第七节：二次型的正定性

，
则：
，故f正定，即A正定。同理可证：A负定
T A BB 注：（1）请同学们将上述关于矩阵
。
正负定的判定总结一下 （2）大家可否按不同的体系对上述 关于矩阵正负定的判定进行证明，以 加强推证能力的训练。 （3）关于正负定的运算，应用也可
注：（1）请同学们将上述关于 矩阵正负定的判定总结一下 （2）大家可否按不同的体系对 上述关于矩阵正负定的判定进行 证明，以加强推证能力的训练。 （3）关于正负定的运算，应用 也可总结一下。
，故又得推论2 A正定
。
推论3 A正定
存在可逆矩阵p
' PAP I
，使
2 2 fx (, x ) 3 x 2 x x 3 x 例5.7.1 判断二次型 1 2 1 1 2 2
的正定性。 解方法一： 利用定理5.10的推论1， 求 A的特征值。
3 A 1 1 3
Y BY正定。
反之，如
正定 f YBY
，
Y 0
时， f 0故当
从而 即
X 0 时， Y 0
f X A X Y B Y 0
X 正定 正定即 f XA X XA
f Y B Y 正定。同理
X 负定（不定） f XA
f Y B Y 负定（不定）。
二次型的正定性
§5.7 二次型的正定性 一、正负定的定义 二次型的另一个重要问题是分类问题。 对于标准形式的有心二次曲线椭圆
x2 y2 2 1及双曲线 2 a b
x2 y2 2 1 2 a b
，前者二次型
对于任意一组x,y不 全为零或对任意的
x2 y2 2 2 a b
x X 0 y
称A的k阶顺序主子式。
定理5.11n阶实对称矩阵A正定

A的各级顺序主子式全大于0。即
A , A 1 a 1 1 0 2 , A n A 0
。
a a 1 1 1 2 a 2 1 a 2 2
0 ,
该定理称霍尔威茨定理。证略。
与此对应有：定理5.12 n阶实对称矩阵A负定 奇数阶顺序主子式小于0。 偶数阶顺序主子式大于0。
故f既非正定，非也负定。
例5.7.2

取何值，
1 2 4
2 2 2 f x 442 x x x x 2 x x 4 x x 是正定的？ 1 2 3 1 2 1 3 2 3

1 A 4 1 2
，
要使f正定即A正定则必须使
1 4 2 0 4
例5.7.2 判断下列二次型的正定性。
2 2 2 1 ) f 5 x 6 x 4 x x x 4 x x 1 2 34 1 2 1 3
2 2 2 ) f 2 x x x x 4 x x 1 2 4 1 2 2 3
解
1）的矩阵为
5 A 2 2
2 6 0
总之，二次型经可逆线性变换后 正定性是不变的。又因标准形的 正定性一目了然，故可利用标准 形的正定性来判断原二次型的正 定性。显然，对于标准形
f k y k y k y
2 1 1 2 2 2 2 n n
正定
k 0 ( i 1 , 2 , ,) n iFra bibliotek。由此得：
定理5.10 n个变量的实二次型
X f XA
正定
f 的正惯性指数为n
（即正项的个数）。又因为实对称矩阵A 存在正交矩阵P,使得：
其中
1 1 ' P A PPA P
i
n
为A的特征值。故有
推论1 A正定
A的特征值全正。又因为
A 0
1 2 n A
其它情况称二次型为不定二次型 A称不定矩阵。所谓不定指存在 X≠0有f>0,又存在X≠0有f<0 因二次型
X 与实对称矩阵A f XA
f 一一对应，故讨论二次型的正定性 与讨论A的正定性是等价的。
A
二。二次型正定性的判别
设二次型
X f XA 经可逆线性变换
X P Y 变成实二次型
2 1 2 2 2 1
，其正惯性指数为p=2,故正定
与被判别正定性类似，关于负定性 判别有如下结论： X 负定 1）n个变量的实二次型 f XA
f
的负惯性指数为n
X 负定 2）n个变量的实二次型 f XA f n个特征值皆小于0； X 负定 3）n个变量的实二次型 f XA
，
同理可证如A负定 aii 0
例5.7.4实二次型A正定的充分必要条件为 ：存在可逆矩阵B使得：A=BTB 证明：必要性：因A正定，故存在可逆p使 得：pTAp=I上式左乘（pT）-1 ,右乘p-1得：
T 1 T T 1 T 1 1 T 1 () pp A p p ( pI ) p ( pp )
，其值恒大于0，我们称其为恒正二次型 或正定二次型。而后者对于不全为零的 ，其值既可取正值也可取负值，我们 称其为不定二次型。我们将上述概念 推广到一般情况。
X 定义5.8 设n元二次型 f XA 若对任意的x≠0，恒有f>0(或f≥0) 则称f为正定（半正定）二次型。这时 称A为正定矩阵（或半正定矩阵）记 A>0(或A≥0) 若对任意的x≠0，恒有f<0(或f≤0) 则称f为负定（半负定）二次型。这时 称A为负定矩阵（或半负定矩阵）记 A<0(或A≤0)
2 0 ， 4
52 a 50 , 2 60 ,A 8 00 1 1 2 6
故是负定的。
2）f的矩阵为
2 A 2 0 2 1 2 0 2 0
，
2 2 a 2 0 , 2 0 , 1 1 2 1
且
A 4 ( 2 ) ( 1 ) 0
联立解上面两不等式得： 2 1
例5.7.3证明A正定 aii 0
X 0 , 二次型 证：A正定
T f X A X 0
，令
T X e ( 0 , 0 , , 1 , 0 , , 0 ) i i
T f eA a 0 代入得： i e i i i
Y BY ，即
f X A X X P Y Y ( P A P ) Y Y B Y
由
1 故 XP Y YP X
X 0 Y 0
由此可得，如果 时， f 0故当 从而 ，即
X f XA 正定 X 0
时， X 0 Y 0 f X A XY B Y 0
令B=p-1得：A=BTB 充分性：因A=BTB，相应二次型为：
T T T T f ( X ) X A X X B B X ( B X ) ( B X )
X0 B X 0 , 因B可逆，故对
T B Xa (, a , , a ) 0 12 n 设n维向量
T f (X) (B X) (B X) 2 2 a a 1 2 2 a n 0
的特征值为
, 1 2 2 4
均为正，故A正定，即
解方法二：用配方法化二次型为标准形
2 1 21 2 2 f ( x ,) x 32 x x xx 33 ( x x x x ) xx 3 1 2 1 2 1 2 2 2 2 3 93 1 2 8 2 3 (x 1 x 2) x 2 3 3 1 8 2 2 y x x , y x 令 1 1 3 2 2 2 f 3y1 3 y2
.

存在可逆矩阵p使得 PAP I
'
是 一个间接的方法，一般还比较 麻 烦。下面我们介绍一个直接利 用 矩阵的顺序主子式判其正定性 的 方法。按自然顺序取A的前k行k a a 1 1 1 2 1 k 列组成的a k 阶行列式
A k a a 2 1 2 2 a 2k a kk , k 1 ,2 , ,n a a k1 k2