奇 数 两 关 原 对 的 性 反 函 在 个 于 点 称 区 上 调 相 . 间 单 性 同
练习.已知函数的右半部分图象，根据下列条 件把函数图象补充完整； 1) f(x)是偶函数; 2) f(x)是奇函数.
(3)下 论 结 .
判断或证明函数奇偶性的基本步骤： 判断或证明函数奇偶性的基本步骤：
一 看 ↓ 看 义 定 域 ↓ 是 关 原 对 否 于 点 称
→二 找 ↓ 找 系 关 ↓ f(x)与 f(-x)
→三 断 判 ↓ 下 论 结 ↓ 奇 偶 或
补充例、判断下列函数的奇偶性: 1 2 3 5 (2) f (x) = x +1 (1) f (x) = x + x + x